高中复数提升测试题及答案剖析

高中复数提升测试题及答案剖析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列关于复数\z=a+bi\的说法中，正确的是（）（2分）A.若\z_1=a+bi\，\z_2=c+di\，则\|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|\B.若\z\为纯虚数，则\z\cdot\bar{z}\为负实数C.复数\z\的模\|z|\总是非负实数D.若\z_1=a+bi\，\z_2=c+di\，则\|z_1\cdotz_2|=|z_1|\cdot|z_2|\【答案】C【解析】A.若\z_1=1+i\，\z_2=1-i\，则\|z_1+z_2|=|2|=2\，而\|z_1|+|z_2|=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\，所以A错误B.若\z=bi\为纯虚数，则\z\cdot\bar{z}=bi-bi=-b^2\为负实数，但若\b=0\，则\z=0\，\z\cdot\bar{z}=0\，所以B错误C.复数\z\的模\|z|=\sqrt{a^2+b^2}\总是非负实数，正确D.若\z_1=1+i\，\z_2=1-i\，则\|z_1\cdotz_2|=|2|=2\，而\|z_1|\cdot|z_2|=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\，所以D错误

2.已知复数\z\满足\z^2=1\，则\z\等于（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】B【解析】若\z=1\，则\z^2=1\，符合条件若\z=-1\，则\z^2=1\，符合条件若\z=i\，则\z^2=-1\，不符合条件若\z=-i\，则\z^2=-1\，不符合条件所以\z\可能是1或-1，但通常情况下题目会问“则\z\等于”，一般选择-

13.复数\z=\frac{1}{1-i}\的模等于（）（2分）A.1B.\\sqrt{2}\C.\\frac{1}{\sqrt{2}}\D.2【答案】B【解析】\z=\frac{1}{1-i}=\frac{1\cdot1+i}{1-i\cdot1+i}=\frac{1+i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\\|z|=\sqrt{\left\frac{1}{2}\right^2+\left\frac{1}{2}\right^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\

4.若\z=2+3i\，则\\bar{z}\cdotz\等于（）（2分）A.13B.9C.6iD.-6i【答案】A【解析】\\bar{z}=2-3i\\\bar{z}\cdotz=2-3i2+3i=4+9=13\

5.下列复数中，属于纯虚数的是（）（2分）A.3B.\2i\C.\1+i\D.\0\【答案】B【解析】纯虚数是指实部为0且虚部不为0的复数，所以只有\2i\是纯虚数

6.若\z=1-i\，则\|z|^2\等于（）（2分）A.2B.1C.0D.-1【答案】A【解析】\|z|=\sqrt{1^2+-1^2}=\sqrt{2}\\|z|^2=\sqrt{2}^2=2\

7.已知复数\z\满足\|z|=2\且\\argz=\frac{\pi}{3}\，则\z\等于（）（2分）A.2B.-2C.\2\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\D.\2\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}\【答案】C【解析】根据复数的极坐标形式，\z=r\cos\theta+i\sin\theta\其中\r=2\，\\theta=\frac{\pi}{3}\所以\z=2\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\

8.若\z_1=1+i\，\z_2=1-i\，则\z_1\cdotz_2\等于（）（2分）A.2B.-2C.1D.-1【答案】A【解析】\z_1\cdotz_2=1+i1-i=1-i^2=1--1=2\

9.复数\z=\frac{1+i}{1-i}\的实部是（）（2分）A.0B.1C.-1D.\\frac{1}{2}\【答案】B【解析】\z=\frac{1+i}{1-i}=\frac{1+i1+i}{1-i1+i}=\frac{1+2i+i^2}{1-i^2}=\frac{1+2i-1}{1+1}=\frac{2i}{2}=i\实部为0，虚部为

110.若\z=3-4i\，则\\arg\bar{z}\等于（）（2分）A.\\frac{\pi}{4}\B.\\frac{3\pi}{4}\C.\\frac{5\pi}{4}\D.\\frac{7\pi}{4}\【答案】D【解析】\\bar{z}=3+4i\\\arg\bar{z}=\arctan\left\frac{4}{3}\right\由于\\bar{z}\在第一象限，所以\\arg\bar{z}=\frac{\pi}{4}\但题目要求的是\\arg\bar{z}\，所以答案为\\frac{7\pi}{4}\

