数学网络竞赛压轴试题及答案解析

数学网络竞赛压轴试题及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知函数fx=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且f1=3，f-1=1，f0=-1，则f2的值为（）（2分）A.5B.7C.9D.11【答案】B【解析】由f1=3，得a+b+c=3；由f-1=1，得a-b+c=1；由f0=-1，得c=-1联立方程组解得a=2，b=2，c=-1因此fx=2x^2+2x-1，f2=2×2^2+2×2-1=

92.若复数z满足z^2=|z|^2，则z在复平面内对应的点位于（）（2分）A.实轴上B.虚轴上C.单位圆上D.原点【答案】A【解析】设z=a+bi，则z^2=a+bi^2=a^2-b^2+2abi，|z|^2=a^2+b^2由z^2=|z|^2，得2abi=0，即b=0，因此z为实数

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2=2c^2，则cosC的值为（）（2分）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5【答案】A【解析】由余弦定理得cosC=a^2+b^2-c^2/2ab，代入a^2+b^2=2c^2得cosC=2c^2-c^2/2ab=c^2/2ab又由a^2+b^2=2c^2得c^2=a^2+b^2/2，代入cosC得cosC=a^2+b^2/4ab=a^2+b^2/2ab×1/2=1/

24.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/S_n-1，则数列{a_n}的通项公式为（）（2分）A.a_n=1/nB.a_n=1/n+1C.a_n=1/n-1D.a_n=1/n^2【答案】A【解析】由a_n=S_n/S_n-1，得S_n-S_{n-1}=S_n/S_n-1，即S_{n-1}=S_n-S_n/S_n-1=S_n-1因此S_n=n，a_n=S_n-S_{n-1}=

15.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分段讨论当x-2时，fx=-x-1-x+2=-2x-1；当-2≤x≤1时，fx=-x-1+x+2=3；当x1时，fx=x-1+x+2=2x+1显然最小值为

36.已知圆O的半径为1，点A、B在圆上，且∠AOB=60°，则线段AB的长度为（）（2分）A.√3B.√2C.1D.1/2【答案】A【解析】由圆心角与弦的关系得AB=2sin∠AOB/2=2sin30°=√

37.在直角坐标系中，点Px,y满足x^2+y^2-2x+4y=0，则点P到原点的距离为（）（2分）A.2B.√5C.3D.√2【答案】B【解析】将方程配方得x-1^2+y+2^2=5，圆心为1,-2，半径为√5，因此点P到原点的距离为√1^2+-2^2+√5=√

58.已知函数fx=x^3-ax^2+bx-1有三个相异的零点，则a^2-4b的值为（）（2分）A.0B.1C.4D.9【答案】C【解析】由fx=x-rx-sx-t，得a=r+s+t，b=rs+rt+st，由r^2+s^2+t^2=r+s+t^2-2rs+rt+st，得r^2+s^2+t^2=a^2-2b又由r^2+s^2+t^2≥3√[rst]^2，得a^2-2b≥3√[rst]^2由fx有三个相异的零点，得rst0且r≠s≠t，因此a^2-4b=

49.在等差数列{a_n}中，a_1=1，a_5=11，则a_10的值为（）（2分）A.19B.20C.21D.22【答案】C【解析】由a_5=a_1+4d，得11=1+4d，解得d=

2.5，因此a_10=a_1+9d=1+9×

2.5=

2110.已知函数fx=sinx+π/6+cosx-π/3，则fx的最小正周期为（）（2分）A.2πB.πC.2π/3D.π/3【答案】A【解析】fx=sinx+π/6+cosx-π/3=sinx+π/6+sin[π/3-x]=√3/2sinx+1/2cosx+1/2cosx-√3/2sinx=cosx，因此最小正周期为2π

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些命题是真命题？（）A.若ab，则a^2b^2B.若a^2b^2，则abC.若ab，则1/a1/bD.若a^2b^2，则|a||b|【答案】C、D【解析】A不成立，如a=1，b=-2；B不成立，如a=-2，b=1；C成立，由ab得1/a1/b；D成立，由a^2b^2得|a||b|

2.以下哪些函数在其定义域内是单调递增的？（）A.y=2x+1B.y=x^2C.y=log_2xD.y=sinx【答案】A、C【解析】A是线性函数，斜率为正，单调递增；B是二次函数，开口向上，在0,+∞单调递增；C是对数函数，底数为21，单调递增；D是正弦函数，周期性变化，非单调

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2=b^2+c^2，则△ABC可能是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】B、D【解析】由a^2=b^2+c^2得△ABC为直角三角形；由直角三角形可能是等腰三角形，也可能是一般直角三角形，因此可能是等腰三角形

4.以下哪些数列是等差数列？（）A.a_n=2n-1B.a_n=3n+1C.a_n=n^2D.a_n=5n-2【答案】A、B、D【解析】A是等差数列，公差为2；B是等差数列，公差为3；C不是等差数列；D是等差数列，公差为

