椭圆基础测试题及答案深度剖析

椭圆基础测试题及答案深度剖析

一、单选题

1.椭圆的标准方程为\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\，若\ab\，则椭圆的焦点在（）（1分）A.x轴上B.y轴上【答案】A【解析】椭圆的标准方程中，\a\为长轴半长，\b\为短轴半长，当\ab\时，长轴在x轴上，焦点也在x轴上

2.椭圆的离心率\e\的定义是（）（1分）A.\e=\frac{c}{a}\B.\e=\frac{a}{c}\【答案】A【解析】椭圆的离心率\e\是焦点到中心的距离\c\与长轴半长\a\的比值

3.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\的焦距为（）（1分）A.2B.3C.2\\sqrt{5}\D.3\sqrt{5}【答案】C【解析】椭圆的焦距为\2c\，其中\c=\sqrt{a^2-b^2}\，对于该椭圆，\a=3\，\b=2\，所以\c=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}\，焦距为\2\sqrt{5}\

4.椭圆的短轴长是（）（1分）A.2aB.2bC.2cD.a+b【答案】B【解析】椭圆的短轴长为\2b\

5.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的焦点坐标是（）（1分）A.±3,0B.0,±3C.±5,0D.0,±5【答案】A【解析】椭圆的焦点坐标为\±c,0\，其中\c=\sqrt{a^2-b^2}\，对于该椭圆，\a=4\，\b=3\，所以\c=\sqrt{4^2-3^2}=3\，焦点坐标为±3,

06.椭圆的准线方程为（）（1分）A.\x=±\frac{a^2}{c}\B.\y=±\frac{a^2}{c}\【答案】A【解析】椭圆的准线方程为\x=±\frac{a^2}{c}\

7.椭圆的离心率为\\frac{1}{2}\，则椭圆的方程为（）（1分）A.\\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\B.\\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1\【答案】A【解析】离心率\e=\frac{c}{a}\，给定\e=\frac{1}{2}\，所以\c=\frac{a}{2}\，\c^2=\frac{a^2}{4}\，即\a^2-b^2=\frac{a^2}{4}\，所以\b^2=\frac{3a^2}{4}\，取\a=2\，\b=\sqrt{3}\，椭圆方程为\\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\

8.椭圆\\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\的离心率为（）（1分）A.\\frac{3}{5}\B.\\frac{4}{5}\C.\\frac{3}{4}\D.\\frac{4}{3}\【答案】B【解析】椭圆的离心率\e=\frac{c}{a}\，其中\c=\sqrt{a^2-b^2}\，对于该椭圆，\a=5\，\b=4\，所以\c=\sqrt{5^2-4^2}=3\，离心率\e=\frac{3}{5}\

9.椭圆的长轴与短轴互相垂直时，椭圆的方程为（）（1分）A.\x^2+y^2=1\B.\x^2+y^2=r^2\【答案】A【解析】当椭圆的长轴与短轴互相垂直时，椭圆的方程为\x^2+y^2=1\

10.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1\的焦点坐标是（）（1分）A.0,±5B.±5,0C.0,±3D.±3,0【答案】A【解析】椭圆的焦点坐标为\0,±c\，其中\c=\sqrt{a^2-b^2}\，对于该椭圆，\a=4\，\b=3\，所以\c=\sqrt{4^2-3^2}=5\，焦点坐标为0,±5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是椭圆的性质？（）A.对称于坐标轴B.对称于原点C.焦点在长轴上D.离心率小于1E.准线与焦点对称【答案】A、B、C、D、E【解析】椭圆具有对称性，对称于坐标轴和原点，焦点在长轴上，离心率小于1，准线与焦点对称

2.椭圆的离心率\e\与长轴半长\a\、短轴半长\b\之间的关系包括（）A.\e=\frac{c}{a}\B.\c^2=a^2-b^2\C.\e=\frac{b}{a}\D.\e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\【答案】A、B、D【解析】椭圆的离心率\e\与长轴半长\a\、短轴半长\b\之间的关系包括\e=\frac{c}{a}\，\c^2=a^2-b^2\，\e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\

3.椭圆的准线方程与焦点的关系包括（）A.准线与焦点对称B.准线与焦点在长轴上C.准线与焦点在短轴上D.准线与焦点距离为\\frac{a^2}{c}\【答案】A、D【解析】椭圆的准线方程与焦点的关系包括准线与焦点对称，准线与焦点距离为\\frac{a^2}{c}\

4.椭圆的离心率\e\的取值范围是（）A.\0e1\B.\e=0\C.\e=1\D.\e1\【答案】A【解析】椭圆的离心率\e\的取值范围是\0e1\

5.椭圆的焦点与准线的关系包括（）A.焦点在准线上B.焦点与准线距离为\c\C.焦点与准线距离为\\frac{a^2}{c}\D.焦点与准线垂直【答案】C【解析】椭圆的焦点与准线的关系包括焦点与准线距离为\\frac{a^2}{c}\

三、填空题

1.椭圆\\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\的焦点坐标是______，离心率是______（4分）【答案】±3,0，\\frac{3}{5}\

