高三数学冲刺提分试题及标准答案

高三数学冲刺提分试题及标准答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.3C.2D.0【答案】B【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为两点间的距离

32.已知向量a=1,k，b=3,2，若a⊥b，则k的值为（）（2分）A.6B.-6C.2/3D.-2/3【答案】B【解析】a⊥b⇔a·b=0⇔1×3+2k=0⇔k=-

63.抛掷两个均匀的骰子，则出现点数之和大于9的概率为（）（2分）A.1/6B.5/36C.1/4D.7/36【答案】A【解析】点数之和大于9的情况有4,6,5,5,6,4，共3种，总情况数为36，概率为3/36=1/12注意选项有误，正确应为1/

124.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_4=10，则a_7的值为（）（2分）A.14B.16C.18D.20【答案】C【解析】a_4=a_1+3d⇔10=2+3d⇔d=8/3⇔a_7=2+6×8/3=

185.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆心C的坐标为（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】圆方程配方得x-2^2+y+3^2=16，圆心为2,-

36.已知fx是定义在R上的奇函数，且f1=1，fx+2=-fx，则f5的值为（）（2分）A.1B.-1C.2D.-2【答案】B【解析】f5=f3+2=-f3=-f1+2=f1=

17.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角B的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】由勾股定理a^2+b^2=c^2⇔3^2+4^2=5^2⇔△ABC为直角三角形，∠B=90°

8.已知函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.eB.e^2C.1/eD.1/e^2【答案】A【解析】fx=e^x-a⇔f1=e-a=0⇔a=e

9.已知椭圆C的方程为x^2/9+y^2/4=1，则其焦点到准线的距离为（）（2分）A.2/3B.3/2C.5/3D.5/2【答案】D【解析】c=√9-4=√5，准线x=±9/√5，焦点到准线距离为9/√5--9/√5=18/√5=18√5/5=5√5/

210.已知函数fx=sin2x+φ在x=π/4处取得最大值，则φ的值为（）（2分）A.π/4B.3π/4C.-π/4D.-3π/4【答案】A【解析】2x+φ=2kπ+π/2⇔φ=2kπ-π/2⇔k=0时φ=-π/2=--π/4=π/4

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）（4分）A.若ab，则√a√bB.若fx是偶函数，则fx是奇函数C.若数列{a_n}单调递增，则对任意n，都有a_n+1a_nD.若直线l与平面α垂直，则l与α内任意直线垂直E.若fx在区间I上可导，则fx在区间I上连续【答案】B、C、D、E【解析】A错如a=-1b=-2，√a无意义；B对f-x=fx⇔f-x=-fx；C对单调递增的定义；D对垂直关系传递性；E对可导必连续

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2，则以下说法中正确的是（）（4分）A.fx在x=1处取得极大值B.fx在x=0处取得极小值C.fx的图像与x轴有三个交点D.fx的图像与y轴交于点0,2E.fx的图像关于原点对称【答案】A、C、D【解析】fx=3x^2-6x⇔f1=3-6=-30，f0=0，f0=2，fx=-x^3无对称性

3.已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√3，c=1，则以下说法中正确的是（）（4分）A.cosB=1/2B.sinC=√3/2C.tanA=√3D.△ABC是直角三角形E.△ABC是等腰三角形【答案】A、B、D【解析】由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA⇔4=3+1-2√3cosA⇔cosA=0⇔A=π/2⇔△ABC是直角三角形，B=π/3，C=π/

64.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，则以下说法中正确的是（）（4分）A.fx在x=-2处取得最小值B.fx在x=1处取得最小值C.fx的图像关于x=-2对称D.fx在x=-

1.5处取得最小值E.fx的图像与x轴有三个交点【答案】B、C【解析】fx分段fx={-2x-1|x-2,3|x=-2,2x+1|x-2}，最小值在x=1处取得为3，图像关于x=-2对称

5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=a_n-1+nn≥2，则以下说法中正确的是（）（4分）A.a_n=nn+1/2B.S_n=nn+1n+2/6C.a_n=a_n-1+n-1D.S_n=S_n-1+n^2E.数列{a_n}是等差数列【答案】A、B、D【解析】a_n=a_n-1+n⇔a_n=a_1+2+3+...+n=1+2+...+n=nn+1/2，S_n=S_n-1+a_n=S_n-1+n^2

三、填空题（每题4分，共20分）

1.不等式|2x-1|3的解集为__________（4分）【答案】-∞,-1∪2,+∞【解析】2x-1-3或2x-13⇔x-1或x

22.已知函数fx=2^x+1，则fx的反函数为__________（4分）【答案】log_2x-1【解析】y=2^x+1⇔2^x=y-1⇔x=log_2y-1⇔f^-1x=log_2x-

