高中复数期末测试题及答案大全

高中复数期末测试题及答案大全

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列复数中，纯虚数是（）（2分）A.2+3iB.4iC.5D.1-2i【答案】B【解析】纯虚数的实部为0，虚部不为0，故选B

2.复数z满足z²=4i，则z等于（）（2分）A.2iB.-2iC.2D.-2【答案】A【解析】设z=a+bi，则a+bi²=4i，展开得a²-b²+2abi=4i，比较实部和虚部得a²-b²=0，2ab=4，解得a=b=±2i，故z=2i

3.若复数z=1+i÷i，则|z|等于（）（2分）A.1B.√2C.2D.√5【答案】B【解析】z=1+i÷i=1-i，|z|=√1²+-1²=√

24.复数z=3+4i的共轭复数是（）（2分）A.3-4iB.-3+4iC.3+4iD.-3-4i【答案】A【解析】复数z=a+bi的共轭复数是a-bi，故选A

5.下列等式中，正确的是（）（2分）A.i²=1B.i³=-1C.i⁴=1D.i⁵=-i【答案】C【解析】i的幂次方周期为4，i⁴=i²²=1²=1，故选C

6.若复数z=1+i，则z³等于（）（2分）A.-2B.2C.-2iD.2i【答案】D【解析】z³=1+i³=1+3i+3i²+i³=1+3i-3-i=2i

7.复数z=a+bi（a,b∈R）在复平面上对应的点位于第三象限，则（）（2分）A.a0,b0B.a0,b0C.a0,b0D.a0,b0【答案】B【解析】第三象限的点横纵坐标均为负，故选B

8.若2+i÷1-i=a+bi（a,b∈R），则a+b等于（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】2+i÷1-i=2+i1+i÷1-i1+i=3+3i÷2，a=3/2,b=3/2，a+b=

39.复数z=1-i的模长是（）（2分）A.1B.√2C.√3D.2【答案】B【解析】|1-i|=√1²+-1²=√

210.若复数z满足|z|=2且argz=π/3，则z等于（）（2分）A.2B.-2C.2√3+2iD.-2√3-2i【答案】C【解析】z=|z|cosπ/3+i|z|sinπ/3=2×1/2+i×2×√3/2=1+√3i，故z=2√3+2i

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.任何复数的平方都是实数B.两个纯虚数的和一定是纯虚数C.若z为纯虚数，则z的模为0D.i⁴ⁿ=1（n∈Z）【答案】A、D【解析】A正确，a+bi²=a²-b²+2abi，当b=0时为实数；B错误，如i+-i=0；C错误，纯虚数的模不为0；D正确，i⁴=1，故i⁴ⁿ=

12.关于复数z=a+bi（a,b∈R），下列说法正确的有（）（4分）A.若z为实数，则b=0B.若z为纯虚数，则a=0且b≠0C.若|z|=1，则z的共轭复数的模也为1D.若z₁+z₂为实数，则z₁和z₂互为共轭复数【答案】A、B、C【解析】A正确，实数的虚部为0；B正确，纯虚数的实部为0；C正确，|z|=|z|；D错误，如z₁=1+i，z₂=1-i，z₁+z₂=2为实数，但z₁和z₂不互为共轭

3.下列复数运算中，正确的有（）（4分）A.1+i²=2iB.ii-1=1-iC.1-i÷1+i=iD.2i÷1+i=1-i【答案】C、D【解析】A错误，1+i²=1+2i+i²=2i；B错误，ii-1=i²-i=-1-i；C正确，1-i÷1+i=1-i²÷1+i²=-i；D正确，2i÷1+i=2i1-i÷1+i1-i=2i-2i²÷2=1-i

4.复数z在复平面上对应的点位于第二象限，下列说法正确的有（）（4分）A.z的实部为负，虚部为正B.z的共轭复数位于第一象限C.z的模为正数D.z的平方一定为负数【答案】A、B、C【解析】第二象限的点实部为负，虚部为正，故A正确；z的共轭复数实部不变，虚部变号，位于第一象限，故B正确；任何复数的模为正数，故C正确；z的平方的实部为负，虚部可能为0，故D错误

5.关于复数z=a+bi（a,b∈R），下列说法正确的有（）（4分）A.若z为实数，则z的共轭复数等于zB.若z为纯虚数，则z的共轭复数等于-zC.若|z|=1，则z²一定是实数D.若z₁和z₂互为共轭复数，则z₁+z₂为实数【答案】A、B、D【解析】A正确，实数的共轭等于自身；B正确，纯虚数的共轭等于其相反数；C错误，如z=1+i，|z|=√2，z²=2i；D正确，z₁=a+bi，z₂=a-bi，z₁+z₂=2a为实数

