数理统计选择题汇总及答案

数理统计选择题汇总及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.在参数估计中，用样本的均值去估计总体的均值，所用的估计方法是（）A.最大似然估计法B.矩估计法C.点估计法D.区间估计法【答案】C【解析】点估计法是指用样本的某一函数值来估计总体的未知参数，这里用样本均值估计总体均值属于点估计法

2.设总体X服从正态分布Nμ,σ²，其中σ²未知，则μ的1-α置信区间是（）A.x-t_α/2s/√n,x+t_α/2s/√nB.x-z_α/2σ/√n,x+z_α/2σ/√nC.x-z_α/2s/√n,x+z_α/2s/√nD.x-t_α/2σ/√n,x+t_α/2σ/√n【答案】A【解析】当总体方差未知时，应使用t分布构建置信区间

3.设X1,X2,...,Xn是来自总体X的样本，若EX=μ，则样本方差S²是（）的无偏估计量A.VarXB.EXC.VarX²D.EX²【答案】A【解析】样本方差S²是总体方差VarX的无偏估计量

4.在假设检验中，犯第一类错误的概率记为α，犯第二类错误的概率记为β，则（）A.α+β=1B.α+β1C.α+β1D.α+β=β【答案】B【解析】α是当原假设为真时拒绝原假设的概率，β是当原假设为假时接受原假设的概率，两者之和一般小于

15.设总体X的概率密度函数为fx=1/βθ，0≤x≤θ，则θ的矩估计量为（）A.x B.2x C.3x D.x²【答案】B【解析】根据矩估计法，用样本均值x来估计总体参数，需满足EX=θ/2，因此θ的估计量为2x

6.设总体X服从泊松分布Pλ，其中λ未知，则λ的极大似然估计量是（）A.x B.maxXC.minXD.∑X【答案】A【解析】泊松分布的极大似然估计量就是样本均值

7.设总体X的分布未知，但知道X的分布是对称的，则根据大数定律，用样本中位数估计总体中位数（）A.一定比用样本均值更有效B.一定比用样本均值更无效C.效果取决于样本量D.效果与样本均值相同【答案】A【解析】对于对称分布，样本中位数比样本均值更有效

8.设总体X服从二项分布Bn,p，其中n已知，p未知，则p的1-α置信区间是（）A.x-z_α/2√p1-p/n,x+z_α/2√p1-p/nB.x-z_α/2√x1-x/n,x+z_α/2√x1-x/nC.x-z_α/2√np1-p/n,x+z_α/2√np1-p/nD.x-z_α/2√np1-p/n²,x+z_α/2√np1-p/n²【答案】B【解析】二项分布参数p的置信区间通常用正态近似

9.在方差分析中，若要检验k个正态总体的均值是否相等，应使用（）A.t检验B.F检验C.χ²检验D.Z检验【答案】B【解析】方差分析（ANOVA）通过F检验来比较多个总体的均值差异

10.设X1,X2,...,Xn是来自总体X的样本，若总体X的概率密度函数为fx;θ=θx^θ-1，0x1，则θ的矩估计量为（）A.1/x B.1/1-x C.x D.1-x【答案】B【解析】根据矩估计法，EX=θ/θ+1，用样本均值x估计EX，解得θ的估计量为1/1-x

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是假设检验的基本步骤？（）A.提出原假设和备择假设B.选择检验统计量C.计算检验统计量的值D.做出统计决策E.计算p值【答案】A、B、C、D【解析】假设检验的基本步骤包括提出假设、选择统计量、计算值和做出决策，p值是计算的一部分但不是基本步骤

2.以下哪些方法可以用来估计总体参数？（）A.点估计B.区间估计C.最大似然估计D.矩估计E.假设检验【答案】A、B、C、D【解析】区间估计和假设检验不是参数估计方法，而是参数推断方法

3.设总体X服从正态分布Nμ,σ²，其中μ未知，σ²已知，则μ的1-α置信区间是（）A.x-z_α/2σ/√n,x+z_α/2σ/√nB.x-t_α/2σ/√n,x+t_α/2σ/√nC.x-z_α/2s/√n,x+z_α/2s/√nD.x-t_α/2s/√n,x+t_α/2s/√n【答案】A【解析】当总体方差已知时，应使用标准正态分布构建置信区间

4.以下哪些是常用的假设检验方法？（）A.t检验B.F检验C.χ²检验D.Z检验E.Mann-WhitneyU检验【答案】A、B、C、D【解析】Mann-WhitneyU检验是非参数检验，不属于常用参数检验方法

5.设总体X的概率密度函数为fx=1/βθ，0≤x≤θ，则θ的（）A.矩估计量是2x B.极大似然估计量是xC.矩估计量是x D.极大似然估计量是2x【答案】A、D【解析】θ的矩估计量是2x，极大似然估计量也是2x

