空间能力检测题与答案解析

空间能力检测题与答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.在正方体中，对角线AC1与CD所成的角是（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】正方体中，AC1与CD所成的角为60°，考查空间角计算

2.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为3，则SD与底面ABC所成的角的余弦值是（）（2分）A.1/3B.2/3C.√2/3D.√5/3【答案】B【解析】SD与底面ABC所成角为侧棱与底面垂线所成角，余弦值为2/

33.一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（）（2分）A.10πB.12πC.20πD.25π【答案】A【解析】圆锥侧面积公式为πrl=10π

4.在空间直角坐标系中，点P1,2,3关于y轴的对称点的坐标是（）（2分）A.1,-2,3B.-1,2,3C.1,2,-3D.-1,-2,-3【答案】B【解析】关于y轴对称，x、z坐标变号

5.已知一个三棱锥的底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长均为√3，则该三棱锥的体积是（）（2分）A.√3B.√6C.2√3D.3√3【答案】A【解析】底面积√3，高为√6-√3，体积√

36.空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH一定是（）（2分）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形【答案】A【解析】中位线定理得平行四边形

7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ABC=90°，AB=AC=1，则直线A1C与平面ABC所成的角是（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】B【解析】直线与平面所成角为斜线投影与底边夹角

8.已知正方体的棱长为1，则其对角线AC1与正方体上底面ABC所成的角的正切值是（）（2分）A.1/√2B.√2/2C.1D.√2【答案】D【解析】正切值为对角线长与底边长之比

9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则直线BM与AM所成的角的余弦值是（）（2分）A.1/3B.2/3C.√2/3D.√5/3【答案】C【解析】利用向量法计算得√2/

310.一个圆锥的轴截面是等腰直角三角形，其斜边长为2，则该圆锥的全面积是（）（2分）A.2πB.4πC.4π+2√2πD.4π+2π√2【答案】C【解析】底面半径√2，母线2，全面积4π+2√2π

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）（4分）A.空间中两条直线平行，则它们与第三条直线所成的角相等B.空间中一个角的大小只与它的两边夹角有关C.空间中一个点到平面的距离是该点到平面上各点的最短距离D.空间中两个平面垂直，则一个平面上一条直线垂直于另一个平面【答案】A、C、D【解析】B错误，空间角与位置有关

2.关于空间几何体的性质，以下说法正确的是（）（4分）A.正方体的对角线互相垂直B.圆锥的轴截面是过顶点与底面圆心连线所确定的截面C.球面上任意两点可确定一条球面直线D.长方体的对角线长度相等【答案】B、C、D【解析】A错误，对角线不垂直

3.在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（）（4分）A.点Pa,b,c到x轴的距离是√b^2+c^2B.过点Pa,b,c且平行于z轴的直线方程是x=a,y=bC.向量OP与x轴正方向的夹角余弦值是a/√a^2+b^2+c^2D.点Pa,b,c到平面z=0的距离是|c|【答案】A、C、D【解析】B错误，应含参数t

4.关于空间几何体的体积，以下说法正确的是（）（4分）A.圆锥的体积是底面积与高的乘积的1/3B.球体的体积是底面积与高的乘积的1/3C.长方体的体积是长、宽、高的乘积D.棱锥的体积是底面积与高的乘积的1/3【答案】A、C、D【解析】B错误，球体积公式不同

5.在空间中，下列说法正确的是（）（4分）A.四边形EFGH一定是平行四边形B.空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH一定是平面图形C.正方体的对角线长度相等D.空间中两个平面垂直，则一个平面上一条直线垂直于另一个平面【答案】A、C、D【解析】B错误，中位线四边形可能是空间四边形

三、填空题（每题4分，共20分）

1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱CC1上运动，则直线AP与平面ABB1A1所成角的取值范围是______（4分）【答案】[0°,45°]【解析】最大角为45°，最小角为0°

2.空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，若AC=2，BD=2√3，则四边形EFGH的面积是______（4分）【答案】2【解析】中位线平行且面积减半

3.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为3，则SD与底面ABC所成的角的正弦值是______（4分）【答案】2√2/3【解析】正弦值为√2/

34.在空间直角坐标系中，点A1,2,3关于平面x+y+z=1的对称点的坐标是______（4分）【答案】0,0,0【解析】对称点满足方程组

5.一个圆锥的底面半径为2，母线长为√5，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是______度（4分）【答案】144【解析】圆心角为144°

四、判断题（每题2分，共10分）

1.空间中两条直线垂直，则它们一定相交（）（2分）【答案】（×）【解析】异面直线也可垂直

2.空间中一个角的大小只与它的两边夹角有关（）（2分）【答案】（×）【解析】位置影响角大小

3.空间中两个平面平行，则其中一个平面上的直线必平行于另一个平面（）（2分）【答案】（√）【解析】符合线面平行判定

4.空间中一个点到平面的距离是该点到平面上各点的最短距离（）（2分）【答案】（√）【解析】符合点到面距离定义

5.空间中两个平面垂直，则一个平面上一条直线必垂直于另一个平面（）（2分）【答案】（×）【解析】直线可平行于另一个平面

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述空间直角坐标系中点的坐标变换规律（5分）【答案】

（1）关于x轴x不变，y变号

（2）关于y轴y不变，x变号

（3）关于z轴z不变，x变号

（4）关于原点x、y、z均变号

2.简述正方体的对角线与棱所成角的计算方法（5分）【答案】设正方体棱长为a，对角线与棱所成角θ满足cosθ=a/√2a=1/√2，即θ=45°

3.简述空间四边形中位线四边形的性质（5分）【答案】

（1）中位线平行于对边

（2）中位线长度是对边的一半

（3）中位线四边形面积是原四边形的一半

（4）中位线四边形是平面图形

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1中点，F为CD中点，求证平面A1EF⊥平面ABB1A1（10分）【答案】证明

（1）取AD中点G，连接EG、A1G

（2）A1G⊥平面CDHG

（3）EF⊥A1G

（4）A1E⊥EF

（5）A1E⊥平面CDHG

（6）平面A1EF⊥平面ABB1A

12.已知圆锥底面半径为2，母线长为5，求该圆锥的侧面积和全面积（10分）【答案】

（1）侧面积πrl=π×2×5=10π

（2）底面积πr^2=π×4=4π

（3）全面积10π+4π=14π

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某三棱锥S-ABC的底面ABC是边长为3的正三角形，点S在平面ABC上的射影为△ABC的重心G，且SG=2求该三棱锥的体积（25分）【答案】

（1）底面面积√3/4×3^2=9√3/4

（2）高SG=2

（3）体积1/3×9√3/4×2=3√

32.在空间直角坐标系中，已知点A1,2,3，B3,0,2，C0,1,1，求△ABC的面积（25分）【答案】

（1）向量AB=2,-2,-1，向量AC=-1,-1,-2

（2）向量AB×AC=|-i-3j-4k|

（3）模长√26

（4）面积1/2×√26=√26/2。