直击二诊数学试题及答案

直击二诊数学试题及答案

一、单选题

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=|x|【答案】A【解析】y=-2x+1是一次函数，斜率为负，是减函数；y=x^2是二次函数，开口向上，先减后增；y=1/x是反比例函数，是减函数；y=|x|是绝对值函数，在x≥0时增，在x0时减只有A选项在整个定义域内单调递减

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，且B⊆A，则实数a的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{1,3}C.{2}D.{2,3}【答案】C【解析】A={1,2}，B⊆A，所以B的可能情况为空集、{1}、{2}、{1,2}当B为空集时，Δ=a^2-40，解得-2a2；当B={1}时，1+a+1=0，解得a=-2；当B={2}时，4-2a+1=0，解得a=5/2；当B={1,2}时，Δ=a^2-4=0且1+a+1=0且4-2a+1=0，无解综上，a=

23.函数fx=sinωx+φ的图像关于y轴对称，且最小正周期为π，则（）（2分）A.ω=2，φ=kπB.ω=2，φ=kπ+π/2C.ω=1，φ=kπD.ω=1，φ=kπ+π/2【答案】A【解析】图像关于y轴对称，则f-x=fx，即sin-ωx+φ=sinωx+φ，解得φ=kπ+π/2；最小正周期为π，则2π/ω=π，解得ω=2所以φ=kπ+π/2，ω=

24.若复数z满足z^2=1+i，则|z|等于（）（2分）A.√2B.1C.√5D.2【答案】A【解析】设z=a+bi，则a+bi^2=1+i，展开得a^2-2ab+b^2=1且2ab=1，解得a=b=√2/2，所以|z|=√a^2+b^2=√

25.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2=b^2+c^2-bc，则角A的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.120°【答案】D【解析】a^2=b^2+c^2-bc，由余弦定理得cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=1/2，所以A=120°

6.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/S_n-S_{n-1}，则数列{a_n}一定是（）（2分）A.等差数列B.等比数列C.等差等比数列D.以上都不对【答案】B【解析】由a_n=S_n/S_n-S_{n-1}，得a_n=a_{n-1}/S_{n-1}/S_n-S_{n-1}-1=a_{n-1}/a_{n-1}-1，所以a_n/a_{n-1}=1/a_{n-1}-1，即a_n-a_{n-1}=1，所以数列{a_n}是等差数列

7.若fx=log_ax+1，且f2=1，则f0的值为（）（2分）A.0B.1C.2D.-1【答案】A【解析】f2=log_a3=1，则a=3，所以f0=log_31=

08.在直角坐标系中，点Pa,b到直线3x-4y+5=0的距离等于1，则（）（2分）A.a=1，b=2B.a=-1，b=-2C.a=2，b=-1D.a=-2，b=1【答案】C【解析】点P到直线的距离公式为|3a-4b+5|/√3^2+4^2=1，即|3a-4b+5|=5，解得a=2，b=-

19.若函数fx=x^3-3x^2+2x+1在区间[-1,3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m的值为（）（2分）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0，得x=1±√3/3，计算f-1=1，f1-√3/3=1-√3/3，f1+√3/3=1+√3/3，f3=10，所以M=10，m=1-√3/3，M+m=11-√3/3≈

610.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5+a_9=15，则a_3+a_7+a_11的值为（）（2分）A.15B.30C.45D.60【答案】B【解析】由等差数列性质得a_1+a_9=2a_5，所以a_1+a_5+a_9=4a_5=15，得a_5=

3.5又a_3+a_7+a_11=3a_7=3a_5+2d=

33.5+2d，由a_5=

3.5得d=0，所以a_3+a_7+a_11=30

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）A.若|a|=|b|，则a=bB.若ab，则a^2b^2C.若ab，则√a√bD.若ab0，则1/a1/b【答案】D、C【解析】|a|=|b|不一定a=b，如a=1，b=-1；ab不一定a^2b^2，如a=3，b=0；ab不一定√a√b，如a=4，b=1；ab0，则1/a1/b正确

2.以下关于三角函数的叙述中，正确的有（）A.sinx+π/2=cosxB.cosx-π=cosxC.tanx+π=tanxD.sinx+2π=sinx【答案】A、C、D【解析】sinx+π/2=cosx，tanx+π=tanx，sinx+2π=sinx正确；cosx-π=-cosx不正确

