走进高考：试题真相与答案解析

走进高考试题真相与答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列关于等差数列的表述正确的是（）A.任意两项之差为常数B.任意两项之和为常数C.任意两项之积为常数D.首项为0的等差数列公差也为0【答案】A【解析】等差数列的定义是任意两项之差为常数，即公差

2.函数fx=lnx+1在区间-1,0上的导数fx等于（）A.1/x+1B.1/xC.1D.0【答案】A【解析】fx=[lnx+1]=1/x+

13.在平面直角坐标系中，点Pa,b关于原点对称的点的坐标是（）A.a,bB.-a,-bC.a,-bD.-a,b【答案】B【解析】点P关于原点对称的点的坐标是-a,-b

4.若复数z=1+i，则|z|等于（）A.1B.2C.√2D.√3【答案】C【解析】|z|=√1^2+1^2=√

25.抛物线y^2=4x的焦点坐标是（）A.1,0B.0,1C.2,0D.0,2【答案】A【解析】抛物线y^2=4x的焦点坐标是1,

06.下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=|x|【答案】D【解析】y=|x|在非负实数域上单调递增

7.三角函数sinπ/3的值等于（）A.1/2B.√3/2C.√2/2D.√3/4【答案】B【解析】sinπ/3=√3/

28.若向量a=1,2，向量b=3,4，则a·b等于（）A.5B.7C.11D.25【答案】C【解析】a·b=1×3+2×4=

119.直线y=2x+1与直线y=-x+3的交点坐标是（）A.1,3B.2,5C.2,4D.1,2【答案】D【解析】联立方程组得x=1,y=

210.样本数据5,7,9,10,12的平均数是（）A.7B.9C.10D.11【答案】C【解析】平均数=5+7+9+10+12/5=10

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）A.空集是任何集合的子集B.两个奇数的和是偶数C.对任意实数x，x^2≥0D.若A⊆B，B⊆C，则A⊆CE.若ab，则√a√b【答案】A、B、C、D【解析】空集是任何集合的子集，两个奇数和为偶数，任何实数的平方非负，传递性成立E中若a=4,b=1，则√a=2，√b=1，不成立

2.下列函数中，在区间0,1上单调递减的有（）A.y=-x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=lnxE.y=|x|【答案】A、C【解析】y=-x+1,y=1/x在0,1上单调递减y=x^2,y=lnx,y=|x|在0,1上单调递增

3.下列不等式成立的有（）A.√

21.414B.2^10010^30C.

0.3^

100.3^5D.log28log39E.log525log749【答案】A、B、C【解析】√2≈

1.

41421.4142^100≈

1.26765×10^3010^

300.3^10=

0.3^5^

20.3^5log28=3log39=2log525=2log749=

24.下列三角函数关系式中正确的有（）A.sin^2α+cos^2α=1B.tanα=cotπ/2-αC.sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβD.cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβE.α是第二象限角，则sinα0【答案】A、B、C、D【解析】均为三角函数基本关系式E中α为第二象限角，sinα0，但cosα

05.下列命题中正确的有（）A.若A⊆B，则A∪B=BB.若A×B={a,b}，则A={a},B={b}C.一组数据的中位数是这组数据排序后中间位置的数D.样本方差s^2=Σx_i-μ^2/nE.若事件A与B互斥，则PA∪B=PA+PB【答案】A、C、D、E【解析】均为集合论、统计基本概念

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数y=√x-1的定义域是________【答案】x≥1【解析】x-1≥0，即x≥

12.若复数z=2-3i，则z的共轭复数是________【答案】2+3i【解析】共轭复数是将虚部取相反数

3.等差数列{a_n}中，a_1=5，d=-2，则a_5=________【答案】1【解析】a_5=5+-2×5-1=

14.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C=________【答案】75°【解析】三角形内角和为180°，C=180°-60°-45°=75°

5.函数y=2^x在点1,2处的切线斜率是________【答案】2【解析】y=2^xln2，在x=1处，斜率=2ln2≈

26.直线l:ax+by+c=0过点1,2，则a+2b+c=________【答案】0【解析】将1,2代入方程得a×1+b×2+c=

07.样本数据3,4,5,6,7的方差s^2=________【答案】4【解析】μ=5，s^2=[3-5^2+4-5^2+5-5^2+6-5^2+7-5^2]/5=

48.函数y=sin2x+π/4的最小正周期是________【答案】π【解析】周期T=2π/|ω|=2π/2=π

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若函数fx在区间I上单调递增，则其反函数f^-1x也在区间I上单调递增（）【答案】（√）【解析】单调函数的反函数仍保持单调性

2.若|z|=1，则复数z一定是单位圆上的点（）【答案】（√）【解析】复数模为1的点在单位圆上

3.两个平面垂直，则这两个平面的交线垂直于这两个平面（）【答案】（√）【解析】交线是两平面的公共垂线

4.若事件A与B互斥，则A与B不可能同时发生（）【答案】（√）【解析】互斥事件定义是不可能同时发生

5.样本数据的平均数一定小于或等于中位数（）【答案】（√）【解析】平均数受极端值影响，总小于等于中位数

6.等比数列的前n项和S_n=首项a_1/1-q，当q=1时也适用（）【答案】（×）【解析】q=1时适用S_n=na_

17.若fx是奇函数，则f0=0（）【答案】（×）【解析】f0=0不一定成立，如fx=x^3+x

8.两条平行线与第三条直线相交，所形成的同位角相等（）【答案】（√）【解析】平行线性质定理

9.若A⊆B，则PA≤PB（）【答案】（√）【解析】概率单调性

10.直线y=kx+b与x轴相交，交点横坐标是-b/k（）【答案】（√）【解析】令y=0，得x=-b/k

五、简答题（每题5分，共20分）

1.求函数y=|x-1|在区间[0,3]上的最大值和最小值【答案】最大值2，最小值0【解析】分段函数y=|x-1|在x=1处取最小值0，在x=3处取最大值

22.求极限limx→∞3x^2+2x+1/5x^2-3x+4【答案】3/5【解析】分子分母同除x^2，极限为系数比3/

53.求不定积分∫1/xdx【答案】ln|x|+C【解析】基本积分公式∫1/xdx=ln|x|+C

4.求抛物线y^2=8x与直线y=2x的交点坐标【答案】2,4【解析】联立方程组得x=2,y=4

六、分析题（每题12分，共24分）

1.证明若函数fx在区间I上连续，且fx0，则fx在区间I上不取零值【证明】假设存在x_0∈I，fx_0=0，由连续性，存在δ0，当|x-x_0|δ时，fx≈0，与fx0矛盾，故fx在I上无零值

2.设数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，证明a_n=n·2^n-1【证明】用数学归纳法基础n=1，a_1=1=1×2^0假设成立，a_n=n·2^n-1，则a_n+1=2a_n+1=2n·2^n-1+1=n·2^n+1n+1时成立，证毕

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（25分）【解】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0,2f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=2最大值2，最小值-

22.某工厂生产一种产品，固定成本为10万元，每件产品可变成本为20元，售价为50元若每月生产x件产品，求月利润函数Px（25分）【解】Px=50x-10^4+20x=30x-10^4当x=0时，Px=-10^4；当x=10^4/3≈

3333.33时，Px=0；当x10^4/3时，Px随x增大而增大。