线性代数A竞赛试题及答案参考

线性代数A竞赛试题及答案参考

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列向量组中，线性无关的是（）（2分）A.1,0,1,2,1,3,1,1,2B.1,1,1,1,2,3,2,3,5C.1,0,0,0,1,0,0,0,1D.1,2,3,2,4,6,3,6,9【答案】C【解析】选项C中的向量组是标准单位向量组，显然线性无关

2.矩阵A的秩为r，则下列说法正确的是（）（2分）A.A中任意r阶子式都不为0B.A中存在r+1阶子式不为0C.A中所有r阶子式都为0D.A中至少有一个r阶子式不为0【答案】D【解析】矩阵的秩定义为最高阶非零子式的阶数

3.下列哪个是特征值λ=2对应的特征向量？（）（2分）A.1,1B.1,-1C.2,1D.1,2【答案】C【解析】特征向量需满足Ax=λx，选项C满足条件

4.矩阵A可逆的充分必要条件是（）（2分）A.A的行列式不为0B.A的秩等于其阶数C.A有非零特征值D.A的转置矩阵可逆【答案】A【解析】矩阵可逆当且仅当其行列式不为

05.下列哪个矩阵是正交矩阵？（）（2分）A.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}01\\-10\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}11\\1-1\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\【答案】D【解析】选项D的列向量相互正交且为单位向量

6.下列哪个矩阵是奇异矩阵？（）（2分）A.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}20\\03\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}01\\-10\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\【答案】D【解析】选项D的行列式为0，矩阵不可逆

7.下列哪个向量是矩阵A的零向量？（）（2分）A.1,1B.0,0C.1,2D.2,1【答案】B【解析】零向量是所有分量为0的向量

8.下列哪个矩阵是上三角矩阵？（）（2分）A.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}100\\020\\003\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}123\\045\\678\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}12\\03\\40\end{pmatrix}\【答案】B【解析】选项B的矩阵是上三角矩阵

9.下列哪个向量是线性组合？（）（2分）A.1,0B.0,1C.1,1D.1,2【答案】C【解析】选项C可以表示为1,0+0,

110.下列哪个矩阵是正定矩阵？（）（2分）A.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}-10\\0-1\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\【答案】A【解析】选项A是正定矩阵

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列哪些是线性代数的基本概念？（）A.矩阵B.向量空间C.特征值D.秩E.方程组【答案】A、B、C、D、E【解析】这些都是线性代数的基本概念

2.下列哪些矩阵是可逆的？（）A.单位矩阵B.非奇异矩阵C.零矩阵D.正交矩阵E.上三角矩阵【答案】A、B、D【解析】零矩阵不可逆

3.下列哪些向量是线性无关的？（）A.1,0B.0,1C.1,1D.2,1E.1,2【答案】A、B【解析】只有1,0和0,1线性无关

4.下列哪些是特征值的多项式性质？（）A.特征值的和等于矩阵迹B.特征值的积等于矩阵行列式C.特征值可以是复数D.特征值对应的特征向量唯一E.特征值对应的特征向量可以线性相关【答案】A、B、C【解析】特征值对应的特征向量应线性无关

5.下列哪些是线性变换的性质？（）A.Tu+v=Tu+TvB.Tcu=cTuC.T0=0D.Tu=uE.Tu=0【答案】A、B、C【解析】线性变换应满足这三个性质

三、填空题（每题4分，共16分）

1.矩阵A的秩为3，则A的4阶子式______（4分）【答案】全为0【解析】秩为3，4阶子式必为

02.矩阵A的特征值为λ1,λ2,λ3，则detA=______（4分）【答案】λ1λ2λ3【解析】行列式等于特征值的乘积

3.矩阵A可逆，则A的逆矩阵记作______（4分）【答案】A⁻¹【解析】逆矩阵记作A的负一次方

4.向量组1,0,0,0,1,0,0,0,1的秩为______（4分）【答案】3【解析】标准单位向量组线性无关，秩为3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个非零向量线性无关（）（2分）【答案】（×）【解析】如1,1和2,2线性相关

2.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数（）（2分）【答案】（√）【解析】这是秩的定义

3.特征值对应的特征向量唯一（）（2分）【答案】（×）【解析】特征向量可以相差非零常数

4.正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵（）（2分）【答案】（√）【解析】这是正交矩阵的性质

5.矩阵的行列式为0，则矩阵不可逆（）（2分）【答案】（√）【解析】行列式为0，矩阵不可逆

五、简答题（每题4分，共20分）

1.解释什么是矩阵的秩（4分）【答案】矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数，也是矩阵行向量组或列向量组的秩【解析】秩反映了矩阵的线性无关行或列的最大数量

