深圳一模理科题目及对应答案披露

深圳一模理科题目及对应答案披露

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）（2分）A.y=-2x+3B.y=1/3^xC.y=log_2xD.y=sinx【答案】C【解析】y=log_2x在其定义域（x0）内单调递增

2.若复数z满足|z|=2且z^2为纯虚数，则z等于（）（2分）A.2iB.-2iC.2D.-2【答案】A【解析】设z=a+bi，则|a+bi|=2且a+bi^2=-b^2+2abi为纯虚数，解得a=0,b=±2，z=±2i，考虑模长为2，得z=2i

3.某几何体的三视图如下图所示，该几何体是（）（2分）（假设图为圆锥的三视图）A.球体B.圆柱C.圆锥D.立方体【答案】C【解析】根据三视图可知几何体为圆锥

4.不等式|x-1|2的解集为（）（2分）A.-1,3B.-1,2C.0,2D.-1,3【答案】A【解析】|x-1|2等价于-2x-12，解得-1x

35.设函数fx=x^3-ax^2+bx，若fx在x=1处取得极值，则a+b等于（）（2分）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】fx=3x^2-2ax+b，f1=3-2a+b=0，f1=6-2a=0，解得a=3,b=-3，a+b=

06.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosB等于（）（2分）A.1/2B.3/4C.4/5D.5/4【答案】C【解析】由余弦定理，cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=9+25-16/235=4/

57.某班级有40名学生，其中男生20名，女生20名，现要随机选出3名学生组成一个小组，则选出的3名学生中恰好有2名男生和1名女生的概率为（）（2分）A.1/40B.1/20C.3/40D.1/4【答案】D【解析】P=C20,2C20,1/C40,3=2019/220/403938/6=1/

48.已知数列{a_n}是等比数列，a_1=1，a_3=8，则a_5等于（）（2分）A.16B.24C.32D.64【答案】C【解析】设公比为q，则a_3=a_1q^2=8，q^2=8，a_5=a_1q^4=18^2=64，a_5=a_3q^2=88=

649.在直角坐标系中，直线l的方程为y=kx+b，若直线l经过点1,2且与直线x-y=0平行，则k等于（）（2分）A.-1B.1C.2D.-2【答案】B【解析】直线x-y=0的斜率为1，平行直线斜率相同，k=

110.已知圆C的方程为x-1^2+y+2^2=4，则圆心到直线3x+4y-1=0的距离为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】圆心1,-2到直线3x+4y-1=0的距离d=|31+4-2-1|/sqrt3^2+4^2=|3-8-1|/5=1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列说法中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若A∩B=∅，则A和B中至少有一个是空集C.若A⊆B，则B⊆AD.若A⊆B且B⊆C，则A⊆C【答案】A、D【解析】A正确，空集是任何集合的子集；B错误，A和B可能都是非空集；C错误，A⊆B不一定有B⊆A；D正确，传递性

2.下列函数中，在其定义域内存在反函数的有（）（4分）A.y=x^3B.y=x+1C.y=sinxD.y=e^x【答案】A、B、D【解析】A单调递增，存在反函数；B单调递增，存在反函数；C不是单调函数，不存在反函数；D单调递增，存在反函数

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2=c^2，则下列说法中正确的有（）（4分）A.cosC=0B.△ABC是直角三角形C.sinA=sinBD.△ABC是等腰三角形【答案】A、B【解析】A正确，由余弦定理cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=0；B正确，a^2+b^2=c^2是勾股定理；C错误，a≠b；D错误，a≠b

4.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若x^2=1，则x=1B.若x0，则x^2xC.若A∪B=A，则B⊆AD.若A×B=∅，则A=∅或B=∅【答案】C、D【解析】A错误，x=±1；B错误，0x1时x^2x；C正确，由并集定义；D正确，笛卡尔积为空集的条件

5.在等差数列{a_n}中，a_1=2，a_4=8，则下列说法中正确的有（）（4分）A.公差d=3B.a_7=14C.S_10=110D.S_n=n^2+n【答案】A、B、C【解析】A正确，a_4=a_1+3d=8，2+3d=8，d=2；B正确，a_7=a_1+6d=2+62=14；C正确，S_10=10/22+2+92=520=100；D错误，S_n=n/22a_1+n-1d=n/24+2n-2=n^2+n

三、填空题（每空2分，共16分）

1.若x=2是方程3x^2-ax+2=0的一个根，则a=______（2分）【答案】1【解析】32^2-a2+2=0，12-2a+2=0，14=2a，a=

72.在直角坐标系中，点A1,2关于直线x+y=0对称的点的坐标为______（2分）【答案】-2,-1【解析】设对称点为x,y，则1+x/2=-1，2+y/2=-1，解得x=-2,y=-

13.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则sinA=______（2分）【答案】3/5【解析】由余弦定理cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16+25-9/245=32/40=4/5，sinA=sqrt1-cos^2A=sqrt1-16/25=sqrt9/25=3/

54.在等比数列{a_n}中，a_2=6，a_4=54，则a_6=______（2分）【答案】486【解析】设公比为q，则a_4=a_2q^2=54，6q^2=54，q^2=9，q=±3，a_6=a_4q^2=549=

4865.函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为______，最小值为______（4分）【答案】2；-2【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，f-1=90，f0=0，f1=-30，f2=0，f3=90，f-1=0，f0=2，f1=0，f2=-2，f3=2，最大值为2，最小值为-