13.已知椭圆C的方程为x^2/16+y^2/9=1，则其短轴长为__________（4分）【答案】6【解析】短轴长为2b=2×3=

64.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=S_n/n-1n≥2，则a_4的值为__________（4分）【答案】15【解析】a_2=S_1=1，a_3=S_2/1=S_2/2⇔2a_3=S_2⇔2S_1+a_3=S_2⇔21+a_3=1+a_3+2a_3⇔a_3=2，a_4=S_3/2⇔S_3=2a_4⇔21+2+a_4=1+2+2a_4⇔a_4=

155.已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√3，c=1，则cosB的值为__________（4分）【答案】1/2【解析】由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosB⇔4=3+1-2√3cosB⇔cosB=1/2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若fx是奇函数，则fx^2也是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x^2=-fx^2⇔fx^2是奇函数

2.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-1b=-2，但a^2=1b^2=

43.若fx在区间I上连续，则fx在区间I上可导（）（2分）【答案】（×）【解析】连续不一定可导，如fx=|x|在x=0处连续但不可导

4.若直线l与平面α垂直，则l与α内任意直线垂直（）（2分）【答案】（√）【解析】直线与平面垂直的定义

5.若数列{a_n}单调递增，则对任意n，都有a_n+1a_n（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增的定义

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值点（5分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2⇔x=0或x=2，fx在x=0时由负变正，在x=2时由正变负，∴x=0处取得极大值，x=2处取得极小值

2.已知椭圆C的方程为x^2/16+y^2/9=1，求椭圆上到直线x-y-1=0距离最短的点的坐标（5分）【答案】设椭圆上点Px,y，则d=|x-y-1|/√2，令Fx,y=x-y-1，求Fx,y在x^2/16+y^2/9=1上的最小值，用拉格朗日乘数法，令Lx,y,λ=x-y-1+λx^2/16+y^2/9-1，求偏导并令为0，解得x=4/5，y=9/5，d=√2/2，点为4/5,9/

53.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=S_n/n-1n≥2，求a_n的通项公式（5分）【答案】a_n=S_n/n-1⇔S_n=na_n⇔S_n-S_n-1=na_n-n-1a_n-1⇔a_n=na_n-n-1a_n-1⇔a_n=a_n-1+n-1，a_n=a_n-1+n-1⇔a_n=a_n-2+n-1+n-2⇔...⇔a_n=a_1+2+3+...+n-1=1+2+...+n=nn+1/2

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值，并说明此时x的取值范围（12分）【答案】fx分段fx={-2x-1|x-2,3|x=-2,2x+1|x-2}，最小值为3，此时x=-2详细分析见上文第二题第4小题

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=S_n/n-1n≥2，求证数列{a_n}是单调递增的（12分）【答案】a_n=S_n/n-1⇔S_n=na_n⇔S_n-S_n-1=na_n-n-1a_n-1⇔a_n=na_n-n-1a_n-1⇔a_n=a_n-1+n-1，要证a_na_n-1⇔a_n-a_n-10⇔n-10⇔n1，当n≥2时，a_na_n-1，∴数列{a_n}单调递增

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值点，并画出fx的大致图像（25分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2⇔x=0或x=2，fx在x=0时由负变正，在x=2时由正变负，∴x=0处取得极大值，x=2处取得极小值，极大值f0=2，极小值f2=-2图像大致形状在-∞,0上升，在0,2下降，在2,+∞上升，过点0,2，2,-

22.已知椭圆C的方程为x^2/16+y^2/9=1，求椭圆上到直线x-y-1=0距离最短的点的坐标，并求此时距离的值（25分）【答案】设椭圆上点Px,y，则d=|x-y-1|/√2，令Fx,y=x-y-1，求Fx,y在x^2/16+y^2/9=1上的最小值，用拉格朗日乘数法，令Lx,y,λ=x-y-1+λx^2/16+y^2/9-1，求偏导并令为0，解得x=4/5，y=9/5，d=√2/2，点为4/5,9/5，距离为√2/2标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.A

4.C

5.C

6.B

7.D

8.A

9.D

10.A

二、多选题

1.B、C、D、E

2.A、C、D

3.A、B、D

4.B、C

5.A、B、D

三、填空题

1.-∞,-1∪2,+∞

2.log_2x-

13.

64.

155.1/2

四、判断题

1.√

2.×

3.×

4.√

5.√

五、简答题

1.极大值点x=0，极小值点x=

22.点4/5,9/5，距离√2/

23.a_n=nn+1/2

六、分析题

1.最小值3，x=-

22.见解析

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析。