55.以下哪些不等式成立？（）A.2^x1B.e^x1C.log_2x0D.sinx0【答案】A、B、C【解析】A成立，因为x0时2^x1；B成立，因为x0时e^x1；C成立，因为x1时log_2x0；D不成立，因为sinx在[0,π]内不一定大于0

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若复数z=a+bi满足z^2=2z，则a^2+b^2的值为______（4分）【答案】2【解析】由z^2=2z得a+bi^2=2a+bi，即a^2-b^2+2abi=2a+2bi，得a^2-b^2=2a，2ab=2b，解得a=0或b=0，因此a^2+b^2=

22.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a:b:c=3:4:5，则cosA的值为______（4分）【答案】3/5【解析】设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理得cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16k^2+25k^2-9k^2/2×4k×5k=3/

53.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，则fx的最小值为______（4分）【答案】3【解析】分段讨论当x-2时，fx=-x-1-x+2=-2x-1；当-2≤x≤1时，fx=-x-1+x+2=3；当x1时，fx=x-1+x+2=2x+1显然最小值为

34.在等比数列{a_n}中，a_1=1，a_4=16，则a_7的值为______（4分）【答案】64【解析】由a_4=a_1q^3，得16=1×q^3，解得q=2，因此a_7=a_1q^6=1×2^6=

645.已知函数fx=sinx+π/6+cosx-π/3，则fx的最小正周期为______（4分）【答案】2π【解析】fx=sinx+π/6+cosx-π/3=sinx+π/6+sin[π/3-x]=√3/2sinx+1/2cosx+1/2cosx-√3/2sinx=cosx，因此最小正周期为2π

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则ab但a^2b^

22.若a^2b^2，则ab（）【答案】（×）【解析】如a=-2，b=1，则a^2b^2但ab

3.若ab，则1/a1/b（）【答案】（√）【解析】由ab得1/a1/b

4.若a^2b^2，则|a||b|（）【答案】（√）【解析】由a^2b^2得|a||b|

5.若fx=x^3-ax^2+bx-1有三个相异的零点，则a^2-4b=0（）【答案】（×）【解析】由fx有三个相异的零点，得a^2-4b0

五、简答题（每题4分，共12分）

1.设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/S_n-1，求证数列{a_n}是等比数列（4分）【证明】由a_n=S_n/S_n-1，得S_n-S_{n-1}=S_n/S_n-1，即S_{n-1}=S_n-S_n/S_n-1=S_n-1因此S_n=n，a_n=S_n-S_{n-1}=1因此数列{a_n}是等比数列，公比为

12.设函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值（4分）【解】fx=3x^2-6x，令fx=0，得x=0或x=2fx=6x-6，f0=-60，f2=60，因此f0=2为极大值，f2=0为极小值

3.设函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx在[-3,3]上的最大值和最小值（4分）【解】分段讨论当x-2时，fx=-x-1-x+2=-2x-1；当-2≤x≤1时，fx=-x-1+x+2=3；当x1时，fx=x-1+x+2=2x+1在x=-2时，fx=3；在x=1时，fx=3；在x=-3时，fx=5；在x=3时，fx=7因此最大值为7，最小值为3

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=x^3-ax^2+bx-1有三个相异的零点，求a、b满足的条件（10分）【解】由fx有三个相异的零点，得fx=3x^2-2ax+b=0有两个相异的实根，因此Δ=4a^2-12b0又由fx=x-rx-sx-t，得a=r+s+t，b=rs+rt+st，由r^2+s^2+t^2=r+s+t^2-2rs+rt+st，得r^2+s^2+t^2=a^2-2b又由r^2+s^2+t^2≥3√[rst]^2，得a^2-2b≥3√[rst]^2因此a、b满足4a^2-12b

02.设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/S_n-1，求证数列{a_n}是等比数列（10分）【证明】由a_n=S_n/S_n-1，得S_n-S_{n-1}=S_n/S_n-1，即S_{n-1}=S_n-S_n/S_n-1=S_n-1因此S_n=n，a_n=S_n-S_{n-1}=1因此数列{a_n}是等比数列，公比为1

七、综合应用题（每题25分，共25分）

1.设函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx在[-3,3]上的最大值和最小值，并证明你的结论（25分）【解】分段讨论当x-2时，fx=-x-1-x+2=-2x-1；当-2≤x≤1时，fx=-x-1+x+2=3；当x1时，fx=x-1+x+2=2x+1在x=-2时，fx=3；在x=1时，fx=3；在x=-3时，fx=5；在x=3时，fx=7因此最大值为7，最小值为3证明在x=-2时，fx=3；在x=1时，fx=3；在x=-3时，fx=5；在x=3时，fx=7因此最大值为7，最小值为3。