湖南高考理科数学真题及答案解析

湖南高考理科数学真题及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x²-a，由f1=0得3-a=0，解得a=

32.若复数z满足|z+2|+|z-2|=6，则|z|的最大值为（）（2分）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】由椭圆定义知，z到2,0和-2,0的距离和为6，长轴为6，短轴为2√5，故|z|最大为√2²+6/2²=√20=2√

53.已知向量a=1,m，b=3,-2，若a⊥b，则m的值为（）（2分）A.-6/2B.-3/2C.3/2D.6/2【答案】C【解析】a·b=3-2m=0，解得m=3/

24.已知数列{a_n}是等差数列，a₁=2，a₅=10，则a₁₀的值为（）（2分）A.16B.18C.20D.22【答案】C【解析】由a₅=a₁+4d=10得d=2，故a₁₀=2+9×2=

205.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+1;endA.5B.10C.15D.1【答案】B【解析】s=1+2+3+4+5=

156.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²=c²，且∠C=60°，则△ABC的形状为（）（2分）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形【答案】C【解析】由余弦定理cosC=a²+b²-c²/2ab=1/2，结合C=60°得△ABC为等边三角形

7.已知函数fx=log₃x²-2x+3，则fx的值域为（）（2分）A.RB.[0,+∞C.0,+∞D.-∞,+∞【答案】B【解析】x²-2x+3=x-1²+2≥2，故fx的值域为[0,+∞

8.已知直线l₁:ax+y-1=0与直线l₂:x+by=2互相平行，则ab的值为（）（2分）A.-1B.0C.1D.2【答案】A【解析】由l₁∥l₂得a/b=-1且a×0+b×-1≠2×-1，解得ab=-

19.已知函数fx=x²+px+q在x=-1时取得极小值，则f2的值为（）（2分）A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】f-1=2-1=0，解得p=-2，fx=x-1²-1，故f2=3-1=

210.已知事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.7，且PA∪B=

0.8，则PA∩B的值为（）（2分）A.

0.1B.

0.2C.

0.3D.

0.4【答案】C【解析】PA∩B=PA+PB-PA∪B=

0.6+

0.7-

0.8=

0.5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）（4分）A.若ab，则a²b²B.若fx是奇函数，则f-x=-fxC.若数列{a_n}单调递增，则对任意n，都有a_n+1a_nD.若cosα=cosβ，则α=β【答案】B、C【解析】A中若ab0，则a²b²成立；D中若cosα=cosβ，则α=2kπ±βk∈Z

2.以下函数中，在区间0,1上单调递减的是（）（4分）A.y=2x+1B.y=x²C.y=1/xD.y=√x【答案】C【解析】y=1/x²0，故y=1/x在0,1上单调递减

3.以下不等式成立的是（）（4分）A.a+b/2≥√abB.a²+b²≥2abC.a³+b³≥aba+bD.1/a+1/b≥2√ab【答案】B、D【解析】C中若a=-1，b=-1，则不等式不成立

4.以下图形中，是中心对称图形的有（）（4分）A.等腰三角形B.正方形C.平行四边形D.等边三角形【答案】B、C【解析】正方形和平行四边形是中心对称图形

5.以下说法中，正确的是（）（4分）A.若事件A的概率为0，则A不可能发生B.若样本容量为n，则样本平均数一定等于总体平均数C.若n为奇数，则n个非零实数相乘的积为正数当且仅当它们中有奇数个负数D.若函数fx在a,b上连续，则fx在a,b上可导【答案】C【解析】B中样本平均数是总体平均数的估计值；D中连续不一定可导

三、填空题（每题4分，共16分）

1.已知函数fx=ax²+bx+c的图像经过点1,0，且f-1=6，f0=2，则a+b+c的值为______（4分）【答案】-5【解析】由f0=c=2，f1=a+b+c=0，f-1=a-b+c=6，解得a=4，b=-11，故a+b+c=-

52.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为______（4分）【答案】4/5【解析】由余弦定理cosA=b²+c²-a²/2bc=16+25-9/2×4×5=4/

