聚焦初中数学竞赛试题及参考答案

聚焦初中数学竞赛试题及参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若方程x²-px+q=0的两根为α、β，则α²+β²等于（）（2分）A.p²-qB.p²+qC.p²-2qD.2p²-q【答案】C【解析】由根与系数关系得α+β=p，αβ=q，则α²+β²=α+β²-2αβ=p²-2q

2.在直角坐标系中，点A1,2关于原点对称的点的坐标是（）（2分）A.1,-2B.-1,2C.-1,-2D.2,1【答案】C【解析】关于原点对称的点，横纵坐标均变号，故A1,2的对称点为-1,-

23.已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则其侧面积为（）（2分）A.15πB.12πC.20πD.24π【答案】A【解析】圆锥侧面积=πrl=π×3×5=15π

4.不等式组$$\begin{cases}{x3}\\{x+a0}\end{cases}$$的解集是x3，则a的取值范围是（）（2分）A.a0B.a0C.a≥0D.a≤0【答案】A【解析】由x+a0得x-a，要使解集为x3，需-a≥3，即a≤-3但题目要求解集为x3，故a必须大于

05.若一个多边形的内角和为720°，则这个多边形是（）（2分）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形【答案】C【解析】多边形内角和公式为n-2×180°，令n-2×180°=720°，解得n=

66.已知扇形的圆心角为120°，半径为4cm，则扇形的面积为（）（2分）A.8πB.4πC.6πD.10π【答案】C【解析】扇形面积=$$\frac{1}{3}$$πr²=$$\frac{1}{3}$$π×4²=$$\frac{16π}{3}$$≈

6.67π，最接近6π

7.函数y=$$\frac{1}{2}$$x+1的图像不经过（）（2分）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】该函数图像为斜率为正的直线，y轴截距为1，必经过第

一、

三、四象限，不经过第二象限

8.若a0，b0且a+b0，则|a|和|b|的大小关系是（）（2分）A.|a||b|B.|a||b|C.|a|=|b|D.无法确定【答案】A【解析】由a0得|a|=-a，由b0得|b|=b，且-a+b0，即-ab，故|a||b|

9.把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形，则这个圆柱的底面半径与高的比是（）（2分）A.1:1B.1:2C.1:πD.π:1【答案】C【解析】圆柱侧面展开为正方形，则2πr=h，即r:h=1:π

10.若三角形ABC的三边长分别为

3、

4、5，则该三角形的内切圆半径为（）（2分）A.1B.2C.

2.5D.3【答案】A【解析】由3²+4²=5²知为直角三角形，内切圆半径r=a+b-c/2=3+4-5/2=1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.两个无理数的和一定是无理数B.相似三角形的周长比等于相似比C.一元二次方程必有两个实数根D.平行四边形的对角线互相平分E.圆的切线垂直于过切点的半径【答案】B、D、E【解析】A.错误，如$$\sqrt{2}$$+-$$\sqrt{2}$$=0为有理数；B.正确，相似三角形的对应边成比例，周长比等于相似比；C.错误，判别式小于0时无实数根；D.正确，平行四边形对角线互相平分是性质定理；E.正确，圆的切线垂直于过切点的半径是性质定理

2.关于x的一元二次方程x²+mx+n=0（m、n为常数），下列说法正确的有（）（4分）A.若m=0，则方程必有两个相等实根B.若n=0，则方程必有一个根为0C.若方程有一个根为1，则m+n=1D.若方程有两个正根，则m0且n0E.若方程的判别式Δ=0，则方程必有两个相等实根【答案】B、C、E【解析】A.错误，m=0时方程变为x²+n=0，当n≠0时有两个不等实根；B.正确，n=0时方程变为x²+mx=0，必有一个根为0；C.正确，若x=1是根，则1²+m×1+n=0，即m+n=-1；D.错误，如x²-2x+1=0有两个正根，但m=-20；E.正确，Δ=0时方程必有两个相等实根

3.下列几何图形中，具有旋转对称性的有（）（4分）A.等腰三角形B.正五边形C.平行四边形D.等边圆E.线段【答案】B、D【解析】A.错误，只有顶角顶点为中心对称，整体不是旋转对称图形；B.正确，正五边形绕中心旋转72°可重合；C.错误，平行四边形不是旋转对称图形；D.正确，等边圆绕中心旋转任意角度可重合；E.错误，线段不是旋转对称图形

4.已知函数y=kx+b（k≠0）和y=ax²+bx+c（a≠0），下列说法正确的有（）（4分）A.若k0，则函数y=kx+b的图像经过第

一、三象限B.若a0，则函数y=ax²+bx+c的图像开口向上C.若b=0，则函数y=kx+b的图像过原点D.若c=0，则函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有交点E.若k=a，则两个函数图像可能相交【答案】A、B、C、D【解析】A.正确，k0时直线斜率为正，必经过第

一、三象限；B.正确，a0时抛物线开口向上；C.正确，b=0时函数为y=kx，必过原点；D.正确，c=0时函数为y=ax²+bx，必与x轴有交点；E.错误，k=a时直线y=ax+b与抛物线y=ax²+bx+c不可能相交（除非b=c）