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列关于复数的说法中，正确的有（）（4分）A.若\z\为实数，则\|z|\等于\z\的绝对值B.若\z_1=a+bi\，\z_2=c+di\，则\|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|\C.复数\z\的模\|z|\总是非负实数D.若\z_1=a+bi\，\z_2=c+di\，则\|z_1\cdotz_2|=|z_1|\cdot|z_2|\【答案】A、C、D【解析】A.若\z\为实数，则\z=a\，\|z|=|a|\，正确B.若\z_1=1+i\，\z_2=1-i\，则\|z_1+z_2|=|2|=2\，而\|z_1|+|z_2|=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\，所以B错误C.复数\z\的模\|z|=\sqrt{a^2+b^2}\总是非负实数，正确D.若\z_1=1+i\，\z_2=1-i\，则\|z_1\cdotz_2|=|2|=2\，而\|z_1|\cdot|z_2|=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\，正确

2.下列复数中，属于纯虚数的有（）（4分）A.\3i\B.\2-4i\C.\0\D.\-5i\【答案】A、D【解析】纯虚数是指实部为0且虚部不为0的复数，所以只有\3i\和\-5i\是纯虚数

3.若\z_1=1+i\，\z_2=1-i\，则下列计算正确的有（）（4分）A.\z_1+z_2=2\B.\z_1\cdotz_2=-2\C.\z_1-z_2=2i\D.\\frac{z_1}{z_2}=i\【答案】A、C、D【解析】A.\z_1+z_2=1+i+1-i=2\，正确B.\z_1\cdotz_2=1+i1-i=1-i^2=1--1=2\，错误C.\z_1-z_2=1+i-1-i=2i\，正确D.\\frac{z_1}{z_2}=\frac{1+i}{1-i}=\frac{1+i1+i}{1-i1+i}=\frac{1+2i+i^2}{1-i^2}=\frac{1+2i-1}{1+1}=\frac{2i}{2}=i\，正确

4.复数\z\满足\|z|=2\且\\argz=\frac{\pi}{3}\，则下列计算正确的有（）（4分）A.\z=2\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\B.\z\cdot\bar{z}=4\C.\z+\bar{z}=2\cos\frac{\pi}{3}\D.\\arg\bar{z}=\frac{2\pi}{3}\【答案】A、B、C【解析】A.\z=2\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\，正确B.\z\cdot\bar{z}=|z|^2=2^2=4\，正确C.\z+\bar{z}=2\cos\frac{\pi}{3}\，正确D.\\arg\bar{z}=\frac{2\pi}{3}\，错误，应为\\frac{5\pi}{3}\

5.下列关于复数的说法中，正确的有（）（4分）A.若\z\为纯虚数，则\z\cdot\bar{z}\为负实数B.复数\z\的模\|z|\总是非负实数C.若\z_1=a+bi\，\z_2=c+di\，则\|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|\D.若\z_1=a+bi\，\z_2=c+di\，则\|z_1\cdotz_2|=|z_1|\cdot|z_2|\【答案】B、D【解析】A.若\z=bi\为纯虚数，则\z\cdot\bar{z}=bi-bi=-b^2\为负实数，但若\b=0\，则\z=0\，\z\cdot\bar{z}=0\，所以A错误B.复数\z\的模\|z|=\sqrt{a^2+b^2}\总是非负实数，正确C.若\z_1=1+i\，\z_2=1-i\，则\|z_1+z_2|=|2|=2\，而\|z_1|+|z_2|=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\，所以C错误D.若\z_1=1+i\，\z_2=1-i\，则\|z_1\cdotz_2|=|2|=2\，而\|z_1|\cdot|z_2|=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\，正确

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若复数\z=3-4i\，则\\bar{z}\等于__________（4分）【答案】3+4i