3.以下关于数列的叙述中，正确的有（）A.若{a_n}是等差数列，则{a_n^2}也是等差数列B.若{a_n}是等比数列，则{a_n^2}也是等比数列C.若{a_n}是单调递增数列，则{a_n}的前n项和S_n也是单调递增的D.若{a_n}是等差数列，则{a_n}的前n项和S_n是二次函数【答案】B、D【解析】{a_n^2}不一定是等差数列，如a_n=1；{a_n^2}是等比数列正确；{a_n}单调递增，S_n不一定单调递增，如a_n=-1；若{a_n}是等差数列，S_n=na_1+nn-1/2d是二次函数正确

4.以下关于解析几何的叙述中，正确的有（）A.过点1,2且与直线3x-4y+5=0平行的直线方程为3x-4y-5=0B.圆x^2+y^2-2x+4y-1=0的圆心在y轴上C.椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦点在x轴上D.双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的渐近线方程为y=±b/ax【答案】B、D【解析】过点1,2且与直线3x-4y+5=0平行的直线方程为3x-4y-5=0正确；圆x^2+y^2-2x+4y-1=0的圆心1,-2不在y轴上；椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦点在x轴上正确；双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的渐近线方程为y=±b/ax正确

5.以下关于概率统计的叙述中，正确的有（）A.若事件A与B互斥，则PA∪B=PA+PBB.若事件A与B独立，则PA|B=PAC.若随机变量X~Nμ,σ^2，则PXμ=

0.5D.样本容量越大，样本的频率分布越接近总体分布【答案】A、B、C、D【解析】互斥事件概率加法公式正确；独立事件条件概率公式正确；正态分布对称性得PXμ=

0.5正确；大数定律得样本容量越大，样本分布越接近总体分布正确

三、填空题

1.函数fx=√x^2-4x+3的定义域为______（4分）【答案】-∞,1]∪[3,+∞【解析】x^2-4x+3≥0，解得x≤1或x≥

32.数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=a_{n-1}+2n，则a_5=______（4分）【答案】21【解析】a_2=3，a_3=8，a_4=15，a_5=

213.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√7，c=3，则cosB=______（4分）【答案】3/4【解析】由余弦定理得cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=4+9-7/2×2×3=3/

44.复数z=1+i的模为______，辐角主值为______（4分）【答案】√2，π/4【解析】|z|=√2，argz=π/

45.若函数fx=x^3-3x^2+2x+1在区间[-1,3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=______（4分）【答案】6【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0，得x=1±√3/3，计算f-1=1，f1-√3/3=1-√3/3，f1+√3/3=1+√3/3，f3=10，所以M=10，m=1-√3/3，M+m=11-√3/3≈

66.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5+a_9=15，则a_3+a_7+a_11=______（4分）【答案】30【解析】由等差数列性质得a_1+a_9=2a_5，所以a_1+a_5+a_9=4a_5=15，得a_5=

3.5又a_3+a_7+a_11=3a_7=3a_5+2d=

33.5+2d，由a_5=

3.5得d=0，所以a_3+a_7+a_11=

307.函数fx=log_ax+1在x→-1时极限为-∞，则实数a的取值范围是______（4分）【答案】0,1【解析】log_ax+1在x→-1时极限为-∞，则0x+11，所以0a

18.在直角坐标系中，点Pa,b到直线3x-4y+5=0的距离等于1，则a^2+b^2的取值范围是______（4分）【答案】[9,25]【解析】|3a-4b+5|/√3^2+4^2=1，即|3a-4b+5|=5，解得a=2，b=-1，所以a^2+b^2=5

四、判断题

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，且B⊆A，则实数a的取值集合为{2}（）（2分）【答案】（×）【解析】B⊆A，则a的取值集合为{1,2}，不只有

22.函数fx=sinωx+φ的图像关于y轴对称，且最小正周期为π，则φ=kπ+π/2（）（2分）【答案】（×）【解析】函数图像关于y轴对称，则φ=kπ，不一定是kπ+π/

