线性代数大专复习必备试题及答案

线性代数大专复习必备试题及答案整理

一、单选题（每题2分，共20分）

1.在二维空间中，向量1,2与向量2,4的关系是（）A.平行B.垂直C.重合D.不确定【答案】A【解析】向量2,4是向量1,2的倍数，因此它们平行

2.矩阵\[\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\]的转置矩阵是（）A.\[\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}\]B.\[\begin{pmatrix}24\\13\end{pmatrix}\]C.\[\begin{pmatrix}31\\42\end{pmatrix}\]D.\[\begin{pmatrix}43\\21\end{pmatrix}\]【答案】A【解析】转置矩阵是将原矩阵的行和列互换

3.行列式\[\begin{vmatrix}12\\34\end{vmatrix}\]的值是（）A.-2B.2C.-5D.5【答案】B【解析】行列式的计算公式为\[\begin{vmatrix}ab\\cd\end{vmatrix}=ad-bc\]，所以\[\begin{vmatrix}12\\34\end{vmatrix}=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2\]

4.向量空间R^3中的向量1,0,0的模长是（）A.1B.0C.2D.3【答案】A【解析】向量的模长计算公式为\[\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\]，所以\[\|1,0,0\|=\sqrt{1^2+0^2+0^2}=1\]

5.矩阵\[\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\]的行列式是（）A.-2B.2C.-5D.5【答案】D【解析】行列式的计算公式为\[\begin{vmatrix}ab\\cd\end{vmatrix}=ad-bc\]，所以\[\begin{vmatrix}12\\34\end{vmatrix}=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2\]

6.矩阵\[\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\]的迹是（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】矩阵的迹是矩阵主对角线上元素的和，所以\[\text{tr}\left\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\right=1+4=5\]

7.矩阵\[\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\]的逆矩阵是（）A.\[\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\]B.\[\begin{pmatrix}2-1\\-

1.

50.5\end{pmatrix}\]C.\[\begin{pmatrix}-12\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\]D.\[\begin{pmatrix}1-2\\-

1.

50.5\end{pmatrix}\]【答案】A【解析】逆矩阵的计算公式为\[A^{-1}=\frac{1}{\text{det}A}\text{adj}A\]，其中\[\text{adj}A\]是伴随矩阵

8.线性方程组\[\begin{cases}x+y=5\\2x+2y=10\end{cases}\]的解是（）A.5,0B.0,5C.2,3D.无解【答案】D【解析】第二个方程是第一个方程的倍数，因此方程组有无穷多解

9.向量空间R^2中的向量1,1与向量2,2的关系是（）A.平行B.垂直C.重合D.不确定【答案】C【解析】向量2,2是向量1,1的倍数，因此它们重合

10.矩阵\[\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\]的秩是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】矩阵的秩是矩阵中非零子式的最高阶数，所以秩为2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是线性无关的向量？（）A.1,0B.0,1C.1,1D.2,2【答案】A、B【解析】向量1,0和0,1是线性无关的，因为它们不能通过对方的比例表示

2.以下哪些是矩阵的迹的性质？（）A.\\text{tr}A+B=\text{tr}A+\text{tr}B\B.\\text{tr}cA=c\cdot\text{tr}A\C.\\text{tr}AB=\text{tr}BA\D.\\text{tr}A^T=\text{tr}A\【答案】A、B、C、D【解析】这些都是矩阵迹的基本性质

3.以下哪些是线性方程组有解的条件？（）A.系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B.系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C.系数矩阵的行列式不为零D.增广矩阵的行列式不为零【答案】A、C【解析】线性方程组有解的条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，或者系数矩阵的行列式不为零

4.以下哪些是向量空间R^3中的基？（）A.1,0,0B.0,1,0C.0,0,1D.1,1,1【答案】A、B、C【解析】1,0,

0、0,1,0和0,0,1是R^3中的基，因为它们线性无关且可以表示R^3中的任意向量

5.以下哪些是矩阵的逆矩阵的性质？（）A.\AB^{-1}=B^{-1}A^{-1}\B.\A^T^{-1}=A^{-1}^T\C.\cA^{-1}=\frac{1}{c}A^{-1}\D.\A^{-1}A=I\【答案】A、B、C、D【解析】这些都是矩阵逆矩阵的基本性质

三、填空题（每题4分，共16分）

1.矩阵\[\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\]的行列式是________【答案】-2【解析】行列式的计算公式为\[\begin{vmatrix}ab\\cd\end{vmatrix}=ad-bc\]，所以\[\begin{vmatrix}12\\34\end{vmatrix}=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2\]

