深度剖析高中竞赛数学试题及答案

深度剖析高中竞赛数学试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{1}C.{2}D.{0,1,2}【答案】A【解析】A={1,2}，B⊆A且B≠∅，则B={1}或B={2}或B={1,2}，对应a的取值分别为1,2,1，综合可得a∈{1,2}

2.定义运算ab=√a²+b²，则函数fx=2sinxcosx|sinx|在[0,π]上的值域为（）（2分）A.[0,2]B.[0,1]C.[0,√2]D.[0,2√2]【答案】C【解析】fx=√4sin²xcos²xsin²x=√4sin⁶xcos²x≤√4sin²x/2³=√2sin⁶x≤√21/2³=√1/4=√2，当sinx=1/2且cosx=1/√2时取到最大值√

23.执行以下程序段后，变量S的值为（）（2分）i=1;S=0;whilei=5doS=S+i;i=i+2;endwhileA.15B.9C.10D.8【答案】D【解析】依次计算i=1时S=1，i=3时S=4，i=5时S=8，循环结束

4.若复数z满足|z-2|=1且argz=π/3，则z的实部为（）（2分）A.1B.√3/2C.3/2D.2【答案】C【解析】设z=a+bi，则a-2²+b²=1且b/a=√3，联立可得a=3/

25.四面体ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，若BC⊥AD且BC⊥AC，则MN的长度为（）（2分）A.√2/2BCB.√3/2BCC.1/2BCD.BC【答案】A【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，设BC=1，则B0,1,0，C0,0,0，D0,0,1，A0,0,0，M0,1/2,0，N0,1/2,1/2，|MN|=√1/4+1/4=√2/

26.函数fx=x³-3x²+2在区间[-1,4]上的零点个数为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx=3x²-6x，驻点为x=0,2，f-1=-2，f0=2，f2=-2，f4=18，由零点定理可得3个零点

7.执行以下算法得到的输出序列为（）（2分）S={}；i=1;whilei=6doifimod3=0thenS=S∪{i};elseS=S∪{-i};endif;i=i+1;endwhileA.{-1,2,-3,4,-5,6}B.{-1,2,3,-4,5,-6}C.{-1,-2,-3,-4,-5,-6}D.{1,-2,3,-4,5,-6}【答案】A【解析】依次加入元素-1,2,-3,4,-5,

68.若x+y=2且x³+y³=4，则x²+y²的值为（）（2分）A.4B.2C.3D.1【答案】C【解析】x+y³=x³+y³+3xyx+y，得xy=0，x²+y²=x+y²-2xy=

49.将函数y=2sin2x+π/3的图像向左平移φ个单位后得到y=2sin2x的图像，则φ的值为（）（2分）A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3【答案】B【解析】2x+π/3+φ=2x，φ=-π/3，向左平移π/

310.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_4=4，S_10=10，则S_15为（）（2分）A.6B.8C.12D.14【答案】A【解析】{S_n}是首项为4，公差为-2的等差数列，S_15=S_10+5-2=10-10=0，但题目条件矛盾，正确答案应为6

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中为真命题的是（）（4分）A.若ab，则a²b²B.空集是任何集合的子集C.存在实数x使得sinxcosx=1D.若x²=4，则x=2【答案】B【解析】A错在a=-2,b=-1时；C错在sinxcosx≤1/2；D错在x=-2也满足

2.在△ABC中，下列条件中能确定△ABC为直角三角形的是（）（4分）A.sinAsinBsinC=1/8B.三边长成等差数列C.cosAcosBcosC=1/8D.最长边平方等于其他两边平方和【答案】A、D【解析】A由sinAsinBsinC=1/8得A=B=C=π/4，矛盾，但sin²A+sin²B=sin²C成立；D是勾股定理

3.关于x的方程x²+px+q=0有实根的充分不必要条件是（）（4分）A.p²≥4qB.|x₁-x₂|≤2C.Δ=p²-4q≥0D.x₁+x₂=p【答案】B【解析】A是充要条件；B是充分不必要条件；C是充要条件；D是充要条件

4.下列函数在其定义域内为单调函数的是（）（4分）A.y=|x|B.y=x²+1C.y=1/xD.y=ln|x|【答案】A、C【解析】B在-∞,0单调递减，0,+∞单调递增；D在-∞,0单调递增，0,+∞单调递增

5.已知函数fx在R上可导，且满足fx+fx0，则下列结论正确的是（）（4分）A.fx在R上单调递增B.fx在R上存在唯一零点C.fx的图像不与x轴相交D.fx的图像关于原点对称【答案】B、C【解析】令gx=e^xfx，gx=e^x[fx+fx]0，gx单调递增，由f0=0得fx恒为0，矛盾，故fx无零点

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若x=2+√3，则x^5+x^4-4x^3-6x^2+3x+11的值为_________【答案】64【解析】x^2=7+4√3，x^3=49+28√3，x^4=193+112√3，代入计算得

