数学竞赛模拟试题及详细答案

数学竞赛模拟试题及详细答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极值，且f1=2，则下列说法正确的是（）（2分）A.f1=0B.f1≠0C.b=cD.a=d【答案】A【解析】函数在x=1处取得极值，则f1=

02.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2=2c^2，则cosC的值为（）（2分）A.1/2B.1/3C.1/4D.√2/2【答案】A【解析】由a^2+b^2=2c^2，得cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=2c^2-c^2/2ab=c^2/2ab=1/

23.若复数z满足|z-1|=1，则z在复平面内对应的点位于（）（2分）A.圆外B.圆上C.圆内D.无法确定【答案】B【解析】|z-1|=1表示复数z到点1,0的距离为1，即z在复平面上对应的点位于以1,0为圆心，半径为1的圆上

4.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_3=7，则S_5的值为（）（2分）A.15B.25C.35D.45【答案】C【解析】由a_1=1，a_3=7，得2d=a_3-a_1=6，即d=3S_5=5a_1+10d=5+30=

355.若函数gx=log_ax^2-2x+3在1,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是（）（2分）A.0,1B.1,+∞C.0,1∪1,+∞D.0,1【答案】B【解析】x^2-2x+3=x-1^2+2在1,+∞上单调递增，且值域为2,+∞若gx在1,+∞上单调递增，则a

16.在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，则∠A的度数是（）（2分）A.108°B.120°C.108°或120°D.90°【答案】C【解析】五边形内角和为5-2×180°=540°若五边形为正五边形，则∠A=540°/5=108°；若五边形为圆内接五边形，则∠A=360°/5=72°，相邻内角互补，∠A=180°-72°=108°故∠A的度数为108°

7.若x为实数，且x+1/x≥2，则x的取值范围是（）（2分）A.x≥1B.x≤-1C.x≠0D.x≥1或x≤-1【答案】D【解析】x+1/x≥2等价于x-1^2≥0，解得x≥1或x≤-

18.在直角坐标系中，点Pa,b到直线x+y=1的距离为√2/2，则a^2+b^2的值为（）（2分）A.1B.2C.1/2D.√2【答案】B【解析】点P到直线x+y=1的距离d=|a+b-1|/√2=√2/2，即|a+b-1|=1故a+b=0或a+b=2若a+b=0，则a^2+b^2≥2ab=0；若a+b=2，则a^2+b^2=a+b^2-2ab=4-2ab≥2故a^2+b^2的值为

29.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，且A∪B=A，则实数a的取值范围是（）（2分）A.{1}B.{1,-1}C.{0,1}D.{0,1,-1}【答案】D【解析】A={1,2}由A∪B=A，得B⊆A若a=0，则B=∅，满足条件；若a≠0，则B={1/a}，得1/a=1或1/a=2，即a=1或a=1/2故实数a的取值范围是{0,1,1/2}

10.在圆锥中，底面半径为r，母线长为l，若过底面圆心且与底面垂直的截面将圆锥分成两个几何体，则小几何体的体积与原圆锥体积之比为（）（2分）A.r^3/l^3B.r^2/l^2C.r/lD.r^2/l【答案】A【解析】小几何体为圆锥，底面半径为r/2，高为l/2，体积为1/3πr/2^2l/2=1/3πr^2l/8原圆锥体积为1/3πr^2l故小几何体的体积与原圆锥体积之比为r^2l/8/r^2l/3=3/8=r^3/l^3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若ab，则√a√bB.若fx=x^3，则fx0C.在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，则△ABC为直角三角形D.若数列{a_n}为等比数列，则{a_n^2}也为等比数列E.若直线l ax+by+c=0与圆x^2+y^2=1相切，则a^2+b^2=c^2【答案】B、C、D【解析】A.若ab，且a、b均小于0，则√a√b，故A错误；B.若fx=x^3，则fx=3x^2≥0，故B正确；C.在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，则△ABC为直角三角形，故C正确；D.若数列{a_n}为等比数列，公比为q，则{a_n^2}也为等比数列，公比为q^2，故D正确；E.若直线l ax+by+c=0与圆x^2+y^2=1相切，则圆心0,0到直线l的距离为1，即|c|/√a^2+b^2=1，得a^2+b^2=c^2，故E错误

2.若函数fx=x^3-ax^2+bx-1在x=1处取得极值，且f1=0，则下列说法正确的有（）（4分）A.a=3B.b=2C.fx在x=1处取得极大值D.fx在x=1处取得极小值E.fx在x=1处取得拐点【答案】A、B、D【解析】fx=3x^2-2ax+b由f1=0，得3-2a+b=0

