线性代数理综合试题及答案

线性代数理综合试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列向量组中，线性无关的是（）A.（1，2，3），（2，4，6），（3，6，9）B.（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）C.（1，2，3），（0，1，2），（0，0，1）D.（1，2，3），（1，3，4），（2，4，5）【答案】B【解析】向量组线性无关的定义是任意一个向量都不能由其他向量线性表示，B选项中的三个向量是标准单位向量，显然线性无关

2.矩阵$A=\begin{pmatrix}123\\456\\789\end{pmatrix}$的秩为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】对矩阵A进行行变换，得到$\begin{pmatrix}123\\0-3-6\\000\end{pmatrix}$，秩为

23.向量空间$R^3$的一个基是（）A.（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）B.（1，1，1），（1，2，3），（1，3，5）C.（1，2，3），（1，3，4），（1，4，5）D.（1，0，1），（0，1，1），（1，1，0）【答案】A【解析】A选项中的三个向量是标准单位向量，且线性无关，构成$R^3$的基

4.矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的逆矩阵为（）A.$\begin{pmatrix}1-2\\-34\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}-12\\3-4\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}-42\\3-1\end{pmatrix}$【答案】C【解析】计算行列式$|A|=1\cdot4-2\cdot3=-2$，逆矩阵为$\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}$

5.线性方程组$Ax=b$有解的充要条件是（）A.矩阵A满秩B.向量b在矩阵A的列空间中C.矩阵A的行列式不为0D.向量b与矩阵A的行向量线性相关【答案】B【解析】线性方程组有解的充要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，即向量b在矩阵A的列空间中

6.向量空间$R^2$的一个子空间是（）A.$\{x,y|x+y=0\}$B.$\{x,y|x-y=0\}$C.$\{x,y|x=0\}$D.$\{x,y|y=0\}$【答案】C【解析】C选项是$R^2$中x轴上的所有点，构成一个子空间

7.矩阵$A=\begin{pmatrix}123\\456\\789\end{pmatrix}$的转置矩阵为（）A.$\begin{pmatrix}147\\258\\369\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}123\\456\\789\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}123\\456\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}147\\258\\369\end{pmatrix}$【答案】A【解析】矩阵的转置是将矩阵的行和列互换，得到$\begin{pmatrix}147\\258\\369\end{pmatrix}$

8.线性变换$f:R^2\rightarrowR^2$，$fx,y=x+y,y-x$的矩阵表示为（）A.$\begin{pmatrix}11\\-11\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1-1\\11\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}10\\0-1\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}$【答案】A【解析】将标准基向量（1，0）和（0，1）分别代入变换，得到（1，-1）和（1，1），构成矩阵$\begin{pmatrix}11\\-11\end{pmatrix}$

9.向量空间$R^3$的一个子空间维数是2，则这个子空间是（）A.$\{x,y,z|x+y+z=0\}$B.$\{x,y,z|x-y=0\}$C.$\{x,y,z|x=0\}$D.$\{x,y,z|y=0\}$【答案】B【解析】B选项是$R^3$中y轴和z轴组成的平面，维数为

210.矩阵$A=\begin{pmatrix}123\\456\\789\end{pmatrix}$的迹为（）A.15B.16C.17D.18【答案】B【解析】矩阵的迹是主对角线元素之和，即$1+5+9=15$

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是线性代数中的基本概念？（）A.向量空间B.线性变换C.矩阵D.行列式E.特征值【答案】A、B、C、D、E【解析】向量空间、线性变换、矩阵、行列式和特征值都是线性代数中的基本概念

2.线性方程组$Ax=b$无解的条件是（）A.矩阵A满秩B.向量b不在矩阵A的列空间中C.矩阵A的行列式不为0D.向量b与矩阵A的行向量线性相关【答案】B【解析】线性方程组无解的充要条件是增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，即向量b不在矩阵A的列空间中

3.以下哪些向量组是线性无关的？（）A.（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）B.（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9）C.（1，0，1），（0，1，1），（1，1，0）D.（1，1，1），（1，2，3），（1，3，5）【答案】A、C【解析】A选项中的三个向量是标准单位向量，线性无关；C选项中的三个向量也线性无关

4.矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的特征值为（）A.1B.2C.3D.4E.5【答案】A、B【解析】计算特征方程$\detA-\lambdaI=0$，得到$\lambda^2-5\lambda+4=0$，解得$\lambda=1,4$

5.以下哪些是向量空间$R^3$的子空间？（）A.$\{x,y,z|x+y+z=0\}$B.$\{x,y,z|x-y=0\}$C.$\{x,y,z|x=0\}$D.$\{x,y,z|y=0\}$【答案】A、B、C、D【解析】四个选项都是$R^3$的子空间

三、填空题（每题4分，共20分）

1.矩阵$A=\begin{pmatrix}123\\456\\789\end{pmatrix}$的秩为________【答案】2【解析】对矩阵A进行行变换，得到$\begin{pmatrix}123\\0-3-6\\000\end{pmatrix}$，秩为

22.向量空间$R^3$的一个基是________【答案】（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）【解析】标准单位向量构成$R^3$的基

3.矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的逆矩阵为________【答案】$\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}$【解析】计算行列式$|A|=1\cdot4-2\cdot3=-2$，逆矩阵为$\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}$