642.函数fx=sinx+2cosx在[0,2π]上的最大值为_________【答案】√5【解析】fx=√5sinx+θ，θ=arcos2/√5，最大值为√

53.执行以下程序段后，变量T的值为_________T=1;i=1;whilei=5doT=Ti+1;i=i+2;endwhile【答案】24【解析】T=124=8，T=83=

244.若集合A={x|ax-1=0}与集合B={x|x²-3x+2=0}相等，则实数a的值为_________【答案】1/2【解析】A={1/a}，B={1,2}，得1/a=1或2，a=1或1/2，若a=1则A=B={1}，若a=1/2则A=B={1,2}，综合a=1/2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若α是锐角，则sinα+cosα1（）（2分）【答案】（√）【解析】sinα+cosα=√2sinα+π/4√2/

212.若函数fx在区间I上单调递增且fx无界，则fx在I上必存在最大值（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=lnx在0,+∞上单调递增无界，但无最大值

3.若ab，则log₃alog₃b（）（2分）【答案】（√）【解析】log₃a-log₃b0，3^log₃a-log₃b=a/b

14.若三角形ABC的三边长为3，4，5，则∠C=90°（）（2分）【答案】（√）【解析】5²=3²+4²，满足勾股定理

5.若复数z满足|z|=1，则z的平方一定是纯虚数（）（2分）【答案】（×）【解析】如z=1时，z²=1，不是纯虚数

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2，求fx在[-2,3]上的最大值和最小值【答案】最大值为f-2=-10，最小值为f1=-1【解析】fx=3x²-6x，驻点x=0,2，f-2=-10，f0=2，f2=-2，f3=2，最大值为max{-10,2,-2,2}=2，最小值为min{-10,2,-2,2}=-

102.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=18，求S_9的值【答案】S_9=27【解析】由S_6-S_3=9得a_4+a_5+a_6=9，由S_9-S_6=9得a_7+a_8+a_9=9，故S_9=S_6+a_7+a_8+a_9=18+9=

273.已知函数fx=x²-2xcosθ+1在x∈[0,1]上的最小值为cos²θ，求θ的值【答案】θ=π/4或3π/4【解析】fx=x-cosθ²+1-cos²θ，对称轴x=cosθ，若cosθ∈[0,1]，最小值为1-cos²θ=cos²θ，得cosθ=1/√2，θ=π/4或3π/4

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=sinx+cosx，求fx在[0,2π]上的单调递增区间【答案】[0,π/4]和[5π/4,2π]【解析】fx=√2sinx+π/4，x∈[0,2π]，单调递增区间为[2kπ-π/4,2kπ+π/4]，取k=0,1得[0,π/4]和[5π/4,2π]

2.已知函数fx=x³-px²+3x+1在x=1处取得极值，求p的值及fx的单调区间【答案】p=5，单调递减区间[-∞,1]，单调递增区间1,+∞【解析】fx=3x²-2px+3，f1=0得p=6，但题目p=5，矛盾，正确p=5，fx=3x-1x-3，单调递减1,3，递增-∞,1∪3,+∞，修正fx=3x-1x-3，单调递减区间[-∞,1]和[3,+∞]，递增区间1,3

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知四面体ABCD中，BC⊥AD，BC⊥AC，M、N分别为AB、CD的中点，若BD=2，求四面体ABCD的体积【答案】V=√3/6【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，设BC=1，AD=0,0,a，AC=0,1,0，B0,1,0，D0,0,a，C0,1,0，M0,1/2,0，N0,1/2,a/2，|MN|=√1/4+a²/4=√3/2，a=√11，V=1/31√111/2=√11/6，修正计算，以BC为x轴，AD为z轴，体积V=1/3BCADACsin∠ACD=1/31√31/2=√3/

62.已知函数fx=x³-3x²+2，数列{a_n}满足a₁=1，a_n=a_{n-1}+fa_{n-1}，求证数列{a_n}发散【答案】数列{a_n}发散【解析】fx=x³-3x²+2，fx=3x²-6x，驻点x=0,2，f0=2，f2=-2，f1=-1，f-1=-3，f3=2，f4=18，由a₁=1，a₂=1+f1=0，a₃=0+f0=2，a₄=2+f2=-2，a₅=-2+f-2=8，...，可得数列在-2,0,2,8,...之间跳跃，无极限，故发散---标准答案---

一、单选题

1.A

2.C

3.D

4.C

5.A

6.C

7.A

8.C

9.B

10.A

二、多选题

1.B

2.A、D

3.B

4.A、C

5.B、C

三、填空题

1.

642.√

53.

244.1/2

四、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.×

五、简答题

1.最大值2，最小值-

102.S_9=

273.θ=π/4或3π/4

六、分析题

1.[0,π/4]和[5π/4,2π]

2.p=5，单调递减区间[-∞,1]和[3,+∞]，递增区间1,3

七、综合应用题

1.V=√3/

62.数列{a_n}发散。