数学教招综合试题及全面答案阐释

数学教招综合试题及全面答案阐释

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数y=3x^2-6x+5的对称轴是（）（2分）A.x=-1B.x=1C.x=-2D.x=2【答案】B【解析】函数y=ax^2+bx+c的对称轴为x=-b/2a，代入得x=--6/23=

12.不等式|2x-1|3的解集是（）（2分）A.-1,2B.-2,1C.-1,4D.-2,4【答案】C【解析】|2x-1|3转化为-32x-13，解得-2x

43.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，则角C等于（）（2分）A.75°B.105°C.65°D.45°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，所以角C=180°-45°-60°=75°

4.抛掷两个均匀的骰子，点数之和为7的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.6/36【答案】A【解析】点数和为7的组合有1,

6、2,

5、3,

4、4,

3、5,

2、6,1，共6种，总情况36种，概率为6/36=1/

65.直线y=2x+1与y=-x+3的交点坐标是（）（2分）A.1,3B.2,5C.1,2D.2,4【答案】C【解析】联立方程组解得x=1,y=

26.圆的半径为5cm，则其面积为（）（2分）A.20πcm^2B.25πcm^2C.30πcm^2D.50πcm^2【答案】B【解析】圆面积公式A=πr^2=π5^2=25πcm^

27.函数fx=x^3在x=2处的导数是（）（2分）A.6B.8C.12D.24【答案】A【解析】fx=3x^2，f2=32^2=

128.已知向量a=1,2，b=3,4，则a·b等于（）（2分）A.5B.10C.14D.24【答案】C【解析】a·b=13+24=3+8=

149.抛物线y=x^2的焦点坐标是（）（2分）A.0,1/4B.1/4,0C.0,1/2D.1/2,0【答案】A【解析】标准抛物线y=ax^2的焦点为0,1/4a，此处a=1，焦点为0,1/

410.已知样本数据3,5,7,9,11，则其方差是（）（2分）A.4B.16C.20D.25【答案】A【解析】样本均值=7，方差s^2=[3-7^2+5-7^2+7-7^2+9-7^2+11-7^2]/5=4

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.相似三角形周长之比等于相似比C.函数y=|x|在-∞,0上单调递减D.四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形【答案】A、B、D【解析】空集是任何集合的子集；相似三角形对应边之比等于相似比；函数y=|x|在-∞,0上单调递减；平行四边形对角线互相平分，反之亦成立

2.下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的有（）（4分）A.y=2xB.y=x^2C.y=1/xD.y=e^x【答案】A、B、D【解析】y=2x是一次函数，y=x^2是二次函数开口向上，y=e^x是指数函数，在0,+∞上均单调递增；y=1/x是反比例函数，在0,+∞上单调递减

3.下列图形中，是轴对称图形的有（）（4分）A.等边三角形B.平行四边形C.正方形D.等腰梯形【答案】A、C、D【解析】等边三角形、正方形、等腰梯形都是轴对称图形；平行四边形不是轴对称图形

4.下列不等式解集为-∞,2的有（）（4分）A.x+35B.2x4C.1/2x1D.-x2【答案】B、C【解析】x+35解得x-2；2x4解得x2；1/2x1解得x2；-x2解得x-

25.下列命题中错误的有（）（4分）A.若ab，则√a√bB.若fx是奇函数，则f0=0C.若三角形三边长为3,4,5，则其是直角三角形D.若向量a与b共线，则a与b平行【答案】A、B【解析】√a√b不一定成立（如a=4,b=1）；奇函数fx满足f-x=-fx，f0不一定为0（如fx=x^3）；3,4,5满足勾股定理；向量共线即平行

三、填空题（每题4分，共24分）

1.已知函数fx=x^2-2x+3，则f2+1=______（4分）【答案】4【解析】f2+1=2+1^2-22+1+3=

42.在直角坐标系中，点Pa,b关于y轴对称的点的坐标是______（4分）【答案】-a,b【解析】关于y轴对称，x坐标变号，y坐标不变

3.不等式组{x|1x≤3}∩{x|-1≤x2}的解集是______（4分）【答案】[1,2【解析】交集为两个区间的重叠部分

4.函数y=1/x-1的图像关于______对称（4分）【答案】1,0【解析】反比例函数y=k/x的图像关于原点对称，平移后对称中心变为1,

05.已知圆心为O，半径为r的圆上一点A，则向量OA的模长等于______（4分）【答案】r【解析】向量OA的模即为圆的半径

6.已知样本数据2,4,6,8,10，则其标准差是______（4分）【答案】2√2【解析】标准差为方差的平方根，方差s^2=8

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若a^2=b^2，则a=b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=2,b=-2，a^2=b^2但a≠b

2.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在该区间上存在最大值（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=x在-∞,+∞上单调递增，但无最大值

