燕山地区函授高等数学（二）试题及答案

燕山地区函授高等数学

（二）试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=lnx+1在区间-1,0内的导数fx等于（）（2分）A.1/x+1B.1/xC.1D.0【答案】A【解析】fx=lnx+1的导数为1/x+

12.下列哪个函数在定义域内处处可导？（）（2分）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=1/xD.fx=sinx【答案】B【解析】fx=x^2在定义域内处处可导，其余函数在特定点不可导

3.极限limx→0sinx/x的值是（）（2分）A.0B.1C.∞D.-1【答案】B【解析】根据极限的基本性质，limx→0sinx/x=

14.若函数fx在点x0处取得极值，且fx0存在，则fx0等于（）（2分）A.0B.1C.-1D.∞【答案】A【解析】根据极值的必要条件，若函数在某点取得极值且该点可导，则导数在该点处为

05.下列积分计算正确的是（）（2分）A.∫x^2dx=x^3+CB.∫1/xdx=ln|x|+CC.∫sinxdx=cosx+CD.∫cosxdx=sinx+C【答案】B【解析】∫1/xdx=ln|x|+C是正确的积分公式

6.级数∑n=1to∞1/2^n的和等于（）（2分）A.1/2B.1C.2D.∞【答案】B【解析】∑n=1to∞1/2^n是一个等比级数，其和为a/1-r=1/1-1/2=

17.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的行列式detA等于（）（2分）A.-2B.2C.-5D.5【答案】D【解析】detA=1×4-2×3=4-6=-2，但根据选项，应该是

58.下列哪个向量是向量[1,2]的倍数？（）（2分）A.[2,4]B.[3,6]C.[4,5]D.[5,7]【答案】A【解析】[2,4]是[1,2]的2倍

9.方程x^2+y^2-4x+6y-3=0表示的图形是（）（2分）A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线【答案】A【解析】通过配方法，方程可以写成x-2^2+y+3^2=16，表示一个圆

10.下列哪个函数是奇函数？（）（2分）A.fx=x^2B.fx=sinxC.fx=e^xD.fx=x^3【答案】B【解析】fx=sinx是奇函数，满足f-x=-fx

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是导数的几何意义？（）（4分）A.函数在某点的切线斜率B.函数在某点的变化率C.函数在某点的瞬时速度D.函数在某点的加速度【答案】A、B、C【解析】导数的几何意义是函数在某点的切线斜率、变化率和瞬时速度

2.以下哪些函数在区间[0,1]上是单调递增的？（）（4分）A.fx=x^2B.fx=e^xC.fx=lnx+1D.fx=sinx【答案】A、B、C【解析】fx=x^

2、fx=e^x和fx=lnx+1在区间[0,1]上是单调递增的

3.以下哪些是级数收敛的必要条件？（）（4分）A.通项趋于0B.部分和有界C.一般项趋于无穷D.部分和极限存在【答案】A、D【解析】级数收敛的必要条件是通项趋于0和部分和极限存在

4.以下哪些是线性无关的向量？（）（4分）A.[1,0]B.[0,1]C.[1,1]D.[2,2]【答案】A、B【解析】[1,0]和[0,1]是线性无关的向量

5.以下哪些是微分方程的解？（）（4分）A.y=e^xB.y=x^2C.y=sinxD.y=x^3【答案】A、C【解析】y=e^x和y=sinx是微分方程的解

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且f1=0，则a=______，b=______（4分）【答案】a=-1，b=2【解析】fx=2ax+b，f1=2a+b=0，解得a=-1，b=

22.极限limx→∞3x^2+2x+1/x^2的值是______（4分）【答案】3【解析】limx→∞3x^2+2x+1/x^2=limx→∞3+2/x+1/x^2=

33.若函数fx在点x0处取得极值，且fx0存在，则当fx00时，fx在x0处取得______极值（4分）【答案】极小【解析】当fx00时，fx在x0处取得极小值

4.积分∫0to1x^3dx的值是______（4分）【答案】1/4【解析】∫0to1x^3dx=[x^4/4]from0to1=1/

45.级数∑n=1to∞1/n!的和等于______（4分）【答案】e【解析】∑n=1to∞1/n!是e的展开式的一部分，其和为e

6.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的转置矩阵A^T等于______（4分）【答案】[[1,3],[2,4]]【解析】矩阵A的转置矩阵A^T是[[1,3],[2,4]]

7.方程x^2+y^2=1表示的图形是______（4分）【答案】单位圆【解析】方程x^2+y^2=1表示一个单位圆

8.函数fx=x^3在x=0处的导数f0等于______（4分）【答案】0【解析】fx=3x^2，f0=0

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个可导函数的和一定是可导的（）（2分）【答案】（√）【解析】两个可导函数的和一定是可导的

2.若函数fx在区间[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（√）【解析】根据Weierstrass极值定理，连续函数在闭区间上必有界

3.级数∑n=1to∞1/n是收敛的（）（2分）【答案】（×）【解析】级数∑n=1to∞1/n是发散的

4.两个线性无关的向量相加仍然是线性无关的（）（2分）【答案】（√）【解析】两个线性无关的向量相加仍然是线性无关的

5.若函数fx在点x0处取得极值，且fx0存在，则fx0=0（）（2分）【答案】（√）【解析】根据极值的必要条件，若函数在某点取得极值且该点可导，则导数在该点处为0

五、简答题（每题4分，共20分）

1.什么是导数的几何意义？（4分）【答案】导数的几何意义是函数在某点的切线斜率，表示函数在该点的瞬时变化率

2.什么是极值？极值存在的必要条件是什么？（4分）【答案】极值是指函数在某点附近的局部最大值或最小值极值存在的必要条件是函数在该点可导且导数为

03.什么是线性无关的向量？如何判断两个向量是否线性无关？（4分）【答案】线性无关的向量是指不存在不全为零的常数使得这两个向量的线性组合为零向量判断两个向量是否线性无关，可以通过求解线性方程组，若只有零解，则线性无关

4.什么是级数？级数收敛的必要条件是什么？（4分）【答案】级数是无穷多个数相加的表达式级数收敛的必要条件是通项趋于

05.什么是矩阵的转置？矩阵转置有什么性质？（4分）【答案】矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵矩阵转置的性质包括A^T^T=A，A+B^T=A^T+B^T，cA^T=cA^T，AB^T=B^TA^T

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调性和极值（10分）【答案】首先求导数fx=3x^2-6x令fx=0，解得x=0和x=2在区间[-1,3]上，fx的符号变化如下-当x∈-1,0时，fx0，函数单调递增；-当x∈0,2时，fx0，函数单调递减；-当x∈2,3时，fx0，函数单调递增因此，fx在x=0处取得极大值，fx在x=2处取得极小值计算极值f0=0^3-3×0^2+2=2；f2=2^3-3×2^2+2=-

22.分析级数∑n=1to∞1/n^2的收敛性（10分）【答案】考虑级数∑n=1to∞1/n^2这是一个p级数，其中p=2根据p级数判别法，当p1时，p级数收敛因此，∑n=1to∞1/n^2是收敛的

七、综合应用题（每题25分，共25分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值（25分）【答案】首先求导数fx=3x^2-6x令fx=0，解得x=0和x=2在区间[-1,3]上，fx在x=-1,0,2,3处可能取得极值计算这些点的函数值f-1=-1^3-3×-1^2+2=-1-3+2=-2；f0=0^3-3×0^2+2=2；f2=2^3-3×2^2+2=-2；f3=3^3-3×3^2+2=2因此，fx在区间[-1,3]上的最大值是2，最小值是-2。