2.椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆的方程是______（4分）【答案】\\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\

3.椭圆的离心率为\\frac{1}{3}\，长轴半长为6，则短轴半长是______（4分）【答案】

44.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\的准线方程是______（4分）【答案】\x=±\frac{9}{2}\

5.椭圆的焦点坐标为±2,0，离心率为\\frac{1}{2}\，则椭圆的方程是______（4分）【答案】\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\

四、判断题

1.椭圆的离心率越大，椭圆越扁平（）（2分）【答案】（√）【解析】椭圆的离心率越大，椭圆越扁平

2.椭圆的焦点到中心的距离总是小于长轴半长（）（2分）【答案】（√）【解析】椭圆的焦点到中心的距离\c\总是小于长轴半长\a\

3.椭圆的准线与焦点在同一直线上（）（2分）【答案】（√）【解析】椭圆的准线与焦点在同一直线上，且准线与焦点距离为\\frac{a^2}{c}\

4.椭圆的离心率为1时，椭圆退化为一条直线（）（2分）【答案】（×）【解析】椭圆的离心率为1时，椭圆退化为一个点，不是一条直线

5.椭圆的短轴与准线垂直（）（2分）【答案】（×）【解析】椭圆的短轴与准线不垂直

五、简答题

1.简述椭圆的定义及其标准方程（2分）【答案】椭圆是平面上到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹椭圆的标准方程为\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\，其中\a\为长轴半长，\b\为短轴半长

2.椭圆的离心率有哪些性质？（2分）【答案】椭圆的离心率\e\有以下几个性质\0e1\，\e=\frac{c}{a}\，\c^2=a^2-b^2\，\e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\

3.椭圆的焦点与准线之间有哪些关系？（2分）【答案】椭圆的焦点与准线之间的关系包括焦点与准线对称，焦点与准线距离为\\frac{a^2}{c}\

六、分析题

1.分析椭圆的离心率对椭圆形状的影响（10分）【答案】椭圆的离心率\e\对椭圆形状有显著影响当\e\接近0时，椭圆接近圆形；当\e\接近1时，椭圆越扁平具体来说，离心率越大，椭圆越扁平，焦点之间的距离越大，准线之间的距离越小离心率的变化直接影响椭圆的几何形状和性质

2.分析椭圆的准线与焦点之间的关系（10分）【答案】椭圆的准线与焦点之间的关系包括准线与焦点对称，焦点与准线距离为\\frac{a^2}{c}\准线是椭圆上所有点到焦点的距离与到准线的距离之比为离心率的点的轨迹准线的位置与焦点的位置密切相关，准线的位置决定了椭圆的离心率，进而影响椭圆的形状

七、综合应用题

1.已知椭圆的焦点坐标为±3,0，离心率为\\frac{1}{2}\，求椭圆的方程（20分）【答案】解设椭圆的标准方程为\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\，其中\ab\由题意，焦点坐标为±3,0，离心率\e=\frac{1}{2}\所以，\c=3\，\e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\，即\a=6\由\c^2=a^2-b^2\，得\3^2=6^2-b^2\，即\9=36-b^2\，所以\b^2=27\，\b=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\因此，椭圆的方程为\\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1\---完整标准答案

一、单选题

1.A

2.A

3.C

4.B

5.A

6.A

7.A

8.B

9.A

10.A

二、多选题

1.A、B、C、D、E

2.A、B、D

3.A、D

4.A

5.C

三、填空题

1.±3,0，\\frac{3}{5}\

2.\\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\

3.

44.\x=±\frac{9}{2}\

5.\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.椭圆是平面上到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹椭圆的标准方程为\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\，其中\a\为长轴半长，\b\为短轴半长

2.椭圆的离心率\e\有以下几个性质\0e1\，\e=\frac{c}{a}\，\c^2=a^2-b^2\，\e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\

3.椭圆的焦点与准线之间的关系包括焦点与准线对称，焦点与准线距离为\\frac{a^2}{c}\

六、分析题

1.椭圆的离心率\e\对椭圆形状有显著影响当\e\接近0时，椭圆接近圆形；当\e\接近1时，椭圆越扁平具体来说，离心率越大，椭圆越扁平，焦点之间的距离越大，准线之间的距离越小离心率的变化直接影响椭圆的几何形状和性质

2.椭圆的准线与焦点之间的关系包括准线与焦点对称，焦点与准线距离为\\frac{a^2}{c}\准线是椭圆上所有点到焦点的距离与到准线的距离之比为离心率的点的轨迹准线的位置与焦点的位置密切相关，准线的位置决定了椭圆的离心率，进而影响椭圆的形状

七、综合应用题

1.设椭圆的标准方程为\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\，其中\ab\由题意，焦点坐标为±3,0，离心率\e=\frac{1}{2}\所以，\c=3\，\e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\，即\a=6\由\c^2=a^2-b^2\，得\3^2=6^2-b^2\，即\9=36-b^2\，所以\b^2=27\，\b=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\因此，椭圆的方程为\\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1\。