2.复数\z=\frac{1}{1-i}\的模等于__________（4分）【答案】\\sqrt{2}\

3.若\z_1=2+3i\，\z_2=2-3i\，则\z_1\cdotz_2\等于__________（4分）【答案】

134.复数\z=1-i\，则\|z|^2\等于__________（4分）【答案】

25.若\z=-2i\，则\\argz\等于__________（4分）【答案】\-\frac{\pi}{2}\

6.复数\z=4\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\，则\z\的实部是__________（4分）【答案】2\\sqrt{2}\

7.若\z=1+i\，则\\bar{z}\cdotz\等于__________（4分）【答案】

28.复数\z=\frac{1+i}{1-i}\的虚部是__________（4分）【答案】1

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.若\z_1=a+bi\，\z_2=c+di\，则\|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|\（）（2分）【答案】（×）【解析】如\z_1=1+i\，\z_2=1-i\，则\|z_1+z_2|=|2|=2\，而\|z_1|+|z_2|=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\，所以不成立

3.复数\z\的模\|z|\总是非负实数（）（2分）【答案】（√）【解析】复数\z\的模\|z|=\sqrt{a^2+b^2}\总是非负实数

4.若\z\为纯虚数，则\z\cdot\bar{z}\为负实数（）（2分）【答案】（×）【解析】如\z=2i\，则\z\cdot\bar{z}=2i-2i=4\为正实数

5.复数\z=1-i\，则\|z|^2=2\（）（2分）【答案】（√）【解析】\|z|=\sqrt{1^2+-1^2}=\sqrt{2}\，\|z|^2=\sqrt{2}^2=2\

6.若\z_1=1+i\，\z_2=1-i\，则\z_1\cdotz_2=2\（）（2分）【答案】（×）【解析】\z_1\cdotz_2=1+i1-i=1-i^2=1--1=2\，正确

7.复数\z=4\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\，则\z\的模是4（）（2分）【答案】（√）【解析】复数\z\的模是

48.若\z=1+i\，则\\bar{z}\cdotz=2\（）（2分）【答案】（√）【解析】\\bar{z}=1-i\，\\bar{z}\cdotz=1-i1+i=1-i^2=1--1=2\

9.复数\z=\frac{1+i}{1-i}\的实部是1（）（2分）【答案】（√）【解析】\z=\frac{1+i}{1-i}=\frac{1+i1+i}{1-i1+i}=\frac{1+2i+i^2}{1-i^2}=\frac{1+2i-1}{1+1}=\frac{2i}{2}=i\，实部为0，虚部为

110.复数\z=3-4i\，则\\arg\bar{z}=\frac{7\pi}{4}\（）（2分）【答案】（√）【解析】\\bar{z}=3+4i\，\\arg\bar{z}=\arctan\left\frac{4}{3}\right=\frac{7\pi}{4}\

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述复数的模的定义及其性质（4分）【答案】复数\z=a+bi\的模\|z|\定义为\\sqrt{a^2+b^2}\性质

1.\|z|\geq0\，且\|z|=0\当且仅当\z=0\

2.\|z_1\cdotz_2|=|z_1|\cdot|z_2|\

3.\|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|\（三角不等式）

2.解释什么是复数的辐角，并说明其取值范围（4分）【答案】复数\z=a+bi\的辐角\\theta\是指从正实轴到复数\z\在复平面上的对应向量的角，记作\\argz\取值范围\\argz\的主值范围是\-\pi,\pi]\

3.说明复数\z\的共轭复数的定义及其性质（4分）【答案】复数\z=a+bi\的共轭复数记作\\bar{z}\，定义为\\bar{z}=a-bi\性质

1.\\bar{z_1}+\bar{z_2}=\bar{z_1+z_2}\

2.\\bar{z_1}\cdot\bar{z_2}=\bar{z_1\cdotz_2}\

3.\|\bar{z}|=|z|\

4.\\bar{\bar{z}}=z\

4.解释复数的极坐标形式及其与代数形式的关系（4分）【答案】复数的极坐标形式为\z=r\cos\theta+i\sin\theta\，其中\r=|z|\是复数\z\的模，\\theta=\argz\是复数\z\的辐角与代数形式的关系若\z=a+bi\，则\r=\sqrt{a^2+b^2}\，\\theta=\arctan\left\frac{b}{a}\right\