三、填空题（每题4分，共20分）

1.设总体X服从正态分布Nμ,σ²，其中μ未知，σ²已知，则μ的1-α置信区间的临界值是______【答案】z_α/2（4分）

2.设总体X的概率密度函数为fx;θ=θx^θ-1，0x1，则θ的矩估计量是______【答案】1/1-x（4分）

3.在假设检验中，犯第一类错误的概率记为α，犯第二类错误的概率记为β，则α+β______1【答案】（4分）

4.设总体X服从二项分布Bn,p，其中n已知，p未知，则p的1-α置信区间的临界值是______【答案】z_α/2（4分）

5.在方差分析中，若要检验k个正态总体的均值是否相等，应使用______检验【答案】F（4分）

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个正态分布的样本均值之差也服从正态分布（）【答案】（√）【解析】两个独立正态分布的样本均值之差仍然服从正态分布

2.在假设检验中，增大样本量可以同时减小α和β（）【答案】（×）【解析】增大样本量可以减小β，但α不变

3.设总体X的概率密度函数为fx=1/βθ，0≤x≤θ，则θ的极大似然估计量是样本最大值（）【答案】（×）【解析】θ的极大似然估计量是2x，不是样本最大值

4.设总体X服从正态分布Nμ,σ²，其中μ未知，σ²已知，则μ的1-α置信区间是x-z_α/2σ/√n,x+z_α/2σ/√n（）【答案】（√）【解析】这是标准正态分布的置信区间公式

5.在方差分析中，若要检验k个正态总体的均值是否相等，应使用t检验（）【答案】（×）【解析】应使用F检验来比较多个总体的均值差异

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述假设检验的基本步骤【答案】假设检验的基本步骤包括

（1）提出原假设H₀和备择假设H₁；

（2）选择合适的检验统计量；

（3）根据样本数据计算检验统计量的值；

（4）根据检验统计量的值和临界值或p值做出统计决策，判断是否拒绝原假设（5分）

2.简述矩估计法的原理【答案】矩估计法的基本原理是用样本矩来估计总体矩具体来说，用样本的k阶原点矩来估计总体的k阶原点矩，即EX^k≈x^k，然后通过解方程来估计未知参数（5分）

3.简述方差分析的基本思想【答案】方差分析的基本思想是通过比较不同组数据的方差，来判断不同组的均值是否存在显著差异主要分为单因素方差分析和多因素方差分析，通过F检验来检验组间方差和组内方差的比值，从而做出统计决策（5分）

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设总体X服从正态分布Nμ,σ²，其中μ未知，σ²已知，从总体中抽取样本容量为n的样本，样本均值为x假设检验的原假设为H₀μ=μ₀，备择假设为H₁μ≠μ₀请写出检验统计量和拒绝域【答案】检验统计量为Z=x-μ₀/σ/√n拒绝域为|Z|z_α/2即x-μ₀/σ/√nz_α/2或x-μ₀/σ/√n-z_α/2（10分）

2.设总体X的概率密度函数为fx;θ=θx^θ-1，0x1，θ未知从总体中抽取样本容量为n的样本，样本值为x₁,x₂,...,xₙ请写出θ的极大似然估计量【答案】极大似然估计的步骤如下

（1）写出似然函数Lθ=θ^nΠxᵢ^θ-1

（2）取对数似然函数lθ=nlnθ+θ-1Σlnxᵢ

（3）对θ求导并令其为0d/dθlθ=n/θ+Σlnxᵢ=0

（4）解得θ的极大似然估计量θ=n/Σlnxᵢ（10分）

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设某工厂生产的产品重量服从正态分布Nμ,

2.5²，现随机抽取50件产品，测得样本均值为

51.2克假设检验的原假设为H₀μ=50克，备择假设为H₁μ≠50克取α=

0.05，请进行假设检验【答案】

（1）检验统计量为Z=x-μ₀/σ/√n=

51.2-50/

2.5/√50=

1.6

（2）拒绝域为|Z|z_α/2=z_

0.025=

1.96

（3）由于|

1.6|

1.96，不拒绝原假设结论在α=

0.05的水平下，没有足够证据认为产品重量均值不为50克（25分）

2.设总体X的概率密度函数为fx;θ=θx^θ-1，0x1，θ未知从总体中抽取样本容量为4的样本，样本值为

0.3,

0.5,

0.7,

0.9请估计θ的矩估计量和极大似然估计量【答案】

（1）矩估计EX=θ/θ+1≈x=

0.3+

0.5+

0.7+

0.9/4=

0.65θ/θ+1=

0.65解得θ=

0.65/1-

0.65=

1.923

（2）极大似然估计似然函数Lθ=θ⁴

0.3^θ-

10.5^θ-

10.7^θ-

10.9^θ-1取对数lθ=4lnθ+θ-1[ln

0.3+ln

0.5+ln

0.7+ln

0.9]对θ求导d/dθlθ=4/θ+Σlnxᵢ=0解得θ=4/[-Σlnxᵢ]=4/[-ln

0.3-ln

0.5-ln

0.7-ln

0.9]≈

1.847（25分）---标准答案

一、单选题

1.C

2.A

3.A

4.B

5.B

6.A

7.A

8.B

9.B

10.B

二、多选题

1.A、B、C、D

2.A、B、C、D

3.A

4.A、B、C、D

5.A、D

三、填空题

1.z_α/

22.1/1-x

3.

4.z_α/

25.F

四、判断题

1.√

2.×

3.×

4.√

5.×

五、简答题

1.略

2.略

3.略

六、分析题

1.略

2.略

七、综合应用题

1.略

2.略。