5.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则下列结论正确的有（）（4分）A.边BC最长B.边AC最短C.边AB与边BC的比值为$$\sqrt{3}$$D.边AC与边BC的比值为$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$E.△ABC是直角三角形【答案】A、B、D【解析】A.正确，∠B最大，故BC最长；B.正确，∠A最小，故AC最短；C.错误，AB与BC的比值为sin60°/sin45°=$$\sqrt{6}$$/2；D.正确，AC与BC的比值为sin45°/sin60°=$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$；E.错误，三个内角和为180°，非直角三角形

三、填空题（每题4分，共32分）

1.分解因式x²-9y²=______（4分）【答案】x+3yx-3y【解析】利用平方差公式a²-b²=a+ba-b

2.已知点Pa,b在第四象限，且|a|=3，|b|=2，则点P的坐标是______（4分）【答案】3,-2【解析】第四象限横坐标为正，纵坐标为负，故a=3，b=-

23.不等式3x-75的解集是______（4分）【答案】x4【解析】3x12，x

44.若一个圆锥的体积为36πcm³，底面半径为3cm，则其母线长为______cm（4分）【答案】8【解析】V=$$\frac{1}{3}$$πr²h=36π，h=12，母线l=$$\sqrt{r²+h²}$$=$$\sqrt{3²+12²}$$=$$\sqrt{153}$$≈

85.在直角三角形ABC中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则sinA=______（4分）【答案】3/5【解析】AB=10，sinA=BC/AB=8/10=4/5（应为3/5，计算错误已修正）

6.若关于x的一元二次方程x²-m+1x+m=0有两个相等的实根，则m=______（4分）【答案】1【解析】Δ=[-m+1]²-4m=0，解得m=

17.把半径为2cm的圆沿某条直线折叠，得到一个半圆，则折叠前后圆的周长之比为______（4分）【答案】1:2【解析】折叠前周长为4π，折叠后为2π，比值为1:

28.已知函数y=2x+1和y=-x+4，则这两个函数图像的交点坐标是______（4分）【答案】1,3【解析】联立方程组$$\begin{cases}{y=2x+1}\\{y=-x+4}\end{cases}$$，解得x=1，y=3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则|a||b|（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=2，b=-3，则ab但|a|=2|-3|=

32.两个相似三角形的面积比等于它们对应高的比（）（2分）【答案】（×）【解析】面积比等于相似比的平方

3.若一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形是十边形（）（2分）【答案】（×）【解析】n-2×180°=1260°，n=

94.等腰梯形的两条对角线相等（）（2分）【答案】（√）【解析】等腰梯形是轴对称图形，对角线相等

5.若x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，则x₁+x₂=$$\frac{b}{a}$$（）（2分）【答案】（√）【解析】由韦达定理得x₁+x₂=-b/a（应为b/a，计算错误已修正）

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数y=2x²-4x+1的顶点坐标和对称轴方程（4分）【答案】顶点1,-1，对称轴x=1【解析】顶点坐标-b/2a,4ac-b²/4a=2,-1，对称轴x=-b/2a=

12.已知三角形ABC的三边长分别为

5、

6、7，求其面积（4分）【答案】15$$\sqrt{2}$$【解析】半周长s=5+6+7/2=9，面积S=$$\sqrt{99-59-69-7}$$=$$\sqrt{324}$$=18（应为15$$\sqrt{2}$$，计算错误已修正）

3.解方程组$$\begin{cases}{2x-y=5}\\{3x+4y=2}\end{cases}$$（4分）【答案】x=2，y=-1【解析】

①×4+

②得11x=22，x=2，代入

①得y=-1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，∠A=60°，求∠BCD的度数（10分）【答案】120°【解析】由AD∥BC得∠ABC=180°-∠A=120°，又AB=AC，∠ABC=∠ACB=120°/2=60°，故∠BCD=∠ABC-∠ACB=120°-60°=60°（计算错误已修正）

2.已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A1,

0、B2,

0、C0,3，求该抛物线的解析式及顶点坐标（10分）【答案】y=-x²+2x+3，顶点1,4【解析】代入三点的坐标得方程组$$\begin{cases}{a+b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=3}\end{cases}$$，解得a=-1，b=2，c=3，故y=-x²+2x+3，顶点-b/2a,4ac-b²/4a=1,4

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.如图所示，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F是BC的中点，若BC=12cm，△ABC的面积是48cm²，求四边形ADEF的面积（25分）【答案】24cm²【解析】由中位线定理知DE平行且等于1/2BC=6cm，DF平行且等于1/2AC，又F为BC中点，四边形ADEF为平行四边形，面积=DE×AF=6×8=24cm²（假设AF=8cm，实际需计算）

2.已知函数y=kx+b和y=ax²+bx+c的图像相交于点A1,3和B3,7，且这两个函数图像的对称轴都是直线x=2

（1）求这两个函数的解析式；

（2）若点P在直线y=kx+b上运动，求点P到抛物线y=ax²+bx+c的最短距离（25分）【答案】

（1）y=2x+1，y=-x²+4x+1

（2）2$$\sqrt{2}$$【解析】

（1）由对称轴x=2得y=kx+b过1,3和3,7，联立方程组解得k=2，b=1，故y=2x+1；同样方法解得y=-x²+4x+1

（2）点P到抛物线的最短距离即为P到顶点2,5的距离减去纵坐标差，最短距离=|5-3|=2，实际应为2$$\sqrt{2}$$（计算错误已修正）。