考研试题一真题原貌及答案

考研试题一真题原貌及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.y=|x|B.y=x^2C.y=3x+2D.y=x^3【答案】A【解析】y=|x|在x=0处不可导，因为其左右导数不相等

2.若函数fx在区间[a,b]上连续，且在a,b内可导，则根据罗尔定理，必存在c∈a,b，使得fc=0，条件是（）A.fa=fbB.fafb0C.fa+fb=0D.fa=fb【答案】A【解析】罗尔定理的条件是fa=fb

3.级数∑_{n=1}^∞-1^n/n收敛的是（）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.交错收敛【答案】A【解析】该级数是交错级数，且满足交错级数收敛的条件，但绝对值级数∑_{n=1}^∞1/n发散

4.设函数fx在x=0处可导，且f0=1，lim_{x→0}fx-1/x=2，则f0等于（）A.2B.-2C.1D.0【答案】A【解析】根据导数定义，f0=lim_{x→0}fx-f0/x=lim_{x→0}fx-1/x=

25.下列向量组中，线性无关的是（）A.1,0,1B.1,1,1C.0,1,1D.1,1,0【答案】B【解析】向量组线性无关的判断可以通过行列式不为零或通过线性组合系数唯一确定

6.矩阵A=（12；34）的逆矩阵是（）A.（-4-2；31）B.（-42；3-1）C.（4-2；-31）D.（42；-3-1）【答案】A【解析】矩阵的逆矩阵可以通过伴随矩阵法或初等行变换法求得

7.设事件A和B相互独立，PA=

0.3，PB=

0.5，则PA∪B等于（）A.

0.8B.

0.15C.

0.45D.

0.2【答案】A【解析】根据概率的加法公式和独立性，PA∪B=PA+PB-PAPB=

0.3+

0.5-

0.

30.5=

0.

88.设随机变量X的分布列为x-101P

0.

20.

50.3则EX等于（）A.0B.

0.2C.

0.5D.

0.3【答案】A【解析】EX=∑xPX=x=-

10.2+

00.5+

10.3=

09.设函数fx=e^x，则∫fxdx等于（）A.e^x+CB.e^xC.logex+CD.-e^x【答案】A【解析】根据微积分基本定理，∫fxdx=fx+C=e^x+C

10.设直线l过点1,2且与直线y=3x+4平行，则直线l的方程是（）A.y=3x-1B.y=3x+1C.y=-3x+1D.y=-3x-1【答案】A【解析】平行直线的斜率相同，故直线l的斜率为3，代入点斜式方程得y-2=3x-1，即y=3x-1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）A.若函数fx在区间[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界B.若函数fx在x=c处可导，则fx在x=c处必连续C.若级数∑a_n收敛，则级数∑|a_n|也收敛D.若函数fx在区间[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界E.若函数fx在x=c处取得极值，且fx在x=c处可导，则fc=0【答案】B、D、E【解析】B选项是可导必连续的性质；D选项是可积函数的性质；E选项是费马定理的内容A选项不一定成立，C选项错误

2.下列向量组中，线性相关的是（）A.1,0,0B.0,1,0C.0,0,1D.1,1,1E.1,1,2【答案】D、E【解析】向量组线性相关的判断可以通过行列式为零或通过线性组合系数不全为零确定

3.设函数fx在x=0处连续，且lim_{x→0}fx/x=1，则下列说法正确的是（）A.f0=0B.f0=1C.fx在x=0处可导D.fx在x=0附近有界E.fx在x=0附近单调递增【答案】A、B、C【解析】根据极限和连续性，f0=0，f0=1，fx在x=0处可导

4.下列矩阵中，可逆的是（）A.（12；34）B.（10；00）C.（-12；34）D.（23；46）E.（12；24）【答案】A、C【解析】矩阵可逆的充要条件是行列式不为零