2.向量空间R^2中的向量1,2与向量3,6的关系是________【答案】平行【解析】向量3,6是向量1,2的倍数，因此它们平行

3.矩阵\[\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\]的迹是________【答案】5【解析】矩阵的迹是矩阵主对角线上元素的和，所以\[\text{tr}\left\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\right=1+4=5\]

4.线性方程组\[\begin{cases}x+y=5\\2x+2y=10\end{cases}\]的解是________【答案】有无穷多解【解析】第二个方程是第一个方程的倍数，因此方程组有无穷多解

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个向量如果线性相关，那么它们一定共线（）【答案】（√）【解析】线性相关的向量可以通过对方的比例表示，因此它们共线

2.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数（）【答案】（√）【解析】矩阵的秩确实等于其非零子式的最高阶数

3.线性方程组有解的条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩（）【答案】（√）【解析】线性方程组有解的条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩

4.向量空间R^3中的向量1,0,0与向量0,1,0是线性无关的（）【答案】（√）【解析】向量1,0,0和0,1,0不能通过对方的比例表示，因此它们线性无关

5.矩阵的逆矩阵唯一存在当且仅当矩阵是可逆的（）【答案】（√）【解析】矩阵的逆矩阵唯一存在当且仅当矩阵是可逆的

五、简答题（每题5分，共15分）

1.什么是向量空间的基？【答案】向量空间的基是指一组线性无关的向量，这组向量可以生成整个向量空间换句话说，向量空间的任何向量都可以表示为这组基向量的线性组合

2.什么是矩阵的逆矩阵？【答案】矩阵的逆矩阵是指一个矩阵A，使得\AA^{-1}=A^{-1}A=I\，其中I是单位矩阵只有当矩阵是方阵且行列式不为零时，矩阵才有逆矩阵

3.什么是线性方程组？【答案】线性方程组是指由多个线性方程组成的方程组，每个方程中的未知数都是一次的线性方程组的一般形式为\[a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b\]，其中\a_1,a_2,\cdots,a_n\是系数，\x_1,x_2,\cdots,x_n\是未知数，\b\是常数项

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析向量空间R^3中的向量1,2,3与向量2,4,6的关系【答案】向量2,4,6是向量1,2,3的倍数，因此它们线性相关具体来说，向量2,4,6可以表示为向量1,2,3的2倍，即\[2,4,6=2\cdot1,2,3\]

2.分析矩阵\[\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\]的逆矩阵【答案】矩阵\[\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\]的行列式是-2，因此它是可逆的逆矩阵的计算公式为\[A^{-1}=\frac{1}{\text{det}A}\text{adj}A\]，其中\[\text{adj}A\]是伴随矩阵计算得到\[A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\]

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.解线性方程组\[\begin{cases}x+y+z=6\\2x+3y+z=14\\3x+2y+4z=20\end{cases}\]【答案】首先写出增广矩阵\[\left\begin{array}{ccc|c}1116\\23114\\32420\end{array}\right\]进行行变换\[R2=R2-2R1\]\[R3=R3-3R1\]得到\[\left\begin{array}{ccc|c}1116\\01-12\\0-112\end{array}\right\]继续行变换\[R3=R3+R2\]得到\[\left\begin{array}{ccc|c}1116\\01-12\\0004\end{array}\right\]由于最后一行表示0=4，因此方程组无解

2.求矩阵\[\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\]的特征值和特征向量【答案】首先计算特征多项式\[\text{det}A-\lambdaI=\text{det}\left\begin{pmatrix}1-\lambda2\\34-\lambda\end{pmatrix}\right=1-\lambda4-\lambda-6=\lambda^2-5\lambda-2\]解特征方程\[\lambda^2-5\lambda-2=0\]得到特征值\[\lambda_1=\frac{5+\sqrt{33}}{2},\quad\lambda_2=\frac{5-\sqrt{33}}{2}\]对于特征值\\lambda_1\，解方程组\[A-\lambda_1Ix=0\]得到特征向量\[x_1=\left\begin{array}{c}2\\\frac{5+\sqrt{33}}{2}\end{array}\right\]对于特征值\\lambda_2\，解方程组\[A-\lambda_2Ix=0\]得到特征向量\[x_2=\left\begin{array}{c}2\\\frac{5-\sqrt{33}}{2}\end{array}\right\]因此，矩阵的特征值和特征向量分别为\[\lambda_1=\frac{5+\sqrt{33}}{2},\quadx_1=\left\begin{array}{c}2\\\frac{5+\sqrt{33}}{2}\end{array}\right\]\[\lambda_2=\frac{5-\sqrt{33}}{2},\quadx_2=\left\begin{array}{c}2\\\frac{5-\sqrt{33}}{2}\end{array}\right\]。