4.线性方程组$Ax=b$有解的充要条件是________【答案】向量b在矩阵A的列空间中【解析】线性方程组有解的充要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，即向量b在矩阵A的列空间中

5.向量空间$R^2$的一个子空间是________【答案】$\{x,y|x=0\}$【解析】C选项是$R^2$中x轴上的所有点，构成一个子空间

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个线性无关的向量一定张成$R^2$（）【答案】（×）【解析】两个线性无关的向量张成$R^2$的前提是它们是$R^2$中的向量

2.矩阵$A$的转置矩阵$A^T$的秩与矩阵A的秩相同（）【答案】（√）【解析】矩阵的秩与其转置矩阵的秩相同

3.线性变换$f:R^2\rightarrowR^2$，$fx,y=x+y,y-x$是可逆的（）【答案】（√）【解析】线性变换的矩阵$\begin{pmatrix}11\\-11\end{pmatrix}$是可逆的

4.向量空间$R^3$的一个子空间维数是3，则这个子空间是$R^3$本身（）【答案】（√）【解析】维数为3的子空间就是$R^3$本身

5.矩阵$A=\begin{pmatrix}123\\456\\789\end{pmatrix}$的迹为15（）【答案】（√）【解析】矩阵的迹是主对角线元素之和，即$1+5+9=15$

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述向量空间的基本性质【答案】向量空间的基本性质包括封闭性（向量加法和数乘封闭）、存在零向量、存在负向量、结合律、分配律、单位元等

2.简述矩阵秩的定义【答案】矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数，或者矩阵行向量组的极大线性无关组所含向量的个数

3.简述线性变换的定义【答案】线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，满足$fax+by=afx+bfy$

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析线性方程组$Ax=b$的解的情况【答案】线性方程组$Ax=b$的解的情况分为三种

（1）有唯一解矩阵A满秩，且b在A的列空间中

（2）无解b不在A的列空间中

（3）有无穷多解矩阵A不满秩，且b在A的列空间中

2.分析矩阵$A=\begin{pmatrix}123\\456\\789\end{pmatrix}$的特征值和特征向量【答案】计算特征方程$\detA-\lambdaI=0$，得到$\lambda^2-5\lambda+4=0$，解得$\lambda=1,4$对于$\lambda=1$，解方程$A-Ix=0$，得到特征向量（1，-2，1）对于$\lambda=4$，解方程$A-4Ix=0$，得到特征向量（1，0，-1）

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知向量空间$R^3$中的两个向量$v_1=1，2，3$和$v_2=4，5，6$，求它们生成的子空间的基【答案】向量$v_1$和$v_2$生成的子空间的基是这两个向量的极大线性无关组计算向量$v_1$和$v_2$的线性组合，得到$\begin{pmatrix}14\\25\\36\end{pmatrix}$，行简化后为$\begin{pmatrix}14\\0-3\\00\end{pmatrix}$，秩为2，因此$v_1$和$v_2$线性无关，构成子空间的基

2.已知矩阵$A=\begin{pmatrix}123\\456\\789\end{pmatrix}$，求矩阵$A$的逆矩阵【答案】计算行列式$|A|=1\cdot4-2\cdot3=-2$，计算伴随矩阵$A^$，得到$A^=\begin{pmatrix}-36-3\\6-126\\-36-3\end{pmatrix}$，逆矩阵为$A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-36-3\\6-126\\-36-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}

1.5-

31.5\\-36-3\\

1.5-

31.5\end{pmatrix}$---标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.A

4.C

5.B

6.C

7.A

8.A

9.B

10.B

二、多选题

1.A、B、C、D、E

2.B

3.A、C

4.A、B

5.A、B、C、D

三、填空题

1.

22.（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）

3.$\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}$

4.向量b在矩阵A的列空间中

5.$\{x,y|x=0\}$

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.向量空间的基本性质包括封闭性（向量加法和数乘封闭）、存在零向量、存在负向量、结合律、分配律、单位元等

2.矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数，或者矩阵行向量组的极大线性无关组所含向量的个数

3.线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，满足$fax+by=afx+bfy$

六、分析题

1.线性方程组$Ax=b$的解的情况分为三种

（1）有唯一解矩阵A满秩，且b在A的列空间中

（2）无解b不在A的列空间中

（3）有无穷多解矩阵A不满秩，且b在A的列空间中

2.计算特征方程$\detA-\lambdaI=0$，得到$\lambda^2-5\lambda+4=0$，解得$\lambda=1,4$对于$\lambda=1$，解方程$A-Ix=0$，得到特征向量（1，-2，1）对于$\lambda=4$，解方程$A-4Ix=0$，得到特征向量（1，0，-1）

七、综合应用题

1.向量$v_1$和$v_2$生成的子空间的基是这两个向量的极大线性无关组计算向量$v_1$和$v_2$的线性组合，得到$\begin{pmatrix}14\\25\\36\end{pmatrix}$，行简化后为$\begin{pmatrix}14\\0-3\\00\end{pmatrix}$，秩为2，因此$v_1$和$v_2$线性无关，构成子空间的基

2.计算行列式$|A|=1\cdot4-2\cdot3=-2$，计算伴随矩阵$A^$，得到$A^=\begin{pmatrix}-36-3\\6-126\\-36-3\end{pmatrix}$，逆矩阵为$A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-36-3\\6-126\\-36-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}

1.5-

31.5\\-36-3\\

1.5-

31.5\end{pmatrix}$。