23.若复数z满足z^2=1+i，则|z|=√2（）（2分）【答案】（√）【解析】设z=a+bi，则a+bi^2=1+i，展开得a^2-2ab+b^2=1且2ab=1，解得a=b=√2/2，所以|z|=√a^2+b^2=√

24.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2=b^2+c^2-bc，则角A=120°（）（2分）【答案】（√）【解析】a^2=b^2+c^2-bc，由余弦定理得cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=1/2，所以A=120°

5.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/S_n-S_{n-1}，则数列{a_n}是等比数列（）（2分）【答案】（√）【解析】由a_n=S_n/S_n-S_{n-1}，得a_n=a_{n-1}/S_{n-1}/S_n-S_{n-1}-1=a_{n-1}/a_{n-1}-1，所以a_n/a_{n-1}=1/a_{n-1}-1，即a_n-a_{n-1}=1，所以数列{a_n}是等差数列

五、简答题

1.求函数fx=x^3-3x^2+2x+1在区间[-1,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】fx=3x^2-6x+2，令fx=0，得x=1±√3/3计算f-1=1，f1-√3/3=1-√3/3，f1+√3/3=1+√3/3，f3=10所以最大值M=10，最小值m=1-√3/

32.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/S_n-S_{n-1}，求证数列{a_n}是等比数列（5分）【答案】由a_n=S_n/S_n-S_{n-1}，得a_n=a_{n-1}/S_{n-1}/S_n-S_{n-1}-1=a_{n-1}/a_{n-1}-1所以a_n/a_{n-1}=1/a_{n-1}-1，即a_n-a_{n-1}=1设a_1=a，则a_2=a+1，a_3=a+2+1，...，a_n=a+n-1+...+1=a+nn-1/2所以数列{a_n}是等差数列

3.已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦点在x轴上，且短轴长为2，焦距为2√3，求椭圆的方程（5分）【答案】由短轴长为2，得b=1，由焦距为2√3，得c=√3由c^2=a^2-b^2，得a^2=4，所以a=2所以椭圆方程为x^2/4+y^2/1=1

六、分析题

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，求函数的极值点，并判断极值点的类型（10分）【答案】fx=3x^2-6x+2，令fx=0，得x=1±√3/3fx=6x-6，f1-√3/3=6-2√30，所以x=1-√3/3是极小值点；f1+√3/3=-6+2√30，所以x=1+√3/3是极大值点

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/S_n-S_{n-1}，求证数列{a_n}是等差数列（10分）【答案】由a_n=S_n/S_n-S_{n-1}，得a_n=a_{n-1}/S_{n-1}/S_n-S_{n-1}-1=a_{n-1}/a_{n-1}-1所以a_n/a_{n-1}=1/a_{n-1}-1，即a_n-a_{n-1}=1设a_1=a，则a_2=a+1，a_3=a+2+1，...，a_n=a+n-1+...+1=a+nn-1/2所以数列{a_n}是等差数列

七、综合应用题

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，求函数的极值点，并判断极值点的类型（25分）【答案】fx=3x^2-6x+2，令fx=0，得x=1±√3/3fx=6x-6，f1-√3/3=6-2√30，所以x=1-√3/3是极小值点；f1+√3/3=-6+2√30，所以x=1+√3/3是极大值点计算f1-√3/3=1-√3/3，f1+√3/3=1+√3/3，f-1=1，f3=10所以极大值为f1+√3/3=1+√3/3，极小值为f1-√3/3=1-√3/

32.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/S_n-S_{n-1}，求证数列{a_n}是等差数列（25分）【答案】由a_n=S_n/S_n-S_{n-1}，得a_n=a_{n-1}/S_{n-1}/S_n-S_{n-1}-1=a_{n-1}/a_{n-1}-1所以a_n/a_{n-1}=1/a_{n-1}-1，即a_n-a_{n-1}=1设a_1=a，则a_2=a+1，a_3=a+2+1，...，a_n=a+n-1+...+1=a+nn-1/2所以数列{a_n}是等差数列---标准答案及解析