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若复数z满足z²-2z+5=0，则z的实部为______（4分）【答案】1【解析】z=2±√4-20/2=1±i√4=1±2i，实部为

12.若复数z=1+i，则z⁵的虚部为______（4分）【答案】4√3【解析】z⁵=1+i⁵=11+2√3i，虚部为2√

33.若复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=5且argz=π/2，则z等于______（4分）【答案】5i【解析】z=5cosπ/2+i5sinπ/2=0+5i=5i

4.若复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，则z₁·z₂的模为______（4分）【答案】13【解析】z₁·z₂=2+3i1-2i=8-i，|z₁·z₂|=√8²+-1²=√

655.若复数z满足z²=9i，则z的模为______（4分）【答案】3【解析】设z=a+bi，则a+bi²=9i，展开得a²-b²+2abi=9i，比较虚部得2ab=9，|z|=√a²+b²=3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.任何复数的平方都是实数（）（2分）【答案】（×）【解析】如1+i²=2i，不是实数

2.若复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=1，则z的共轭复数的模也为1（）（2分）【答案】（√）【解析】|z|=|z|，故成立

3.若复数z₁和z₂互为共轭复数，则z₁+z₂为实数（）（2分）【答案】（√）【解析】z₁=a+bi，z₂=a-bi，z₁+z₂=2a为实数

4.若复数z=a+bi（a,b∈R）满足z²为实数，则z一定是实数（）（2分）【答案】（×）【解析】如z=1+i，z²=2i，不是实数

5.若复数z满足|z|=2且argz=π/3，则z=2√3+2i（）（2分）【答案】（×）【解析】z=2cosπ/3+i2sinπ/3=1+√3i，不是2√3+2i

五、简答题（每题5分，共20分）

1.求复数z=1+i的平方根（5分）【答案】设z的平方根为a+bi，则a+bi²=1+i，展开得a²-b²+2abi=1+i，比较实部和虚部得a²-b²=1，2ab=1，解得a=√2/2,b=√2/2，故平方根为√2/2+√2/2i或-√2/2-√2/2i

2.求复数z=1-2i的模长和辐角主值（5分）【答案】|z|=√1²+-2²=√5，设辐角主值为θ，则cosθ=1/√5，sinθ=-2/√5，θ=arctan-2/1，故辐角主值为2arctan-

23.若复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，求z₁/z₂的值（5分）【答案】z₁/z₂=3+4i/1-2i=3+4i1+2i/1-2i1+2i=-5+10i/5=-1+2i

4.若复数z满足|z-1|=2且argz=π/4，求z的值（5分）【答案】设z=a+bi，则|a+bi-1|=2且arga+bi=π/4，即√a-1²+b²=2且a/b=1，解得a=1+√2,b=1+√2，故z=1+√2+√2i

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设复数z₁=1+i，z₂=1-i，求复数z=z₁+z₂和z=z₁+z₂的模长，并比较z和z的关系（10分）【答案】z=z₁+z₂=1+i+1-i=2，z=z₁+z₂=1-i+1+i=2，|z|=|z|=2，z和z相等

2.设复数z=a+bi（a,b∈R），若z²=4i，求z的模长和辐角主值（10分）【答案】z²=4i，设z=a+bi，则a+bi²=4i，展开得a²-b²+2abi=4i，比较虚部得2ab=4，即ab=2，比较实部得a²-b²=0，即a=b，解得a=b=±√2，故z=√2+√2i或-√2-√2i，|z|=√√2²+√2²=√4=2，设辐角主值为θ，则cosθ=√2/2，sinθ=√2/2，θ=π/4或θ=3π/4

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，求复数z=z₁z₂的平方根（25分）【答案】z=z₁z₂=2+3i1-2i=8-i，设z的平方根为a+bi，则a+bi²=8-i，展开得a²-b²+2abi=8-i，比较实部和虚部得a²-b²=8，2ab=-1，解得a=√17/2,b=-√17/4，故平方根为√17/2-√17/4i或-√17/2+√17/4i

2.设复数z=a+bi（a,b∈R），若z²-2+iz+5=0，求z的模长和辐角主值（25分）【答案】z²-2+iz+5=0，设z=a+bi，则a+bi²-2+ia+bi+5=0，展开得a²-b²+2abi-2a-bi+2bi-abi+bi²+5=0，整理得a²-b²-2a+5+2ab-b-2i=0，比较实部和虚部得a²-b²-2a+5=0，2ab-b-2=0，解得a=2,b=1，故z=2+i，|z|=√2²+1²=√5，设辐角主值为θ，则cosθ=2/√5，sinθ=1/√5，θ=arctan1/2，故辐角主值为arctan1/2。