3.若两个非零向量a和b满足|a+b|=|a-b|，则a与b垂直（）（2分）【答案】（√）【解析】两边平方得|a|^2+2a·b+|b|^2=|a|^2-2a·b+|b|^2，解得a·b=

04.若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的所有直线都平行（）（2分）【答案】（×）【解析】直线l可能与平面α内的直线相交或异面

5.若三角形三边长为5,7,10，则其是钝角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】10^25^2+7^2，最长边平方大于其他两边平方和，为钝角三角形

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值1，最小值-1【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，比较f-1=0,f0=2,f2=-2,f3=2，最大值1，最小值-

12.求过点A1,2且与直线y=3x-1垂直的直线方程（4分）【答案】x-3y+5=0【解析】垂直直线的斜率为-1/3，方程为y-2=-1/3x-1，化简得x-3y+5=

03.求等差数列2,5,8,...的第10项（4分）【答案】29【解析】首项a1=2，公差d=3，an=a1+n-1d=2+10-1×3=

294.求函数fx=sin2x+cos2x在[0,π/2]上的最大值（4分）【答案】√2【解析】fx=√2sin2x+π/4，在[0,π/2]上2x+π/4∈[π/4,5π/4]，最大值为√

25.求圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心和半径（4分）【答案】圆心2,-3，半径√10【解析】配方得x-2^2+y+3^2=10，圆心2,-3，半径√10

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-6x^2+9x+1的单调区间和极值点（10分）【答案】

（1）求导fx=3x^2-12x+9=3x-1x-3，令fx=0得x=1或x=3

（2）单调性当x1时fx0，递增；当1x3时fx0，递减；当x3时fx0，递增

（3）极值点x=1时fx=5，极大值；x=3时fx=1，极小值

2.分析直线y=2x-3与圆x^2+y^2=25的位置关系（10分）【答案】

（1）圆心0,0，半径r=5；

（2）直线到圆心的距离d=|-3|/√2^2+-3^2=3/√13≈

0.73；

（3）dr，直线与圆相交

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-px+q，若f1=0且f2=5，求p,q的值，并判断fx是否有极值点（25分）【答案】

（1）由f1=0得1-p+q=0

①，由f2=5得8-2p+q=5

②，联立

①②解得p=3,q=2，所以fx=x^3-3x+2

（2）求导fx=3x^2-3=3x+1x-1，令fx=0得x=-1或x=1

（3）单调性当x-1时fx0，递增；当-1x1时fx0，递减；当x1时fx0，递增

（4）极值点x=-1时fx=6，极大值；x=1时fx=0，极小值所以fx有两个极值点

2.已知某校学生身高数据近似服从正态分布N170,10^2，求

（1）身高在160cm以下的学生比例；

（2）身高在180cm以上的学生比例；

（3）身高在155cm至185cm之间的学生比例（25分）【答案】

（1）z=160-170/10=-1，查表得PZ-1≈

0.1587，约

15.87%

（2）z=180-170/10=1，查表得PZ1≈

0.1587，约

15.87%

（3）z1=155-170/10=-

1.5，z2=185-170/10=

1.5，P-

1.5Z

1.5=PZ

1.5-PZ-

1.5≈

0.9332-

0.0668=

0.8664，约

86.64%---标准答案及解析（最后一页）

一、单选题

1.B【解析】对称轴x=-b/2a

2.C【解析】解绝对值不等式

3.A【解析】三角形内角和

4.A【解析】古典概型计算

5.C【解析】联立直线方程组

6.B【解析】圆面积公式

7.A【解析】求导数

8.C【解析】向量数量积

9.A【解析】抛物线焦点公式

10.A【解析】样本方差计算

二、多选题

1.A、B、D

2.A、B、D

3.A、C、D

4.B、C

5.A、B

三、填空题

1.

42.-a,b

3.[1,

24.1,

05.r

6.2√2

四、判断题

1.（×）【解析】a^2=b^2等价于a=±b

2.（×）【解析】如fx=x无最大值

3.（√）【解析】|a+b|^2=|a|^2+2a·b+|b|^2，代入得a·b=

04.（×）【解析】l可能与平面内直线异面

5.（√）【解析】10^25^2+7^2

五、简答题

1.最大值1，最小值-1【解析】求导找驻点，比较端点值

2.x-3y+5=0【解析】垂直直线的斜率k=-1/

33.29【解析】等差数列通项公式an=a1+n-1d

4.√2【解析】化简为√2sin2x+π/4，求最大值

5.圆心2,-3，半径√10【解析】圆方程配方

六、分析题

1.单调区间-∞,1递增，1,3递减，3,+∞递增；极值点x=1极大值5，x=3极小值

12.直线与圆相交【解析】比较圆心到直线距离与半径大小

七、综合应用题

1.p=3,q=2；有两个极值点【解析】利用已知条件求参数，求导分析单调性

2.约

15.87%；约

15.87%；约

86.64%【解析】标准化后查正态分布表。