5.说明复数乘法的几何意义（4分）【答案】复数乘法的几何意义是若\z_1=r_1\cos\theta_1+i\sin\theta_1\，\z_2=r_2\cos\theta_2+i\sin\theta_2\，则\z_1\cdotz_2=r_1r_2\cos\theta_1+\theta_2+i\sin\theta_1+\theta_2\这意味着复数乘法将一个复数的模乘以另一个复数的模，辐角相加

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析复数\z_1=1+i\和\z_2=1-i\的乘积\z_1\cdotz_2\的几何意义（10分）【答案】复数\z_1=1+i\和\z_2=1-i\在复平面上分别对应点\1,1\和\1,-1\\z_1\cdotz_2=1+i1-i=1-i^2=1--1=2\几何意义两个复数的乘积是一个实数，且等于这两个复数的模的乘积具体来说，\|z_1|=\sqrt{2}\，\|z_2|=\sqrt{2}\，所以\|z_1\cdotz_2|=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\此外，\z_1\和\z_2\是关于实轴对称的，它们的乘积是一个正实数，表示这两个复数在复平面上的对应向量相互垂直

2.分析复数\z=2\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\的模和辐角，并解释其几何意义（10分）【答案】复数\z=2\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\的模\r=2\，辐角\\theta=\frac{\pi}{3}\几何意义这个复数在复平面上对应一个向量，其长度为2，辐角为\\frac{\pi}{3}\具体来说，这个向量从正实轴开始，逆时针旋转\\frac{\pi}{3}\弧度，长度为2在复平面上，这个向量对应的点为\1,\sqrt{3}\，即\r\cos\theta,r\sin\theta=2\cos\frac{\pi}{3},2\sin\frac{\pi}{3}=1,\sqrt{3}\

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知复数\z_1=3+4i\，\z_2=1-2i\，求\z_1\cdotz_2\和\\frac{z_1}{z_2}\，并解释其几何意义（25分）【答案】\z_1\cdotz_2=3+4i1-2i=3-6i+4i-8i^2=3-2i+8=11-2i\\\frac{z_1}{z_2}=\frac{3+4i}{1-2i}=\frac{3+4i1+2i}{1-2i1+2i}=\frac{3+6i+4i+8i^2}{1-4i^2}=\frac{3+10i-8}{1+4}=\frac{-5+10i}{5}=-1+2i\几何意义

1.\z_1\cdotz_2\的模\|z_1\cdotz_2|=|z_1|\cdot|z_2|=\sqrt{3^2+4^2}\cdot\sqrt{1^2+-2^2}=5\cdot\sqrt{5}=5\sqrt{5}\，辐角\\argz_1\cdotz_2=\argz_1+\argz_2\

2.\\frac{z_1}{z_2}\的模\\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\，辐角\\arg\left\frac{z_1}{z_2}\right=\argz_1-\argz_2\

2.已知复数\z=4\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\，求\z\的平方\z^2\，并解释其几何意义（25分）【答案】\z=4\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\\z^2=[4\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}]^2=4^2\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}^2=16\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=16i\几何意义

1.\z\的模\|z|=4\，辐角\\argz=\frac{\pi}{4}\

2.\z^2\的模\|z^2|=|z|^2=16\，辐角\\argz^2=2\argz=\frac{\pi}{2}\

3.在复平面上，\z\对应的向量长度为4，辐角为\\frac{\pi}{4}\，旋转90度后的向量长度为16，辐角为\\frac{\pi}{2}\---标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.B

4.A

5.B

6.A

7.C

8.A

9.B

10.D

二、多选题

1.A、C、D

2.A、D

3.A、C、D

4.A、B、C

5.B、D

三、填空题

1.3+4i

2.\\sqrt{2}\

3.

134.

25.\-\frac{\pi}{2}\

6.2\\sqrt{2}\

7.

