深圳一模理科试题全貌与参考答案

深圳一模理科试题全貌与参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0，解得a=

32.已知向量a=1，2，b=3，-1，则向量a+b的模长为（）（2分）A.√5B.2√2C.√10D.√17【答案】C【解析】|a+b|=|（4，1）|=√4²+1²=√

173.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（2分）A.8πB.16πC.24πD.32π【答案】D【解析】由三视图可知为球体，半径R=2，体积V=4/3πR³=32π

4.若复数z满足|z|=1且argz=π/3，则z的代数形式为（）（2分）A.1/2+√3/2iB.√3/2-i/2C.√3/2+i/2D.-1/2+√3/2i【答案】C【解析】z=cosπ/3+isinπ/3=√3/2+i/

25.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）s=0foriinrange1,5:s=s+i2A.15B.30C.55D.100【答案】B【解析】s=1+4+9+16=

306.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1且S_n=2a_n-1，则a₅的值为（）（2分）A.16B.32C.64D.128【答案】A【解析】S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，整理得a_n=2a_n-1，数列为等比数列，a₅=

167.函数fx=log₂x²-2x+3的定义域为（）（2分）A.0，3B.[1，2]C.RD.-∞，0∪3，+∞【答案】C【解析】x²-2x+3=x-1²+20恒成立，定义域为R

8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，C=60°，则cosB的值为（）（2分）A.1/2B.√3/2C.1/4D.√3/4【答案】D【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，sinB=bsinA/a=√3/4，cosB=√1-sin²B=√3/

49.某工厂生产的产品合格率为95%，现随机抽取5件产品，则至少有1件不合格的概率为（）（2分）A.

0.05B.

0.23C.

0.77D.

0.95【答案】C【解析】P=1-

0.95^5≈

0.

7710.若直线y=kx+1与圆x²+y²=4相交于两点，则k的取值范围为（）（2分）A.k2√2B.k2√2C.|k|2√2D.|k|2√2【答案】C【解析】圆心到直线距离d=|1|/√1+k²2，解得|k|2√2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a²b²C.函数y=1/x在定义域内单调递减D.若fx为奇函数，则f0=0【答案】A、D【解析】B反例a=1，b=-2；C反例-2，-1与-1，0上单调性不同

2.已知函数fx满足fx+1=fx+1，且f0=1，则下列说法正确的有（）（4分）A.fx为奇函数B.fx为偶函数C.fx=x+1D.fx为周期函数【答案】A、C【解析】fx=x+1，f-x=-x+1≠fx，f-x=-x-1≠-fx，非奇非偶，非周期

3.在△ABC中，下列条件能确定△ABC的是（）（4分）A.a=3，b=4，C=60°B.a=5，b=7，c=10C.A=45°，B=60°，C=75°D.b=8，c=3，a=5【答案】A、B、C【解析】D中5²≠3²+8²，不满足勾股定理

4.以下不等式成立的有（）（4分）A.2^x3^xB.log₃xlog₂xC.sinx+π/6sinx-π/6D.√2-1^x+1√2+1^x+1【答案】C、D【解析】A反例x=0；B反例x=1/2；C利用和角公式证明

5.某班级有30名学生，其中男生20名，女生10名，现要选3名学生参加比赛，则下列说法正确的有（）（4分）A.选出的3名学生都是男生的概率为2/3B.至少有1名女生当选的概率为1/3C.选出的3名学生中男生比女生多的概率为1/3D.选出的3名学生都是女生的概率为1/30【答案】A、C【解析】A:P=C20,3/C30,3=

0.2；B:1-

0.2=

0.8；C:2C20,2C10,1/C30,3=

0.4；D:0

三、填空题（每题4分，共32分）

1.已知圆C x-1²+y+2²=4，则圆心C到直线3x-4y-5=0的距离为______（4分）【答案】3【解析】d=|31-4-2-5|/√3²+-4²=

32.若函数fx=x²+px+q在x=1处取得极值-2，则p+q的值为______（4分）【答案】-4【解析】f1=2+1=0，f1=1+p+q=-2，解得p=-4，q=1，p+q=-

33.在等差数列{a_n}中，若a₅+a₇=18，a₈=10，则公差d的值为______（4分）【答案】2【解析】a₅+a₇=2a₆=18，a₆=9，a₈=a₆+2d=10，解得d=

24.执行以下程序段后，变量t的值为______（4分）t=0foriinrange1,6:ifi%2==0:t=t+i【答案】9【解析】t=2+4=

65.在直角坐标系中，点A1，2关于直线y=x对称的点的坐标为______（4分）【答案】2，1【解析】x，y↔y，x

6.若复数z=1+i，则z³的虚部为______（4分）【答案】-2【解析】z³=1+i³=1+3i+3i²+i³=1+3i-3-i=-2+2i，虚部为

27.在△ABC中，若角A=60°，a=√3，b=2，则sinB的值为______（4分）【答案】√3/2【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，sinB=bsinA/a=2√3/2/√3=√3/