一、单选题

1.A【解析】等腰三角形不是中心对称图形

2.C【解析】B⊆A，所以B的可能情况为空集、{1}、{2}、{1,2}当B为空集时，Δ=a^2-40，解得-2a2；当B={1}时，1+a+1=0，解得a=-2；当B={2}时，4-2a+1=0，解得a=5/2；当B={1,2}时，Δ=a^2-4=0且1+a+1=0且4-2a+1=0，无解综上，a=

23.A【解析】图像关于y轴对称，则f-x=fx，即sin-ωx+φ=sinωx+φ，解得φ=kπ+π/2；最小正周期为π，则2π/ω=π，解得ω=2所以φ=kπ+π/2，ω=

24.A【解析】设z=a+bi，则a+bi^2=1+i，展开得a^2-2ab+b^2=1且2ab=1，解得a=b=√2/2，所以|z|=√a^2+b^2=√

25.D【解析】a^2=b^2+c^2-bc，由余弦定理得cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=1/2，所以A=120°

6.B【解析】由a_n=S_n/S_n-S_{n-1}，得a_n=a_{n-1}/S_{n-1}/S_n-S_{n-1}-1=a_{n-1}/a_{n-1}-1，所以a_n/a_{n-1}=1/a_{n-1}-1，即a_n-a_{n-1}=1，所以数列{a_n}是等差数列

7.A【解析】f2=log_a3=1，则a=3，所以f0=log_31=

08.C【解析】点P到直线的距离公式为|3a-4b+5|/√3^2+4^2=1，即|3a-4b+5|=5，解得a=2，b=-

19.C【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0，得x=1±√3/3，计算f-1=1，f1-√3/3=1-√3/3，f1+√3/3=1+√3/3，f3=10，所以M=10，m=1-√3/3，M+m=11-√3/3≈

610.B【解析】由等差数列性质得a_1+a_5+a_9=4a_5=15，得a_5=

3.5又a_3+a_7+a_11=3a_7=3a_5+2d=

33.5+2d，由a_5=

3.5得d=0，所以a_3+a_7+a_11=30

二、多选题（每题4分，共20分）

1.D、C【解析】|a|=|b|不一定a=b，如a=1，b=-1；ab不一定a^2b^2，如a=3，b=0；ab不一定√a√b，如a=4，b=1；ab0，则1/a1/b正确

2.A、C、D【解析】sinx+π/2=cosx，tanx+π=tanx，sinx+2π=sinx正确；cosx-π=-cosx不正确

3.B、D【解析】{a_n^2}不一定是等差数列，如a_n=1；{a_n^2}是等比数列正确；{a_n}单调递增，S_n不一定单调递增，如a_n=-1；若{a_n}是等差数列，S_n=na_1+nn-1/2d是二次函数正确

4.B、D【解析】过点1,2且与直线3x-4y+5=0平行的直线方程为3x-4y-5=0正确；圆x^2+y^2-2x+4y-1=0的圆心1,-2不在y轴上；椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦点在x轴上正确；双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的渐近线方程为y=±b/ax正确

5.A、B、C、D【解析】互斥事件概率加法公式正确；独立事件条件概率公式正确；正态分布对称性得PXμ=

0.5正确；大数定律得样本容量越大，样本分布越接近总体分布正确

三、填空题

1.-∞,1]∪[3,+∞【解析】x^2-4x+3≥0，解得x≤1或x≥

32.21【解析】a_2=3，a_3=8，a_4=15，a_5=

213.3/4【解析】由余弦定理得cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=4+9-7/2×2×3=3/

44.√2，π/4【解析】|z|=√2，argz=π/

45.6【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0，得x=1±√3/3，计算f-1=1，f1-√3/3=1-√3/3，f1+√3/3=1+√3/3，f3=10，所以M=10，m=1-√3/3，M+m=11-√3/3≈

66.30【解析】由等差数列性质得a_1+a_9=2a_5，所以a_1+a_5+a_9=4a_5=15，得a_5=

3.5又a_3+a_7+a_11=3a_7=3a_5+2d=

33.5+2d，由a_5=

3.5得d=0，所以a_3+a_7+a_11=

307.0,1【解析】log_ax+1在x→-1时极限为-∞，则0x+11，所以0a

18.[9,25]【解析】|3a-4b+5|/√3^2+4^2=1，即|3a-4b+5|=5，解得a=2，b=-1，所以a^2+b^2=5。