新疆竞赛数学真题及详细答案解析

新疆竞赛数学真题及详细答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1时取得最小值-1，且f0=1，则a、b、c的值分别为（）（2分）A.a=1,b=-2,c=1B.a=1,b=2,c=1C.a=-1,b=2,c=1D.a=-1,b=-2,c=1【答案】C【解析】函数fx=ax^2+bx+c在x=1时取得最小值-1，说明抛物线开口向上，对称轴为x=1，即-b/2a=1，解得b=-2a又f0=1，即c=1将b=-2a代入f1=-1得a=-1，b=2，c=

12.已知集合A={x|x^2-3x+20},B={x|ax=1},若B⊆A，则a的取值范围是（）（2分）A.-∞,0∪0,1B.-∞,0∪1,+∞C.-∞,0∪0,1∪{2}D.-∞,0∪1,+∞∪{2}【答案】D【解析】由x^2-3x+20得A=-∞,1∪2,+∞当a=0时，B=∅⊆A；当a≠0时，B={1/a}，要使B⊆A，需1/a∈-∞,1∪2,+∞，解得a∈-∞,0∪1,+∞∪{2}

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是（）（2分）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形【答案】C【解析】由a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca得2a^2+b^2+c^2=2ab+bc+ca，即a-b^2+b-c^2+c-a^2=0，解得a=b=c，故△ABC为等边三角形

4.函数y=2sinωx+φ的图像关于y轴对称，且周期为π，则φ的取值可能是（）（2分）A.φ=π/4B.φ=π/2C.φ=3π/4D.φ=π【答案】B【解析】函数图像关于y轴对称，则ωx+φ=kπ+π/2，即φ=kπ+π/2，k∈Z又周期为π，则ω=2，故φ=kπ+π/2，k∈Z当k=0时，φ=π/

25.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=S_n/n-1，则a_5的值是（）（2分）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】由a_n=S_n/n-1得S_n=a_nn-1，故a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-n-1a_{n-1}，整理得a_n/a_{n-1}=n/n-1，故a_n=a_1×n=1×n=n当n=5时，a_5=

56.若复数z满足|z|=1且z^5=1，则z的值是（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】C【解析】|z|=1说明z位于单位圆上，z^5=1说明z是单位根单位根有5个1,ω,ω^2,ω^3,ω^4，其中ω=e^2πi/5，ω^3=e^6πi/5，ω^4=e^8πi/5当ω=e^2πi/5时，ω^5=1且|ω|=1，故z=i

7.执行以下程序段后，变量s的值是（）（2分）s=0foriinrange1,6:s=s+i2（2分）A.55B.56C.65D.70【答案】A【解析】当i=1时，s=0+1^2=1；当i=2时，s=1+2^2=5；当i=3时，s=5+3^2=14；当i=4时，s=14+4^2=30；当i=5时，s=30+5^2=

558.在直角坐标系中，点Pa,b关于直线x+y=1对称的点的坐标是（）（2分）A.-a,-bB.1-a,1-bC.b,aD.1-b,1-a【答案】B【解析】点Pa,b到直线x+y=1的距离为|a+b-1|/√2，对称点Qx,y在直线两侧距离相等，且x+y=2-a+b，联立方程解得Q1-a,1-b

9.不等式|2x-1|x+1的解集是（）（2分）A.-∞,-1∪2,+∞B.-∞,-1∪1/3,+∞C.-∞,-1∪1/2,+∞D.-∞,-1∪1/3,2【答案】B【解析】由|2x-1|x+1得2x-1x+1或2x-1-x-1，解得x2或x1/3，故解集为-∞,-1∪1/3,+∞

10.函数y=fx的图像与y=2x-1关于原点对称，则fx的表达式是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=2x+1C.y=-2x-1D.y=-2x+1【答案】A【解析】y=fx关于原点对称，则y=-f-x，由y=2x-1得-f-x=2-x-1=-2x-1，故fx=-2x+1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）（4分）A.若ab，则√a√bB.若sinα=sinβ，则α=βC.若fx是奇函数，则f0=0D.若x^2=1，则x=±1【答案】C、D【解析】A错，如-3-4但√3√4；B错，如sinπ/2=sin3π/2；C对，奇函数fx满足f-x=-fx，代入x=0得f0=-f0，故f0=0；D对，x^2=1得x=±

12.以下函数中，在区间0,π上单调递增的有（）（4分）A.y=cosxB.y=tanxC.y=x^2D.y=e^x【答案】B、C、D【解析】y=cosx在0,π上单调递减；y=tanx在0,π上单调递增；y=x^2在0,π上单调递增；y=e^x在0,π上单调递增

3.以下不等式正确的有（）（4分）A.log_23log_25B.1/2^-31/3^-3C.sin30°cos45°D.-3^2-2^3【答案】B、D【解析】A错，log_23log_25；B对，1/2^-3=81/3^-3=27；C错，sin30°=1/2cos45°=√2/2；D对，-3^2=9-2^3=-

