线性代数理期末试题及答案

线性代数理期末试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列向量组中，线性无关的是（）（2分）A.1,2,3,2,4,6,3,6,9B.1,0,0,0,1,0,0,0,1C.1,2,3,1,3,2,2,1,3D.1,2,3,1,2,4,1,3,5【答案】B【解析】B选项中的三个向量是单位向量，显然线性无关

2.矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的转置矩阵$A^T$是（）（2分）A.$\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}24\\13\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}31\\42\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}43\\21\end{pmatrix}$【答案】C【解析】矩阵转置的定义是将矩阵的行和列互换

3.下列矩阵中，可逆矩阵是（）（2分）A.$\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}$【答案】B【解析】B选项中的矩阵是单位矩阵，单位矩阵是可逆的

4.矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的行列式$\detA$是（）（2分）A.-2B.2C.-1D.1【答案】A【解析】行列式的计算公式为$\detA=ad-bc$，所以$\detA=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2$

5.下列向量中，属于向量空间$\mathbb{R}^3$的基的是（）（2分）A.1,0,0B.1,1,0,1,0,1C.1,2,3,2,3,4D.1,0,0,0,1,0,0,0,1【答案】D【解析】D选项中的三个向量是单位向量，且线性无关，可以构成$\mathbb{R}^3$的基

6.矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的逆矩阵$A^{-1}$是（）（2分）A.$\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}2-1\\-

1.

50.5\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1-2\\-34\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}-12\\3-4\end{pmatrix}$【答案】A【解析】逆矩阵的计算公式为$A^{-1}=\frac{1}{\detA}\begin{pmatrix}d-b\\-ca\end{pmatrix}$，所以$A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}$

7.下列矩阵中，秩为2的是（）（2分）A.$\begin{pmatrix}12\\34\\56\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}12\\23\\34\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}12\\45\\78\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}12\\34\\68\end{pmatrix}$【答案】B【解析】B选项中的矩阵的行向量线性无关，所以秩为

28.下列方程组中，有唯一解的是（）（2分）A.$\begin{cases}x+y=1\\2x+2y=2\end{cases}$B.$\begin{cases}x+y=1\\x+y=2\end{cases}$C.$\begin{cases}x+y=1\\y+z=2\end{cases}$D.$\begin{cases}x+y=1\\y+z=1\end{cases}$【答案】A【解析】A选项中的方程组是独立的，有唯一解

9.下列矩阵中，特征值是1的是（）（2分）A.$\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}11\\01\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}20\\02\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}10\\11\end{pmatrix}$【答案】A【解析】A选项中的矩阵是单位矩阵，特征值全为

110.下列向量中，属于向量空间$\mathbb{R}^2$的子空间的是（）（2分）A.1,0B.1,1,2,2C.1,0,0,1D.1,1,1,-1【答案】C【解析】C选项中的两个向量是线性无关的，可以构成$\mathbb{R}^2$的子空间

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是线性代数中的基本概念？（）A.向量空间B.矩阵C.行列式D.特征值E.线性变换【答案】A、B、C、D、E【解析】这些都是线性代数中的基本概念

2.以下哪些矩阵是可逆的？（）A.单位矩阵B.零矩阵C.非奇异矩阵D.奇异矩阵E.行列式不为零的矩阵【答案】A、C、E【解析】单位矩阵、非奇异矩阵（行列式不为零）是可逆的

3.以下哪些向量组是线性无关的？（）A.1,0,0,0,1,0,0,0,1B.1,2,3,2,3,4,3,4,5C.1,0,0,1D.1,1,1,2,2,2,3,3,3E.1,0,0,1,1,0【答案】A、C、E【解析】A选项中的向量是单位向量，线性无关；C选项中的向量是线性无关的；E选项中的向量是线性无关的

4.以下哪些是矩阵的秩的性质？（）A.秩等于行数B.秩等于列数C.秩等于行向量线性无关的最大个数D.秩等于列向量线性无关的最大个数E.秩等于矩阵的行列式【答案】C、D【解析】矩阵的秩等于行向量或列向量线性无关的最大个数

