清华大学极限测试试题及答案展示

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一、单选题（每题1分，共10分）

1.下列数据中，属于精确值的是（）A.圆周率πB.光速C.地球表面积D.珠穆朗玛峰高度【答案】B【解析】光速是一个通过科学实验精确测定的值，属于精确值

2.极限值描述中，以下说法正确的是（）A.极限值表示函数的绝对最大值B.极限值一定在函数定义域内C.极限值描述函数在无穷远处的趋势D.极限值与导数计算无关【答案】C【解析】极限值描述函数在自变量趋于某点或无穷远时的趋势

3.数列{a_n}收敛的必要条件是（）A.a_n单调递增B.a_n单调递减C.|a_n|有界D.a_n无界【答案】C【解析】收敛数列的通项绝对值必有界

4.函数fx在x→x_0时极限存在，则（）A.fx在x_0处有定义B.fx在x_0处连续C.fx在x_0附近有界D.fx在x_0处可导【答案】C【解析】极限存在仅要求函数在x_0附近有界

5.以下说法正确的是（）A.连续函数必有极限B.有极限的函数必连续C.分段函数在分段点处可能不连续D.单调函数必有极限【答案】C【解析】分段函数在分段点处可能存在跳跃间断

6.无穷小量与无穷大量的关系是（）A.无穷小量必为无穷大量B.无穷大量必为无穷小量C.无穷小量与无穷大量互为倒数关系D.无穷小量与无穷大量无直接关系【答案】D【解析】两者是相对概念，无必然关系

7.若limx→2[fx+gx]=5且limx→2fx=2，则limx→2gx等于（）A.3B.5C.2D.无法确定【答案】A【解析】利用极限线性性质lim[fx+gx]=limfx+limgx

8.函数fx=x^2在x=1处右极限为（）A.1B.2C.1^+D.无穷大【答案】B【解析】右极限即x→1^+时函数值，f1^+=1^2=

19.以下说法正确的是（）A.若limfx=A，则|fx|→|A|B.若|fx|→|A|，则limfx=AC.若fx→A，gx→B，则fxgx→ABD.若fxgx→0，则fx→0或gx→0【答案】A【解析】绝对值函数保持极限关系

10.函数fx=|x|在x=0处（）A.极限存在B.连续C.可导D.不可导【答案】A【解析】|x|在x=0处极限存在但不可导

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下说法正确的有（）A.0是无穷小量B.无穷小量必为常数C.无穷大量无界D.无穷大量必为正数【答案】A、C【解析】0是无穷小量，无穷大量必无界，无穷大量可为负

2.关于函数极限运算法则，以下说法正确的有（）A.limcfx=climfxB.lim[fx+gx]=limfx+limgxC.lim[fxgx]=limfxlimgxD.lim[fx/gx]=limfx/limgx【答案】A、B、C【解析】除法法则要求分母极限不为

03.关于函数连续性，以下说法正确的有（）A.连续函数的极限必存在B.有极限的函数必连续C.连续函数在定义域内处处连续D.间断点可能是可去间断【答案】A、C、D【解析】连续函数极限必存在，连续函数处处连续，间断点可分为可去等类型

4.以下说法正确的有（）A.单调有界数列必有极限B.收敛数列必有界C.连续函数在闭区间必有界D.闭区间上连续函数必有最值【答案】A、B、D【解析】单调有界数列收敛，收敛数列有界，闭区间连续函数必有最值

5.关于无穷小量比较，以下说法正确的有（）A.高阶无穷小必为低阶无穷小B.同阶无穷小必等价C.无穷小量之和仍为无穷小量D.常数与无穷小量之积仍为无穷小量【答案】C、D【解析】无穷小量之和仍为无穷小，常数乘无穷小仍为无穷小

三、填空题（每空2分，共16分）

1.若limx→∞fx-3x=5，则limx→∞fx______【答案】6【解析】原式可化为limx→∞fx=limx→∞[3x+5]=∞，故limx→∞fx=6x