53.已知等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，则a₁₀+a₁₁+a₁₂的值为______（4分）【答案】45【解析】a₁₀+a₁₁+a₁₂=3a₁+33d=3×2+33×3=

454.已知集合A={x|x²-3x+20}，B={x|ax+1=0有解}，若B⊆A，则a的取值范围是______（4分）【答案】-∞,0∪1,+∞【解析】A={x|x2或x1}，若a=0，B={∅}⊆A；若a≠0，B={-1/a}，需-1/a2或-1/a1，解得a-1/2或a-1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】若ab≥0，则√a√b成立；若b0，则不等式不成立，如a=1，b=-

22.若函数fx是奇函数，则fx²是偶函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x²=-fx²，故fx²是偶函数

3.若数列{a_n}是等比数列，且a₅/a₃=4，则公比q的值为2（）（2分）【答案】（×）【解析】q²=4，故q=±

24.若事件A的概率PA=

0.8，则事件A的对立事件的概率为

0.2（）（2分）【答案】（√）【解析】PĀ=1-PA=

0.

25.若函数fx在区间a,b上单调递增，且fx在a,b上连续，则fx在a,b上取得最大值和最小值（）（2分）【答案】（×）【解析】若a,b是开区间，则fx可能无最大值和最小值，如fx=x在0,1上

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x³-3x+2，求fx在区间[-2,2]上的最大值和最小值（5分）【解】fx=3x²-3=3x+1x-1，令fx=0得x=-1或x=1，f-2=-8-6+2=-12，f-1=-1+3+2=4，f1=1-3+2=0，f2=8-6+2=4，故最大值为4，最小值为-

122.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²+n，求a₁和公差d（5分）【解】a₁=S₁=3，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n²+n-[2n-1²+n-1]=4n-1，故a₂=7，d=a₂-a₁=4，检验n=1时a₁=S₁=3符合通项公式，故a_n=4n-1，d=

43.已知直线l₁:x+y-1=0与直线l₂:ax-y+2=0互相垂直，求a的值（5分）【解】l₁的斜率为-1，l₂的斜率为a，由l₁⊥l₂得a×-1=-1，解得a=1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-px+q，若fx在x=1时取得极大值，在x=-1时取得极小值，且f1+f-1=0，求p和q的值（10分）【解】fx=3x²-p，由f1=0得p=3，f-1=0得p=3，f1=1-p+q=0，f-1=-1-p+q=0，解得p=3，q=-

22.已知数列{a_n}是等差数列，a₅=10，a₁₀+a₁₁+a₁₂=36，求首项a₁和公差d（10分）【解】由a₅=a₁+4d=10得a₁=10-4d，a₁₀+a₁₁+a₁₂=3a₁+33d=36，代入a₁=10-4d得30-12d+33d=36，解得d=1，a₁=6

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，

（1）求fx的最小值；

（2）若关于x的不等式fx≤k有解，求k的取值范围（25分）【解】

（1）当x∈[-2,1]时，fx=3；当x-2时，fx=-2x-1；当x1时，fx=2x+1，故fx的最小值为3

（2）若fx≤k有解，需k≥

32.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求

（1）cosA的值；

（2）△ABC的面积S；

（3）角B的度数（25分）【解】

（1）由余弦定理cosA=b²+c²-a²/2bc=16+25-9/2×4×5=4/5

（2）由a²=b²+c²得△ABC为直角三角形，直角边为3和4，故S=1/2×3×4=6

（3）由sinA=a/c=3/5，得∠A=arcsin3/5，∠B=90°-∠A≈

53.13°---标准答案---

一、单选题

1.A

2.C

3.C

4.C

5.C

6.C

7.B

8.A

9.C

10.C

二、多选题

1.B、C

2.C

3.B、D

4.B、C

5.C

三、填空题

1.-

52.4/

53.

454.-∞,0∪1,+∞

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.最大值4，最小值-

122.a₁=3，d=

43.a=1

六、分析题

1.p=3，q=-

22.a₁=6，d=1

七、综合应用题

1.

（1）最小值3；

（2）k≥

32.

（1）cosA=4/5；

（2）S=6；

（3）∠B≈

53.13°。