数学建模国赛试题及权威答案展示

数学建模国赛精选试题及权威答案展示

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）A.y=2x-1B.y=-3x+2C.y=x^2D.y=1/x【答案】A【解析】y=2x-1是一次函数，斜率为正，故单调递增

2.若集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B等于（）A.{1,2,3}B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{1,4}【答案】C【解析】A∪B包含A和B中所有元素，即{1,2,3,4}

3.函数fx=sinx在区间[0,π]上的最大值是（）A.0B.1C.-1D.2【答案】B【解析】sinx在[0,π]上的最大值为

14.下列不等式中，正确的是（）A.2^33^2B.3^22^3C.2^33^2D.2^23^2【答案】C【解析】89，故2^33^

25.直线y=mx+b与x轴垂直的条件是（）A.m=0B.m=1C.m不存在D.b=0【答案】C【解析】垂直于x轴的直线斜率不存在

6.若向量a=1,2，b=3,4，则a·b等于（）A.5B.7C.11D.25【答案】C【解析】a·b=1×3+2×4=

117.矩阵M=[12;34]的行列式detM等于（）A.-2B.2C.5D.10【答案】A【解析】detM=1×4-2×3=-

28.下列数列中，是等差数列的是（）A.2,4,8,16B.3,6,9,12C.1,1,1,1D.1,2,4,8【答案】B【解析】B中相邻项差为3，是等差数列

9.若抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴为x=1，则（）A.b=2aB.b=-2aC.a=2bD.a=-2b【答案】A【解析】对称轴x=-b/2a，即-b/2a=1，得b=-2a

10.极限limx→∞1/x=（）A.0B.1C.∞D.-1【答案】A【解析】当x趋于无穷大时，1/x趋于0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是线性方程的解？（）A.1,1B.2,2C.3,3D.4,4E.1,2【答案】A、B、C、D【解析】y=x是线性方程，所有点1,1,2,2,3,3,4,4都在直线上

2.以下关于函数的表述正确的有？（）A.奇函数关于原点对称B.偶函数关于y轴对称C.指数函数底数必须大于1D.对数函数定义域为正实数E.三角函数都是周期函数【答案】A、B、D、E【解析】C中指数函数底数可大于0小于1

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若fx=x^2-2x+3，则f2=______【答案】3【解析】f2=2^2-2×2+3=

32.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标是______【答案】2,-3【解析】完成平方得x-2^2+y+3^2=16，圆心为2,-

33.若事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.7，且A与B互斥，则PA∪B=______【答案】

0.9【解析】PA∪B=PA+PB=

0.6+

0.7=

0.

94.样本容量为n=10，样本方差s^2=4，则样本标准差s=______【答案】2【解析】s=√s^2=√4=2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）【答案】（×）【解析】如a=-2，b=-1，则-2-1但-2^2-1^

22.三角形的面积等于底乘以高的一半（）【答案】（√）【解析】这是三角形面积的标准公式

3.对任意实数x，|x|≥0恒成立（）【答案】（√）【解析】绝对值的定义保证其非负

4.若A是可逆矩阵，则detA≠0（）【答案】（√）【解析】可逆矩阵的行列式必不为

05.若数列{a_n}是递增数列，则对任意n，有a_n+1a_n（）【答案】（√）【解析】递增数列的定义就是后项大于前项

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述线性回归模型的基本思想【答案】线性回归通过拟合数据点的最佳直线来建立自变量与因变量间的线性关系，最小化实际观测值与模型预测值之间的差异平方和

2.解释什么是样本空间，并举例说明【答案】样本空间是随机试验所有可能结果的集合例如抛硬币试验的样本空间Ω={正面，反面}

3.简述凸函数的定义及其几何意义【答案】fx是凸函数当且仅当对任意x1,x2和λ∈[0,1]，有fλx1+1-λx2≤λfx1+1-λfx2几何意义是其图像上任意两点连线总在曲线下方

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x+2的单调性及极值点【答案】求导fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1当x-1时fx0，-1x1时fx0，x1时fx0故在x=-1处取极大值，x=1处取极小值

2.分析样本容量n对样本均值估计总体均值的影响【答案】样本均值是总体均值的无偏估计随着n增大，样本均值的方差减小，估计更精确大数定律表明n越大，样本均值越接近总体均值

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某城市出租车的计费标准为起步价10元（含3公里），之后每公里2元某次行程行驶了x公里，求总费用y关于x的函数关系式，并计算行驶15公里时的费用【答案】y=10+2x-3=2x+4，当x=15时，y=2×15+4=34元

2.某工厂生产某种产品，固定成本为1000元，单位可变成本为5元，售价为10元求

（1）生产x件产品的利润函数；

（2）至少生产多少件才能盈利【答案】

（1）利润P=10x-1000-5x=5x-1000；

（2）令P0得x200，至少生产201件才能盈利标准答案页

一、单选题

1.A

2.C

3.B

4.C

5.C

6.C

7.A

8.B

9.A

10.A

二、多选题

1.A、B、C、D

2.A、B、D、E

三、填空题

1.

32.2,-

33.

0.

94.2

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.线性回归通过最小化实际值与模型预测值的平方和来拟合最佳直线，建立自变量与因变量间的线性关系

2.样本空间是随机试验所有可能结果的集合例如抛硬币试验的样本空间Ω={正面，反面}

3.凸函数fx满足对任意x1,x2和λ∈[0,1]，有fλx1+1-λx2≤λfx1+1-λfx2几何意义是图像上任意两点连线总在曲线下方

六、分析题

1.求导fx=3x^2-3，临界点x=±1当x-1时fx0增，-1x1时fx0减，x1时fx0增故x=-1处极大值，x=1处极小值

2.样本均值是总体均值的无偏估计随着n增大，样本均值方差减小，估计更精确大数定律表明n越大，样本均值越接近总体均值

七、综合应用题

1.起步价含3公里，即x≤3时y=10x3时y=10+2x-3=2x+4行驶15公里时，y=2×15+4=34元

2.

（1）利润P=收入-成本=10x-1000+5x=5x-1000；

（2）令P0得5x-10000，x200至少生产201件盈利。