2.函数fx=√x^2-4x+3的定义域为______【答案】-∞,1]∪[3,+∞【解析】根号下非负，解不等式x^2-4x+3≥0得x≤1或x≥

33.若limx→03x+k=6，则k=______【答案】3【解析】直接代入得3×0+k=6，解得k=

34.函数fx=1/x-1在x=1处的左极限为______【答案】-1【解析】x→1^-时fx→-∞，故左极限为-

15.若fx在x=2处连续，且f2=3，则limx→2fx=______【答案】3【解析】连续函数极限等于函数值

6.数列{a_n}收敛的必要条件是|a_n|______【答案】有界【解析】收敛数列通项绝对值必有界

7.若limx→0[fx+gx]=5，limx→0fx不存在，则limx→0gx______【答案】不存在【解析】和的极限存在要求每个加项极限存在

8.函数fx=sin1/x在x=0处______【答案】无极限【解析】振荡发散，极限不存在

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若limx→afx=A，则fx在x=a处有定义（）【答案】（×）【解析】极限存在与函数是否定义无关

2.若fx在x=a处不连续，则fx在x=a处无极限（）【答案】（×）【解析】间断点可能为跳跃间断，极限仍存在

3.常数函数是无穷小量（）【答案】（×）【解析】无穷小量要求极限为0，常数函数极限为自身

4.若fx在[a,b]上连续，则fx在a,b内必有最值（）【答案】（×）【解析】最值可在端点处取得

5.无穷大量是越来越大但无界的量（）【答案】（√）【解析】无穷大量定义即趋于无穷

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述函数极限与数列极限的关系【答案】函数极限与数列极限关系

（1）数列极限可视为函数在自然数集上的特殊极限；

（2）函数fx在x→x_0的极限存在当且仅当fx在x_0附近所有收敛数列{a_n}的极限都相等；

（3）利用数列极限证明函数极限可通过ε-δ语言转化

2.简述无穷小量的等价关系【答案】无穷小量等价定义

（1）若limfx/gx=1，则称fx与gx等价无穷小；

（2）等价关系满足传递性、对称性；

（3）常用等价无穷小如x→0时sinx~x,e^x-1~x等

3.简述闭区间上连续函数性质【答案】闭区间[a,b]上连续函数性质

（1）必有界（有界性定理）；

（2）必取到最值（最值定理）；

（3）必取得介于最大值与最小值之间所有值（介值定理）；

（4）区间上连续函数必有零点（零点定理）

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3/x^2+1在x→∞时的渐近线【答案】

（1）水平渐近线计算limx→±∞fx=limx→±∞x^3/x^2+1=∞，无水平渐近线

（2）斜渐近线设y=kx+b，计算k=limx→∞[x^3/x^2+1]/x=limx→∞x/x^2+1=0；b=limx→∞[x^3/x^2+1]-0x=limx→∞x^3/x^2+1=∞故无斜渐近线

（3）竖直渐近线分母x^2+1无零点，故无竖直渐近线综上，fx无渐近线

2.分析函数fx=e^-1/x^2在x=0处的连续性【答案】

（1）定义f0=0（任意定义）；

（2）极限limx→0e^-1/x^2=0（指数函数性质）；

（3）连续性因f0=0=limx→0fx，故fx在x=0处连续

七、综合应用题（20分）设函数fx在[0,1]上连续，且满足f0=f1，证明存在c∈0,1使得fc=fc+1/2【证明】构造辅助函数gx=fx-fx+1/2，x∈[0,1/2]

（1）gx在[0,1/2]上连续；

（2）g0=f0-f1/2，g1/2=f1/2-f1=f1/2-f0；

（3）若f0=f1/2，则取c=0满足条件；

（4）若f0≠f1/2，则g0g1/2=-[f0-f1/2]^20，由零点定理，必存在c∈0,1/2使gc=0；

（5）结论此时fc=fc+1/2成立，证毕---标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.C

4.C

5.C

6.D

7.A

8.B

9.A

10.A

二、多选题

1.A、C

2.A、B、C

3.A、C、D

4.A、B、D

5.C、D

三、填空题

1.

62.-∞,1]∪[3,+∞

3.

34.-

15.

36.有界

7.不存在

8.无极限

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题（略）

六、分析题（略）

七、综合应用题（略）。