①由f1=0，得1-a+b-1=0

②联立

①②，解得a=3，b=3fx=6x-2a=6x-6f1=0，故x=1为拐点由f1=0不能确定fx在x=1处取得极大值或极小值，需进一步判断fx=3x-1^2，fx在x=1处取得极小值，故fx在x=1处取得极小值

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2=c^2，且cosC=1/2，则下列说法正确的有（）（4分）A.△ABC为等腰三角形B.△ABC为直角三角形C.△ABC为锐角三角形D.△ABC为等腰直角三角形E.△ABC为钝角三角形【答案】B、E【解析】由a^2+b^2=c^2，得△ABC为直角三角形由cosC=1/2，得C=π/3，为锐角故△ABC为直角三角形，且为锐角三角形

4.若复数z=a+bia,b为实数满足|z-1|=|z+1|，则z对应的点位于（）（4分）A.x轴B.y轴C.直线y=xD.直线y=-xE.圆x^2+y^2=1【答案】D【解析】|z-1|=|z+1|表示复数z到点1,0和-1,0的距离相等，即z对应的点位于直线y=0，即x轴由z对应的点在x轴上，得b=0故z为实数，对应的点位于x轴

5.若函数fx=|x-1|+|x+1|，则下列说法正确的有（）（4分）A.fx在x=1处取得最小值B.fx在x=-1处取得最小值C.fx在x=0处取得最小值D.fxmin=2E.fx为偶函数【答案】B、C、D、E【解析】fx=|x-1|+|x+1|={2-2x,x-1-2x,-1≤x≤12x,x1}fx在x=-1时取得最小值f-1=0fx在x=0时取得最小值f0=2fxmin=2f-x=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=fx，故fx为偶函数

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且f1=2，则f2-f0的值为______（4分）【答案】4a+2b【解析】fx=2ax+b由f1=0，得2a+b=0，即b=-2af1=a+b+c=2f2-f0=4a+2b+c-c=4a+2b=4a-4a=

02.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为______（4分）【答案】4/5【解析】由余弦定理，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=4^2+5^2-3^2/2×4×5=16+25-9/40=32/40=4/

53.若复数z=1+i，则z^4的值为______（4分）【答案】-4【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=2iz^4=z^2^2=2i^2=4i^2=4-1=-

44.若函数fx=log_ax+1在-1,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是______（4分）【答案】1,+∞【解析】x+10在-1,+∞上恒成立若fx在-1,+∞上单调递增，则a1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，且A∩B=∅，则实数a的值为0（）（2分）【答案】（×）【解析】A={1,2}若A∩B=∅，则1/a≠1且1/a≠2，即a≠1且a≠1/2故实数a的值不为

02.若函数fx=x^3-3x^2+2在-∞,+∞上单调递减，则fx在-∞,+∞上无极值（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2由fx=0，得x=0或x=2fx在-∞,0上为正，在0,2上为负，在2,+∞上为正故fx在x=0处取得极大值，在x=2处取得极小值

3.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=36，则{a_n}为等比数列（）（2分）【答案】（×）【解析】S_3=3a_1+3d=9

①，S_6=6a_1+15d=36

②联立

①②，解得a_1=3，d=2a_n=a_1+n-1d=3+2n-1=2n+1{a_n}为等差数列，不是等比数列

4.若函数fx=sinx+π/6+cosx-π/3的最小正周期为2π，则fx为奇函数（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=sinx+π/6+cosx-π/3=1/2sinx+√3/2cosx+1/2cosx-√3/2sinx=cosxfx为偶函数

5.若直线l ax+by+c=0与圆x^2+y^2=r^2相切，则圆心到直线l的距离等于r（）（2分）【答案】（×）【解析】圆心0,0到直线l的距离d=|c|/√a^2+b^2若直线l过圆心，则c=0，d=0r若直线l不过圆心，则d=r/√a^2+b^2=r故圆心到直线l的距离等于r或0

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值为4，最小值为-8【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2由fx=0，得x=0或x=2f-2=-2^3-3-2^2+2=-8-12+2=-18f0=0^3-3×0^2+2=2f2=2^3-3×2^2+2=8-12+2=-2f3=3^3-3×3^2+2=27-27+2=2故最大值为max{f-2,f0,f2,f3}=max{-18,2,-2,2}=2，最小值为min{-18,2,-2,2}=-

182.求过点P1,2且与直线l3x-4y+5=0平行的直线方程（4分）【答案】3x-4y-5=0【解析】所求直线与l平行，故斜率相同，即k=3/4设所求直线方程为3x-4y+m=0将P1,2代入，得3×1-4×2+m=0，解得m=5故所求直线方程为3x-4y+5=

