燕山大学继续教育学院函授高数基础试题及答案

燕山大学继续教育学院函授高数基础试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.y=3x^2B.y=2x+1C.y=|x|D.y=x^3【答案】C【解析】绝对值函数在x=0处不可导

2.极限limx→2x^2-4/x-2的值是（）A.2B.4C.0D.不存在【答案】B【解析】利用分子有理化得limx→2x^2-4/x-2=limx→2x+2=

43.函数y=lnx+1的定义域是（）A.-∞,-1B.-1,+∞C.-1,0D.-∞,+∞【答案】B【解析】对数函数的真数必须大于

04.下列级数中，收敛的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞2^nD.∑n=1to∞-1^n/n【答案】B【解析】p-级数当p1时收敛，此处p=

25.向量i+2j+3k与向量2i+j-2k的夹角余弦值是（）A.1/3B.2/3C.√11/9D.√19/19【答案】C【解析】cosθ=i+2j+3k·2i+j-2k/|i+2j+3k|·|2i+j-2k|=√11/

96.设函数fx在x=0处可导，且f0=1，f0=2，则limx→0fx/x的值是（）A.1B.2C.3D.1/2【答案】B【解析】利用导数定义limx→0fx/x=f0=

27.下列积分中，值等于π的是（）A.∫0toπsinxdxB.∫0to11/1+x^2dxC.∫0toπcosxdxD.∫0to2πsin^2x/2dx【答案】D【解析】利用三角函数积分公式得∫0to2πsin^2x/2dx=π

8.矩阵A=⎡⎢⎣123⎤⎢⎦的秩是（）A.1B.2C.3D.0【答案】A【解析】矩阵只有一个非零行，秩为

19.设z=xy^2+x^2y，则∂z/∂x在点1,1处的值是（）A.2B.3C.4D.1【答案】B【解析】∂z/∂x=y^2+2xy，在1,1处为

310.下列方程中，表示旋转抛物面的是（）A.x^2+y^2+z^2=1B.x^2-y^2+z=0C.x^2+y^2-z^2=1D.x^2+y^2=2z【答案】D【解析】旋转抛物面的标准方程为x^2+y^2=2z

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是函数极限存在的充分条件？（）A.左极限等于右极限B.函数在x→a处连续C.函数在x→a处有界D.函数在x→a处可导【答案】A、C【解析】左极限等于右极限且函数有界是极限存在的充分条件

2.以下哪些向量组线性无关？（）A.1,0,0B.0,1,0C.0,0,1D.1,1,1【答案】A、B、C【解析】单位向量组线性无关

3.以下哪些函数在定义域内处处可导？（）A.y=x^3B.y=√xC.y=lnxD.y=tanx【答案】A、D【解析】多项式和正切函数处处可导

4.以下哪些级数收敛？（）A.∑n=1to∞1/n+1B.∑n=1to∞-1^n/n^2C.∑n=1to∞1/n^3D.∑n=1to∞cosnπ【答案】B、C【解析】p-级数当p1时收敛，交错级数满足条件时收敛

5.以下哪些矩阵可逆？（）A.⎡⎢⎣100⎤⎢⎦B.⎡⎢⎣123⎤⎢⎦C.⎡⎢⎣101⎤⎢⎦D.⎡⎢⎣010⎤⎢⎦【答案】A、C【解析】行列式不为0的矩阵可逆

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=x^2-2x+3在区间[1,3]上的最小值是______【答案】1【解析】fx=2x-2，令fx=0得x=1，比较端点和驻点函数值，最小值为

12.级数∑n=1to∞1/n^p收敛当且仅当p______【答案】1【解析】p-级数收敛当且仅当p

13.设向量a=1,2,3，b=1,-1,2，则向量a与b的夹角正弦值是______【答案】√15/15【解析】sinθ=|a×b|/|a|·|b|=√15/

154.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式的前三项是______【答案】1+x+x^2/2【解析】f0=1，f0=1，f0=1，泰勒展开前三项为1+x+x^2/

25.矩阵A=⎡⎢⎣123⎤⎢⎦的转置矩阵是______【答案】⎡⎢⎣123⎤⎢⎦【解析】行向量转置为列向量

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在x=0处连续，则fx在x=0处可导（）【答案】（×）【解析】连续不一定可导，如y=|x|在x=0处连续但不可导

2.若向量组线性无关，则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表示（）【答案】（√）【解析】线性无关的定义即任一向量不能由其余向量线性表示

3.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则级数∑n=1to∞|a_n|也收敛（）【答案】（×）【解析】条件收敛的级数绝对值级数发散

4.若矩阵A可逆，则矩阵A的转置矩阵A^T也可逆（）【答案】（√）【解析】可逆矩阵的转置矩阵也可逆

5.若函数fx在区间[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最大值和最小值（）【答案】（√）【解析】根据极值定理，连续函数在闭区间上必有最值

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述导数的几何意义【答案】导数表示函数在某一点的切线斜率【解析】导数的几何意义即函数图像在某一点的切线斜率，反映了函数在该点的变化率

2.简述定积分的几何意义【答案】定积分表示由函数曲线、x轴及两条直线围成的曲边梯形的面积【解析】定积分的几何意义即函数曲线与x轴及两条直线围成的曲边梯形的面积，可以是正面积也可以是负面积

3.简述矩阵可逆的充要条件【答案】矩阵可逆的充要条件是矩阵的行列式不为0【解析】矩阵可逆当且仅当其行列式不为0，此时存在逆矩阵

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调性和极值【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0,2，f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=2【解析】fx=3xx-2，在-1,0上fx0，单调递增；在0,2上fx0，单调递减；在2,3上fx0，单调递增极大值在x=0处为2，极小值在x=2处为-

22.分析级数∑n=1to∞-1^n/n+1的收敛性【答案】该级数收敛【解析】该级数是交错级数，满足莱布尼茨判别法项的绝对值单调递减且趋于0，故收敛

七、综合应用题（每题15分，共30分）

1.已知函数fx=x^2-2x+3，求fx在区间[1,3]上的最大值和最小值【答案】fx=2x-2，令fx=0得x=1，f1=2，f3=6，故最大值为6，最小值为2【解析】求导得fx=2x-2，令fx=0得x=1，比较端点和驻点函数值，最大值为6，最小值为

22.已知矩阵A=⎡⎢⎣123⎤⎢⎦，B=⎡⎢⎣456⎤⎢⎦，求矩阵A与B的乘积AB及BA【答案】AB=⎡⎢⎣456⎤⎢⎦，BA无意义【解析】矩阵乘法满足Am×n与Bn×k可乘，得到ABm×k，而BAk×n与Am×n维度不匹配，无法相乘---标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.B

4.B

5.C

6.B

7.D

8.A

9.B

10.D

二、多选题

1.A、C

2.A、B、C

3.A、D

4.B、C

5.A、C

三、填空题

1.

12.

13.√15/

154.1+x+x^2/

25.⎡⎢⎣123⎤⎢⎦

四、判断题

1.×

2.√

3.×

4.√

5.√

五、简答题

1.导数表示函数在某一点的切线斜率

2.定积分表示由函数曲线、x轴及两条直线围成的曲边梯形的面积

3.矩阵可逆的充要条件是矩阵的行列式不为0

六、分析题

1.单调递增区间-1,0和2,3，单调递减区间0,2，极大值2，极小值-

22.级数收敛，满足莱布尼茨判别法

七、综合应用题

1.最大值6，最小值

22.AB=⎡⎢⎣456⎤⎢⎦，BA无意义。