理科数学试卷真题与答案

理科数学试卷真题与答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是单调递增的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=3x^2C.y=1/xD.y=√x【答案】D【解析】y=√x在其定义域内（x≥0）是单调递增的

2.如果直线y=kx+3与圆x^2+y^2=4相切，则k的值为（）（2分）A.±√3/3B.±√3C.±2D.±√2【答案】A【解析】圆心0,0到直线的距离等于半径2，|3/k|/√1+k^2=2，解得k=±√3/

33.函数fx=sinx+π/4的图像关于哪个点对称？（）（2分）A.π/4,0B.π/2,0C.π/4,1D.π/2,1【答案】A【解析】sinx+π/4=1时，x+π/4=π/2+2kπ，x=π/4+2kπ，对称中心为π/4,

04.若复数z=1+i，则z^3的虚部为（）（2分）A.2B.-2C.4D.-4【答案】C【解析】z^3=1+i^3=1+3i+3i^2+i^3=1+3i-3-i=2i，虚部为

25.等差数列{a_n}中，a_1=3，公差d=2，则a_5的值为（）（2分）A.11B.13C.15D.17【答案】D【解析】a_5=a_1+4d=3+8=

116.下列命题中，正确的是（）（2分）A.空集是任何集合的子集B.任何集合都有唯一补集C.两个空集相等D.交集运算满足交换律【答案】C【解析】空集是任何集合的子集，补集唯一，两空集相等，交集交换律均成立

7.若向量a=1,2，b=3,-1，则a·b的值为（）（2分）A.1B.5C.-5D.-1【答案】B【解析】a·b=1×3+2×-1=5-2=

58.函数fx=e^x在点0,1处的切线方程为（）（2分）A.y=x+1B.y=x-1C.y=-x+1D.y=-x-1【答案】A【解析】fx=e^x，f0=1，切线方程y-1=1x-0，即y=x+

19.若三角形ABC的三边长分别为3,4,5，则其面积为（）（2分）A.6B.12C.15D.24【答案】B【解析】为直角三角形，面积=1/2×3×4=

1210.下列不等式正确的是（）（2分）A.-2^3-1^2B.3^02^0C.log_2^4log_3^9D.√16√9【答案】C【解析】log_2^4=2，log_3^9=2，前者大于后者

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,1内单调递减的有（）（4分）A.y=-x+1B.y=1/xC.y=x^2D.y=√x【答案】A、B【解析】y=-x+1和y=1/x在0,1内单调递减

2.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则√a√bC.若ab，则1/a1/bD.若ab0，则log_ablog_ba【答案】C、D【解析】1/a1/b和log_ablog_ba正确

3.下列图形中，是中心对称图形的有（）（4分）A.等腰三角形B.矩形C.正方形D.圆【答案】B、C、D【解析】矩形、正方形和圆是中心对称图形

4.下列函数中，是奇函数的有（）（4分）A.y=x^3B.y=1/xC.y=sinxD.y=cosx【答案】A、B、C【解析】x^

3、1/x和sinx是奇函数

5.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若a·b=0，则a=0或b=0B.若a·b=0，则a⊥bC.若a⊥b，则a·b=0D.若a=1,0，b=0,1，则a⊥b【答案】B、C、D【解析】向量点积的性质垂直则点积为0，单位正交向量垂直

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为-1,2，则a+b+c=______（4分）【答案】5【解析】a0，顶点-1,2即f-1=2，a-b+c=2，a+b+c=

52.若等比数列{a_n}中，a_1=2，公比q=3，则a_6=______（4分）【答案】486【解析】a_6=2×3^5=

4863.若直线y=kx+4与圆x^2+y^2=9相切，则k的值为______（4分）【答案】±5/3【解析】|4/k|=3，k=±5/

34.若复数z=1+i，则z^2的实部为______（4分）【答案】0【解析】z^2=2i，实部为

05.函数fx=e^x在点1,e处的切线斜率为______（4分）【答案】e【解析】fx=e^x，f1=e

6.若三角形ABC的三边长分别为5,12,13，则其最短边所对的角为______度（4分）【答案】30【解析】为直角三角形，最短边5所对角30°

7.若函数fx=sinx+π/6在x=π/3时的值为______（4分）【答案】1【解析】sinπ/3+π/6=sinπ/2=

18.若向量a=2,1，b=1,2，则|a+b|的值为______（4分）【答案】√13【解析】a+b=3,3，|a+b|=√13

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，1^

242.若函数fx是奇函数，则其图像一定过原点（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=-fx，x=0时f0=-f0，f0=

03.若a·b=0，则a=0或b=0（）（2分）【答案】（×）【解析】a⊥b即可点积为0，a、b均不为

04.若函数fx=x^2在区间-1,1内单调递减（）（2分）【答案】（×）【解析】对称轴x=0，在-1,0递减，在0,1递增

5.若三角形ABC的三边长分别为3,4,5，则其为直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】3^2+4^2=5^2，满足勾股定理

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^3-3x+2的极值点（5分）【答案】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-1=5，f1=-1，极大值点x=-1，极小值点x=

12.求过点1,2且与直线y=2x+1垂直的直线方程（5分）【答案】垂直直线斜率为-1/2，y-2=-1/2x-1，即x+2y-5=

03.求极限limx→0sinx/x（5分）【答案】利用特殊极限，limx→0sinx/x=1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2，求其单调区间（10分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0,2，用导数符号法x0时fx0，增；0x2时fx0，减；x2时fx0，增单调增区间-∞,0∪2,+∞，单调减区间0,

22.设复数z=a+bia,b∈R，满足|z|=|z+1|，求z的轨迹（10分）【答案】|z|=|z+1|即|a+bi|=|a+1+bi|，√a^2+b^2=√a+1^2+b^2，a^2+b^2=a^2+2a+1+b^2，2a+1=0，a=-1/2，z的轨迹为直线x=-1/2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，a=3，b=4，C=60°，求c边长及面积（25分）【答案】c边长余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+16-12cos60°=25-6=19，c=√19面积sinC=√3/2，S=1/2ab·sinC=1/2×3×4×√3/2=6√3/2=3√

32.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，求其极值点，并画出大致图像（25分）【答案】极值点fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3，fx在x=1-√3/3处极大，在x=1+√3/3处极小图像特征单调增区间-∞,1-√3/3∪1+√3/3,+∞，单调减区间1-√3/3,1+√3/3，极大值f1-√3/3，极小值f1+√3/3，过原点0,1---完整标准答案---

一、单选题

1.D

2.A

3.A

4.C

5.A

6.C

7.B

8.A

9.B

10.C

二、多选题

1.A、B

2.C、D

3.B、C、D

4.A、B、C

5.B、C、D

三、填空题

1.

52.

4863.±5/

34.

05.e

6.

307.

18.√13

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.极大值点x=-1，极小值点x=

12.x+2y-5=

03.1

六、分析题

1.单调增区间-∞,0∪2,+∞，单调减区间0,

22.直线x=-1/2

七、综合应用题

1.c=√19，面积3√

32.极大值点x=1-√3/3，极小值点x=1+√3/3。