2.解释什么是特征值和特征向量（4分）【答案】特征值是使Ax=λx有非零解的λ，特征向量是相应的非零解x【解析】特征值和特征向量描述了矩阵在特定方向上的伸缩性质

3.解释什么是线性变换（4分）【答案】线性变换是保持向量加法和数乘运算的映射，满足Tu+v=Tu+Tv和Tcu=cTu【解析】线性变换是线性代数的基本概念之一

4.解释什么是向量空间（4分）【答案】向量空间是满足加法和数乘运算封闭的集合，包含零向量，满足八条运算律【解析】向量空间是线性代数的基础概念

5.解释什么是矩阵的逆矩阵（4分）【答案】矩阵A的逆矩阵是满足AA⁻¹=I的矩阵A⁻¹，只有可逆矩阵才有逆矩阵【解析】逆矩阵是矩阵的倒数

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\，求A的特征值和特征向量（10分）【答案】特征值为λ1=-1,λ2=5，特征向量分别为k1-2,1和k21,3【解析】

（1）求解特征方程detA-λI=0det\\begin{pmatrix}1-λ2\\34-λ\end{pmatrix}\=1-λ4-λ-6=λ²-5λ+1=0解得λ1=-1,λ2=5

（2）求解特征向量对于λ1=-1，A+Ix=0\\begin{pmatrix}22\\35\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}x1\\x2\end{pmatrix}\=0得x1=-2x2，特征向量为k1-2,1对于λ2=5，A-5Ix=0\\begin{pmatrix}-42\\3-1\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}x1\\x2\end{pmatrix}\=0得x1=x2/2，特征向量为k21,

32.已知向量组1,0,0,0,1,0,0,0,1，证明它们线性无关（10分）【答案】证明设有c11,0,0+c20,1,0+c30,0,1=0，则c1,c2,c3=0，即c1=c2=c3=0，所以向量组线性无关【解析】

（1）线性组合等于零向量的系数必须全为0

（2）标准单位向量组中每个向量的分量在对应位置为1，其他位置为0，所以线性组合只有在系数全为0时才等于零向量

（3）根据线性无关的定义，只有零系数组合才能得到零向量，所以向量组线性无关

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\，求A的逆矩阵（25分）【答案】A⁻¹=\\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\（保留一位小数）【解析】

（1）计算行列式detA=1×4-2×3=-2≠0，矩阵可逆

（2）计算伴随矩阵adjA adjA=\\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}\

（3）计算逆矩阵A⁻¹=adjA/detA A⁻¹=\\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}\/-2=\\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\

（4）验证AA⁻¹=I\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\=\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\

2.已知向量组1,0,0,0,1,0,0,0,1，证明它们是R³的基（25分）【答案】证明向量组线性无关且R³的维数为3，所以向量组是R³的基【解析】

（1）线性无关性设有c11,0,0+c20,1,0+c30,0,1=0，则c1,c2,c3=0，即c1=c2=c3=0，所以向量组线性无关

（2）维数匹配R³的维数为3，向量组包含3个线性无关向量，所以向量组是R³的基

（3）生成性任意向量x,y,z∈R³，可表示为x1,0,0+y0,1,0+z0,0,1=x,y,z，所以向量组生成R³

（4）结论向量组线性无关且生成R³，所以是R³的基---完整标准答案

一、单选题

1.C

2.D

3.C

4.A

5.D

6.D

7.B

8.B

9.C

10.A

二、多选题

1.A、B、C、D、E

2.A、B、D

3.A、B

4.A、B、C

5.A、B、C

三、填空题

1.全为

02.λ1λ2λ

33.A⁻¹

4.3

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数，也是矩阵行向量组或列向量组的秩

2.特征值是使Ax=λx有非零解的λ，特征向量是相应的非零解x

3.线性变换是保持向量加法和数乘运算的映射，满足Tu+v=Tu+Tv和Tcu=cTu

4.向量空间是满足加法和数乘运算封闭的集合，包含零向量，满足八条运算律

5.矩阵A的逆矩阵是满足AA⁻¹=I的矩阵A⁻¹，只有可逆矩阵才有逆矩阵

六、分析题

1.特征值为λ1=-1,λ2=5，特征向量分别为k1-2,1和k21,

32.向量组线性无关，因为只有零系数组合才能得到零向量

七、综合应用题

1.A⁻¹=\\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\（保留一位小数）

2.向量组是R³的基，因为它们线性无关且生成R³。