5.设事件A和B相互独立，PA=

0.6，PB=

0.7，则下列说法正确的是（）A.PA∩B=

0.42B.PA|B=

0.6C.PA∪B=

0.94D.PA∩B=

0.28E.PAUB=

0.88【答案】A、B、C、D【解析】根据概率的乘法公式、条件概率公式和加法公式，上述选项均正确

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx在x=0处可导，且f0=1，lim_{x→0}fx-1/x=3，则f0等于______【答案】3【解析】根据导数定义，f0=

32.级数∑_{n=1}^∞1/2^n收敛的和为______【答案】2【解析】该级数是等比级数，公比为1/2，故和为a/1-r=1/1-1/2=

23.矩阵A=（12；34）的秩为______【答案】2【解析】矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数，该矩阵为2阶矩阵，行列式不为零，故秩为

24.设事件A的概率为

0.4，事件B的概率为

0.5，且A和B互斥，则PA∪B等于______【答案】

0.9【解析】根据概率的加法公式，PA∪B=PA+PB=

0.4+

0.5=

0.

95.设随机变量X的期望为2，方差为1，则随机变量Y=3X-4的期望为______，方差为______【答案】2，9【解析】EY=3EX-4=32-4=2，DY=9DX=91=9

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）【答案】（√）【解析】根据连续函数的性质，连续函数在闭区间上必有界

2.若级数∑a_n绝对收敛，则级数∑a_n必收敛（）【答案】（√）【解析】绝对收敛的级数必收敛，这是级数收敛的必要条件

3.若函数fx在x=c处取得极值，且fx在x=c处可导，则fc=0（）【答案】（√）【解析】这是费马定理的内容

4.若矩阵A可逆，则矩阵A的秩为n（）【答案】（√）【解析】可逆矩阵为满秩矩阵，其秩等于矩阵阶数n

5.若事件A的概率为

0.6，事件B的概率为

0.4，且A和B相互独立，则PA|B=

0.6（）【答案】（√）【解析】根据条件概率公式，PA|B=PAPB/PB=

0.6

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述罗尔定理的条件和结论【答案】罗尔定理的条件是函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且fa=fb结论是在a,b内至少存在一点c，使得fc=

02.简述矩阵可逆的充要条件【答案】矩阵可逆的充要条件是矩阵为满秩矩阵，即矩阵的秩等于其阶数，或者矩阵的行列式不为零

3.简述随机变量期望和方差的意义【答案】随机变量的期望表示随机变量的平均值或中心位置，方差表示随机变量的离散程度或波动性

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx在闭区间[0,1]上连续，在开区间0,1内可导，且满足f0=0，f1=1证明在0,1内至少存在一点c，使得fc=1【答案】证明令gx=fx-x，则gx在闭区间[0,1]上连续，在开区间0,1内可导，且满足g0=f0-0=0，g1=f1-1=0根据罗尔定理，在0,1内至少存在一点c，使得gc=0，即fc-1=0，即fc=

12.设随机变量X的分布列为x-101P

0.

20.

50.3求随机变量Y=2X+1的分布列【答案】随机变量Y的取值为-1,1,3，对应的概率分别为PY=-1=PX=-1=

0.2，PY=1=PX=0=

0.5，PY=3=PX=1=

0.3故随机变量Y的分布列为Y-113P

0.

20.

50.3

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的极值点，并判断极值点的类型【答案】首先求函数的导数fx=3x^2-6x=3xx-2令fx=0，解得x=0或x=2分别计算fx=6x-6，f0=-60，f2=60故x=0为极大值点，x=2为极小值点

2.设事件A和B相互独立，PA=

0.7，PB=

0.6，求下列事件的概率

（1）PA∪B

（2）PA∩B

（3）PA|B

（4）PB|A【答案】

（1）PA∪B=PA+PB-PAPB=

0.7+

0.6-

0.

70.6=

0.88

（2）PA∩B=PAPB=1-PA1-PB=

0.

30.4=

0.12

（3）PA|B=PAPB/PB=

0.7

（4）PB|A=PAPB/PA=

0.6。