84.以下数列中，是等差数列的有（）（4分）A.a_n=2n+1B.a_n=n^2C.a_n=3n-2D.a_n=2^n【答案】A、C【解析】A对，a_{n+1}-a_n=2n+1+1-2n+1=2，是等差数列；B错，a_{n+1}-a_n=n+1^2-n^2=2n+1，不是常数；C对，a_{n+1}-a_n=[3n+1-2]-3n-2=3，是等差数列；D错，a_{n+1}/a_n=2^{n+1}/2^n=2，是等比数列

5.以下命题中，正确的有（）（4分）A.若△ABC∽△DEF，则对应边成比例B.若直线l不过原点且斜率为k，则l的方程为y=kx+bC.若ab，则a^2b^2D.若|z|=1，则z^2=1【答案】A、B【解析】A对，相似三角形对应边成比例；B对，直线l不过原点且斜率为k，方程为y=kx+b；C错，如-2-3但-2^2-3^2；D错，|z|=1但z^2=1仅当z=±1，不成立

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知实数x满足x^2-3x+2≥0，则x的取值范围是______（4分）【答案】-∞,1]∪[2,+∞

2.若复数z=3+4i的模为|z|，则|z|的值是______（4分）【答案】

53.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值是______（4分）【答案】4/

54.函数y=|x-1|在区间[0,2]上的最大值是______，最小值是______（4分）【答案】1；

05.执行以下程序段后，变量t的值是______（4分）t=1foriinrange1,4:t=ti【答案】6

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-1,b=-2，则ab但a^2=1b^2=

42.若x^2=1，则x=1（）（2分）【答案】（×）【解析】x^2=1得x=±

13.若fx是偶函数，则f0一定存在（）（2分）【答案】（√）【解析】偶函数fx满足f-x=fx，代入x=0得f0=f0，故f0存在

4.若直线l不过原点且斜率为k，则l的方程为y=kx+b（）（2分）【答案】（√）【解析】直线l不过原点且斜率为k，方程为y=kx+b，其中b为截距

5.若|z|=1，则z^2=1（）（2分）【答案】（×）【解析】|z|=1但z^2=1仅当z=±1，不成立，如z=i时|z|=1但z^2=-1

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x^2-4x+3，求fx的最小值及取得最小值时的x值（5分）【答案】fx的最小值为-1，取得最小值时的x值为2【解析】fx=x^2-4x+3=x-2^2-1，故最小值为-1，取得最小值时的x值为

22.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求cosB的值（5分）【答案】cosB=3/5【解析】由余弦定理得cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=3^2+5^2-4^2/2×3×5=9/

103.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=S_n/n-1，求a_4的值（5分）【答案】a_4=4【解析】由a_n=S_n/n-1得S_n=a_nn-1，故a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-n-1a_{n-1}，整理得a_n/a_{n-1}=n/n-1，故a_n=a_1×n=1×n=n当n=4时，a_4=4

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=ax^2+bx+c在x=1时取得最小值-1，且f0=1，求a、b、c的值（10分）【答案】a=-1,b=2,c=1【解析】由fx=ax^2+bx+c在x=1时取得最小值-1得抛物线开口向下，对称轴为x=1，即-b/2a=1，解得b=-2a又f0=1，即c=1将b=-2a代入f1=-1得a=-1，b=2，c=

12.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=S_n/n-1，证明{a_n}是等差数列（10分）【证明】由a_n=S_n/n-1得S_n=a_nn-1，故a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-n-1a_{n-1}，整理得a_n/a_{n-1}=n/n-1，故a_n=a_1×n=1×n=n故{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^2-2x+3，求fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值（25分）【答案】最大值为7，最小值为2【解析】fx=x^2-2x+3=x-1^2+2，故最小值为2，取得最小值时的x值为1又f-1=6，f3=6，故最大值为7，取得最大值时的x值为

32.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=S_n/n-1，求a_5和a_10的值，并证明{a_n}是等差数列（25分）【答案】a_5=5，a_10=10，{a_n}是等差数列【解析】由a_n=S_n/n-1得S_n=a_nn-1，故a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-n-1a_{n-1}，整理得a_n/a_{n-1}=n/n-1，故a_n=a_1×n=1×n=n故a_5=5，a_10=10又a_{n+1}-a_n=n+1-n=1，故{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列---标准答案

一、单选题

1.C

2.D

3.C

4.B

5.C

6.C

7.A

8.B

9.B

10.A

二、多选题

1.C、D

2.B、C、D

3.B、D

4.A、C

5.A、B

三、填空题

1.-∞,1]∪[2,+∞

2.

53.4/

54.1；

05.6

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.fx的最小值为-1，取得最小值时的x值为

22.cosB=3/

53.a_4=4

六、分析题

1.a=-1,b=2,c=

12.{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列

七、综合应用题

1.最大值为7，最小值为

22.a_5=5，a_10=10，{a_n}是等差数列。