28.某校高一年级有1000名学生，随机抽取200名学生进行调查，若样本中视力不良的有30人，则该校高一年级视力不良学生人数的估计值为______（4分）【答案】150【解析】150030/200=150

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间a，b上单调递增，则fx在a，b上无极值点（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=x³在-1，1上单调递增，但x=0处有极小值

2.方程x²+px+q=0有实根的充要条件是Δ=p²-4q≥0（）（2分）【答案】（×）【解析】充要条件应为Δ≥

03.在△ABC中，若a²=b²+c²，则△ABC为直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】满足勾股定理

4.若事件A的概率为

0.6，事件B的概率为

0.7，则事件A与事件B同时发生的概率为

0.42（）（2分）【答案】（×）【解析】需考虑独立性，若A、B独立，PAB=

0.

60.7=

0.

425.函数y=1/x²+1在-∞，+∞上为减函数（）（2分）【答案】（×）【解析】在-∞，0上递减，在0，+∞上递增

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x+2，求fx的单调区间（4分）【答案】fx=3x²-3=3x+1x-1，令fx=0得x=-1，1当x∈-∞，-1时，fx0，递增；当x∈-1，1时，fx0，递减；当x∈1，+∞时，fx0，递增单调增区间-∞，-1，1，+∞；单调减区间-1，

12.求不等式|2x-1|3的解集（4分）【答案】-32x-13-22x4-1x2解集为-1，

23.已知向量a=3，1，b=-1，2，求向量a+b的坐标及模长（4分）【答案】a+b=3-1，1+2=2，3|a+b|=√2²+3²=√

134.求sinα+β的值，其中α=π/4，β=π/3（4分）【答案】sinα+β=sinπ/4+π/3=sinπ/4cosπ/3+cosπ/4sinπ/3=√2/21/2+√2/2√3/2=√2/4√3+

15.某班级有男生30人，女生20人，现要选出3人组成小组，则至少有1名女生的选法有多少种？（4分）【答案】总选法C50,3=19600全是男生的选法C30,3=4060至少1名女生的选法19600-4060=15540种

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-1，证明{a_n}为等比数列（12分）【证明】S_n=2a_n-1

①S_n-1=2a_n-1-1

②①-

②得a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1故{a_n}为等比数列，公比为

22.已知函数fx=x³-3x²+2x+1，求函数的最小值（12分）【解】fx=3x²-6x+2=3x-1²-1，令fx=0得x=1±√3/3当x∈-∞，1-√3/3时，fx0，递增；当x∈1-√3/3，1+√3/3时，fx0，递减；当x∈1+√3/3，+∞时，fx0，递增f1-√3/3=1-3/2√3+21-√3/3+1=4-√3，为极大值；f1+√3/3=1-3/2√3+21+√3/3+1=4+√3，为极小值最小值为4+√3

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，已知固定成本为10000元，每件产品可变成本为50元，售价为80元，若市场需求量x与售价p满足关系p=120-2x

（1）求该工厂的利润函数；

（2）求该工厂获得最大利润时的产量和最大利润；

（3）若要获得至少20000元的利润，至少要生产多少件产品？（25分）【解】

（1）收入函数Rx=px=120-2xx=120x-2x²成本函数Cx=10000+50x利润函数Lx=Rx-Cx=120x-2x²-10000+50xLx=-2x²+70x-10000

（2）Lx=-4x+70，令Lx=0得x=

17.5Lx=-40，x=

17.5时取得极大值，也为最大值最大利润L

17.5=-

217.5²+

7017.5-10000=

562.5元当x=18时，L18=-218²+7018-10000=550元故x=17时，最大利润为

562.5元

（3）令Lx≥20000，-2x²+70x-10000≥20000-2x²+70x-30000≥0，解得x≥50或x≤-60（舍去）至少要生产50件产品

2.已知函数fx=a^x+b，其中a0且a≠1，b为常数，若f1=3且f2+f0=7

（1）求a和b的值；

（2）判断fx的单调性；

（3）解方程fx=4（25分）【解】

（1）f1=a+b=3

①f2+f0=a²+b+a+b=7，即a²+2b=7

②①代入

②得a²+6=7，a²=1，a=1（舍去）或a=-1（舍去）a=2，b=1

（2）fx=2^x+1，fx=2^xln20，故fx在R上单调递增

（3）2^x+1=4，2^x=3，x=log₂3。