28.1

四、判断题

1.×

2.×

3.√

4.×

5.√

6.×

7.√

8.√

9.√

10.√

五、简答题

1.复数\z=a+bi\的模\|z|\定义为\\sqrt{a^2+b^2}\性质-\|z|\geq0\，且\|z|=0\当且仅当\z=0\-\|z_1\cdotz_2|=|z_1|\cdot|z_2|\-\|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|\（三角不等式）

2.复数\z=a+bi\的辐角\\theta\是指从正实轴到复数\z\在复平面上的对应向量的角，记作\\argz\取值范围\\argz\的主值范围是\-\pi,\pi]\

3.复数\z=a+bi\的共轭复数记作\\bar{z}\，定义为\\bar{z}=a-bi\性质-\\bar{z_1}+\bar{z_2}=\bar{z_1+z_2}\-\\bar{z_1}\cdot\bar{z_2}=\bar{z_1\cdotz_2}\-\|\bar{z}|=|z|\-\\bar{\bar{z}}=z\

4.复数的极坐标形式为\z=r\cos\theta+i\sin\theta\，其中\r=|z|\是复数\z\的模，\\theta=\argz\是复数\z\的辐角与代数形式的关系若\z=a+bi\，则\r=\sqrt{a^2+b^2}\，\\theta=\arctan\left\frac{b}{a}\right\

5.复数乘法的几何意义是若\z_1=r_1\cos\theta_1+i\sin\theta_1\，\z_2=r_2\cos\theta_2+i\sin\theta_2\，则\z_1\cdotz_2=r_1r_2\cos\theta_1+\theta_2+i\sin\theta_1+\theta_2\这意味着复数乘法将一个复数的模乘以另一个复数的模，辐角相加

六、分析题

1.复数\z_1=1+i\和\z_2=1-i\在复平面上分别对应点\1,1\和\1,-1\\z_1\cdotz_2=1+i1-i=1-i^2=1--1=2\几何意义两个复数的乘积是一个实数，且等于这两个复数的模的乘积具体来说，\|z_1|=\sqrt{2}\，\|z_2|=\sqrt{2}\，所以\|z_1\cdotz_2|=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\此外，\z_1\和\z_2\是关于实轴对称的，它们的乘积是一个正实数，表示这两个复数在复平面上的对应向量相互垂直

2.复数\z=2\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\的模\r=2\，辐角\\theta=\frac{\pi}{3}\几何意义这个复数在复平面上对应一个向量，其长度为2，辐角为\\frac{\pi}{3}\具体来说，这个向量从正实轴开始，逆时针旋转\\frac{\pi}{3}\弧度，长度为2在复平面上，这个向量对应的点为\1,\sqrt{3}\，即\r\cos\theta,r\sin\theta=2\cos\frac{\pi}{3},2\sin\frac{\pi}{3}=1,\sqrt{3}\

七、综合应用题

1.复数\z_1=3+4i\，\z_2=1-2i\，求\z_1\cdotz_2\和\\frac{z_1}{z_2}\，并解释其几何意义\z_1\cdotz_2=3+4i1-2i=3-6i+4i-8i^2=3-2i+8=11-2i\\\frac{z_1}{z_2}=\frac{3+4i}{1-2i}=\frac{3+4i1+2i}{1-2i1+2i}=\frac{3+6i+4i+8i^2}{1-4i^2}=\frac{3+10i-8}{1+4}=\frac{-5+10i}{5}=-1+2i\几何意义

1.\z_1\cdotz_2\的模\|z_1\cdotz_2|=|z_1|\cdot|z_2|=\sqrt{3^2+4^2}\cdot\sqrt{1^2+-2^2}=5\cdot\sqrt{5}=5\sqrt{5}\，辐角\\argz_1\cdotz_2=\argz_1+\argz_2\

2.\\frac{z_1}{z_2}\的模\\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\，辐角\\arg\left\frac{z_1}{z_2}\right=\argz_1-\argz_2\

2.复数\z=4\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\，求\z\的平方\z^2\，并解释其几何意义\z=4\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\\z^2=[4\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}]^2=4^2\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}^2=16\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=16i\几何意义

1.\z\的模\|z|=4\，辐角\\argz=\frac{\pi}{4}\

2.\z^2\的模\|z^2|=|z|^2=16\，辐角\\argz^2=2\argz=\frac{\pi}{2}\

3.在复平面上，\z\对应的向量长度为4，辐角为\\frac{\pi}{4}\，旋转90度后的向量长度为16，辐角为\\frac{\pi}{2}\。