03.求极限limx→∞x^2+1/3x^2-2x+1（4分）【答案】1/3【解析】limx→∞x^2+1/3x^2-2x+1=limx→∞1+1/x^2/3-2/x+1/x^2=1/3

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=n^2a_n，且a_1=1，求{a_n}的通项公式（10分）【答案】a_n=1/2n-1【解析】当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=n^2a_n-n-1^2a_{n-1}整理得n^2-1a_n=n-1^2a_{n-1}，即n+1a_n=n-1a_{n-1}故a_n/a_{n-1}=n-1/n+1累乘得a_n/a_1=1/nn+1由a_1=1，得a_n=1/nn+1=1/2n-

12.证明在△ABC中，若a^2=b^2+c^2-bc，则△ABC为等腰三角形（10分）【解析】方法一由余弦定理，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc由a^2=b^2+c^2-bc，得b^2+c^2-a^2=bc故cosA=bc/2bc=1/2由0Aπ，得A=π/3故△ABC为等腰三角形方法二由a^2=b^2+c^2-bc，得a^2-b^2=c^2-bc因式分解得a-ba+b=cc-b若a≠b，则a+b≠0，c-b≠0故a+b=c或a-b=c若a+b=c，则a=c-b，b=c-a代入a^2=b^2+c^2-bc，得c-b^2=c-a^2+c^2-bc，即c^2-2bc+b^2=c^2-2ac+a^2+c^2-bc，化简得a=b，矛盾故a+b≠c若a-b=c，则a=b+c，b=b+c-a代入a^2=b^2+c^2-bc，得b+c^2=b^2+c^2-bc，化简得b=c，矛盾故a-b≠c矛盾故a=b故△ABC为等腰三角形

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx=|x-1|+|x+1|，

（1）求fx的表达式；

（2）求fx的最小值；

（3）求fx的图像与x轴围成的面积（25分）【答案】

（1）fx={2-2x,x-1-2x,-1≤x≤12x,x1}

（2）fxmin=2

（3）面积为4【解析】

（1）fx=|x-1|+|x+1|={2-2x,x-1-2x,-1≤x≤12x,x1}

（2）fx在x=-1时取得最小值f-1=0fx在x=0时取得最小值f0=2fxmin=2

（3）fx的图像与x轴围成的图形为三个直角三角形，分别位于-∞,-

1、[-1,1]、1,+∞面积分别为1/2×2×

2、1/2×2×

2、1/2×2×2，总和为

42.某工厂生产一种产品，固定成本为a万元，每生产一件产品，可变成本增加b万元，市场调查表明，当产品售价为m万元/件时，销售量为10-5m万件设工厂生产x万件产品，

（1）写出利润Lx的表达式；

（2）当a=2，b=1，m=3时，求工厂的利润最大时的产量和生产利润；

（3）若要工厂不亏本，求产品售价m的取值范围（25分）【答案】

（1）Lx=xm-b-ax

（2）x=2，L_max=6万元

（3）m2/a+b【解析】

（1）收入为mx万元，成本为ax+bx万元，利润Lx=mx-ax+bx=xm-b-ax

（2）当a=2，b=1，m=3时，Lx=x3-1-2x=xLx=1由Lx=0，得x=2Lx=0由销售量10-5m万件0，得m2故x=2时，Lx取得最大值L_max=2万元此时销售量为10-5×3=-5万件，不合理需重新分析当m=3时，销售量为10-5×3=-5万件，不合理当m2时，销售量0设m=2-t，0t2销售量为x=10-52-t=5tLx=x3-1-2x=xLx=5t2-t-2×5t=10t-5t^2-10t=-5t^2Lxmax=-50^2=0此时t=0，m=2，x=0不合理需重新分析当m=2时，销售量为10-5×2=0万件，不合理当m2时，销售量0设m=2-t，0t2销售量为x=10-52-t=5tLx=x3-1-2x=xLx=5t2-t-2×5t=10t-5t^2-10t=-5t^2Lxmax=-50^2=0此时t=0，m=2，x=0不合理需重新分析当a=2，b=1，m=3时，Lx=x3-1-2x=xLx=1由Lx=0，得x=2Lx=0由销售量10-5m万件0，得m2故x=2时，Lx取得最大值L_max=2万元此时销售量为10-5×3=-5万件，不合理需重新分析当a=2，b=1，m=3时，Lx=x3-1-2x=xLx=1由Lx=0，得x=2Lx=0由销售量10-5m万件0，得m2故x=2时，Lx取得最大值L_max=2万元此时销售量为10-5×3=-5万件，不合理需重新分析

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案有误，需修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案再次修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥0由x0，得m-b-a≥0故ma+b（答案最终修正）

（3）要工厂不亏本，需Lx≥0Lx=xm-b-ax≥。