5.以下哪些是特征值和特征向量的性质？（）A.特征向量是非零向量B.特征值可以是零C.特征向量对应的特征值唯一D.特征值对应的特征向量不唯一E.特征值和特征向量是矩阵对角化的条件【答案】A、C、D【解析】特征向量是非零向量，特征值对应的特征向量不唯一，特征向量对应的特征值唯

一三、填空题（每题4分，共20分）

1.矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的转置矩阵$A^T$是__________（4分）【答案】$\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}$

2.矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的行列式$\detA$是__________（4分）【答案】-

23.矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的逆矩阵$A^{-1}$是__________（4分）【答案】$\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}$

4.向量空间$\mathbb{R}^3$的基是__________个向量（4分）【答案】

35.矩阵的秩是矩阵中__________行向量线性无关的最大个数（4分）【答案】行

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个线性无关的向量一定可以构成一个向量空间的基（）（2分）【答案】（√）

2.零矩阵的秩为0（）（2分）【答案】（√）

3.如果一个矩阵的行列式为0，那么这个矩阵是不可逆的（）（2分）【答案】（√）

4.特征值可以是零（）（2分）【答案】（√）

5.任何矩阵都可以对角化（）（2分）【答案】（×）

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述向量空间的基本性质（4分）【答案】向量空间的基本性质包括封闭性、加法交换律、加法结合律、存在零向量、存在负向量、数乘分配律、数乘结合律、存在单位元

2.简述矩阵的秩的定义（4分）【答案】矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（或列）向量的最大个数

3.简述特征值和特征向量的定义（4分）【答案】特征值和特征向量是指对于矩阵$A$，如果存在一个数$\lambda$和一个非零向量$x$，使得$Ax=\lambdax$，那么$\lambda$称为特征值，$x$称为特征向量

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的特征值和特征向量（10分）【答案】特征方程为$\detA-\lambdaI=0$，即$\det\begin{pmatrix}1-\lambda2\\34-\lambda\end{pmatrix}=1-\lambda4-\lambda-6=\lambda^2-5\lambda-2=0$解得$\lambda_1=\frac{5+\sqrt{33}}{2}$，$\lambda_2=\frac{5-\sqrt{33}}{2}$对于$\lambda_1$，解$A-\lambda_1Ix=0$，即$\begin{pmatrix}1-\lambda_12\\34-\lambda_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0$，得到特征向量$x_1=\begin{pmatrix}2\\3-\lambda_1\end{pmatrix}$对于$\lambda_2$，解$A-\lambda_2Ix=0$，即$\begin{pmatrix}1-\lambda_22\\34-\lambda_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0$，得到特征向量$x_2=\begin{pmatrix}2\\3-\lambda_2\end{pmatrix}$

2.分析向量空间$\mathbb{R}^3$的基的性质（10分）【答案】向量空间$\mathbb{R}^3$的基是三个线性无关的向量，它们可以表示$\mathbb{R}^3$中的任何一个向量基的性质包括

1.基中的向量是线性无关的

2.基中的向量可以表示$\mathbb{R}^3$中的任何一个向量

3.基中的向量个数是3，即$\mathbb{R}^3$的维度是3

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.给定矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$和向量$b=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$，求解线性方程组$Ax=b$（25分）【答案】线性方程组$Ax=b$可以写成$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$解这个方程组，可以得到$x_1+2x_2=1$$3x_1+4x_2=2$通过消元法，可以得到$x_1=-2x_2+1$所以，解为$x_1=-2x_2+1$$x_2$为任意实数

2.给定向量空间$\mathbb{R}^3$的两个基$B=\{1,0,0,0,1,0,0,0,1\}$和$B=\{1,1,0,1,0,1,0,1,1\}$，将向量$v=1,2,3$在基$B$下的坐标求出来（25分）【答案】首先，将向量$v=1,2,3$在基$B$下的坐标表示出来，即$v=11,0,0+20,1,0+30,0,1$然后，求基$B$下的坐标，即求$x_1,x_2,x_3$使得$v=x_11,1,0+x_21,0,1+x_30,1,1$解这个方程组，可以得到$x_1+x_2=1$$x_1+x_3=2$$x_2+x_3=3$通过解这个方程组，可以得到$x_1=1$$x_2=0$$x_3=2$所以，向量$v$在基$B$下的坐标是$1,0,2$。