26.已知圆C的方程为x-1^2+y+2^2=4，则圆C上到直线x-y-1=0距离最远的点的坐标为______（4分）【答案】5,-1【解析】圆心1,-2到直线x-y-1=0的距离d=|1--2-1|/sqrt1^2+-1^2=2/sqrt2=sqrt2，最远点与圆心关于直线对称，设对称点为x,y，则1+x/2=1+sqrt2，-2+y/2=-2-sqrt2，解得x=2+2sqrt2，y=-4-2sqrt2，即5,-1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若x^2=1，则x=1（）（2分）【答案】（×）【解析】x=±

12.若A⊆B，则B⊆A（）（2分）【答案】（×）【解析】例如A={1}，B={1,2}，A⊆B但B⊈A

3.若A∩B=∅，则A和B中至少有一个是空集（）（2分）【答案】（×）【解析】A和B可能都是非空集，例如A={1,2}，B={3,4}

4.若A×B=∅，则A=∅或B=∅（）（2分）【答案】（√）【解析】笛卡尔积为空集的条件是A和B中至少有一个是空集

5.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}也是等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a_n=n，{a_n}是等差数列，但{a_n^2}={n^2}不是等差数列

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x的值（4分）【答案】最小值为3，取得最小值时的x的值为-2≤x≤1【解析】fx=|x-1|+|x+2|在x=-2时f-2=3；在x=1时f1=3；在-2≤x≤1时fx=1-x+x+2=3，故最小值为3，取得最小值时的x的值为-2≤x≤

12.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求cosA和cosB的值（4分）【答案】cosA=4/5，cosB=3/4【解析】由余弦定理cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16+25-9/245=32/40=4/5；cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=9+25-16/235=18/30=3/

43.已知数列{a_n}是等比数列，a_1=2，a_3=8，求a_5的值（4分）【答案】a_5=32【解析】设公比为q，则a_3=a_1q^2=8，2q^2=8，q^2=4，q=±2，a_5=a_3q^2=84=

324.求函数fx=x^3-3x^2+2的单调递增区间和单调递减区间（4分）【答案】单调递增区间为-∞,0和2,+∞，单调递减区间为0,2【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，fx0时x0或x2，fx0时0x2，故单调递增区间为-∞,0和2,+∞，单调递减区间为0,

25.求圆C x^2+y^2-2x+4y-4=0的圆心和半径（4分）【答案】圆心为1,-2，半径为sqrt13【解析】圆方程为x-1^2+y+2^2=13，圆心为1,-2，半径为sqrt13

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-ax^2+bx，若fx在x=1处取得极值，且f1=2，求a和b的值（10分）【答案】a=4，b=-3【解析】fx=3x^2-2ax+b，f1=3-2a+b=0，f1=6-2a=0，解得a=3,b=-3，又f1=1-a+b=2，解得a=4,b=-

32.已知数列{a_n}是等差数列，a_1=2，a_4=8，求S_n的表达式（10分）【答案】S_n=n^2+n【解析】设公差为d，则a_4=a_1+3d=8，2+3d=8，d=2，S_n=n/22a_1+n-1d=n/24+2n-2=n/22n+2=nn+1=n^2+n

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求sinA、sinB、sinC的值，并证明△ABC是直角三角形（25分）【答案】sinA=3/5，sinB=4/5，sinC=1，△ABC是直角三角形【解析】由余弦定理cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16+25-9/245=32/40=4/5，sinA=sqrt1-cos^2A=sqrt1-16/25=sqrt9/25=3/5；cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=9+25-16/235=18/30=3/5，sinB=sqrt1-cos^2B=sqrt1-9/25=sqrt16/25=4/5；cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=9+16-25/234=0，sinC=sqrt1-cos^2C=sqrt1=1由sinC=1，角C为直角，故△ABC是直角三角形

2.已知函数fx=x^3-ax^2+bx，若fx在x=1处取得极值，且f1=2，求a和b的值，并求fx的单调区间和极值（25分）【答案】a=4，b=-3，单调递增区间为-∞,0和2,+∞，单调递减区间为0,2，极大值为f0=2，极小值为f2=-2【解析】fx=3x^2-2ax+b，f1=3-2a+b=0，f1=6-2a=0，解得a=3,b=-3，又f1=1-a+b=2，解得a=4,b=-3；fx=3x^2-8x+3=3x-1x-3/4，fx0时x1或x3/4，fx0时1x3/4，故单调递增区间为-∞,0和2,+∞，单调递减区间为0,2；极大值为f0=2，极小值为f2=-2标准答案

一、单选题

1.C

2.A

3.C

4.A

5.B

6.C

7.D

8.C

9.B

10.A

二、多选题

1.A、D

2.A、B、D

3.A、B

4.C、D

5.A、B、C

三、填空题

1.

12.-2,-

13.3/

54.

4865.2；-

26.5,-1

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.最小值为3，取得最小值时的x的值为-2≤x≤

12.cosA=4/5，cosB=3/

43.a_5=

324.单调递增区间为-∞,0和2,+∞，单调递减区间为0,

25.圆心为1,-2，半径为sqrt13

六、分析题

1.a=4，b=-

32.S_n=n^2+n

七、综合应用题

1.sinA=3/5，sinB=4/5，sinC=1，△ABC是直角三角形

2.a=4，b=-3，单调递增区间为-∞,0和2,+∞，单调递减区间为0,2，极大值为f0=2，极小值为f2=-2。