高中复数水平测试题和答案分享

高中复数水平测试题和答案分享

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列哪个是纯虚数？（）A.2+3iB.4iC.3D.-5i【答案】B【解析】纯虚数是指实部为0且虚部不为0的复数，只有B选项符合条件

2.复数z满足z²=4i，则z等于（）A.2iB.-2iC.2D.-2【答案】A【解析】设z=a+bi，则a+bi²=4i，展开得a²-b²+2abi=4i，比较实部和虚部得a²-b²=0且2ab=4，解得a=b=1或a=b=-1，故z=2i或-2i，但只有2i符合原式

3.若复数z=1+i÷i，则|z|等于（）A.1B.√2C.2D.√5【答案】A【解析】z=1+i÷i=1+ii=1-i，|z|=√1²+-1²=√

24.复数z=1+i的三角形式是（）A.√2cosπ/4+isinπ/4B.√2cosπ/4-isinπ/4C.√2cos5π/4+isin5π/4D.√2cos5π/4-isin5π/4【答案】C【解析】|z|=√1²+1²=√2，辐角θ满足tanθ=1，θ=π/4，但由于z在第一象限，θ应为5π/

45.复数z=1-i在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】z=1-i对应的点坐标为1,-1，位于第四象限

6.若z₁=2+3i，z₂=1-2i，则z₁+z₂等于（）A.3+iB.3-iC.1+iD.1-i【答案】A【解析】z₁+z₂=2+3i+1-2i=3+i

7.复数z=3cosθ+3sinθi（θ为实数）的模长是（）A.3B.6C.√6D.9【答案】A【解析】|z|=√3cosθ²+3sinθ²=√9cos²θ+9sin²θ=√9=

38.复数z=m²-3m-4+m+1i在复平面内对应的点位于x轴上，则m等于（）A.-1B.4C.-1或4D.1【答案】C【解析】点位于x轴上意味着虚部为0，即m+1=0，解得m=-

19.若复数z=a+bi（a,b∈R）满足z²=4，则z等于（）A.2B.-2C.2iD.-2i【答案】C【解析】设z=a+bi，则a+bi²=4，展开得a²-b²+2abi=4，比较虚部得2ab=0，由于z²=4为实数，虚部必须为0，故b=0或a=0，但若b=0则z为实数不满足z²=4，故a=0，z=bi=±2i，但只有2i符合原式

10.复数z=1/1+i的值等于（）A.1+iB.1-iC.1/2+1/2iD.1/2-1/2i【答案】D【解析】z=1/1+i=1/1+i×1-i/1-i=1-i/1²--1²=1/2-1/2i

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列关于复数的说法中，正确的是（）A.两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等B.实数集是复数集的子集C.任何复数都有平方根D.复数的模是非负实数【答案】A、B、D【解析】A选项正确，因为z₁=a+bi=z₂=c+di当且仅当a=c且b=d；B选项正确，因为实数可以看作虚部为0的复数；C选项错误，因为负数没有实数平方根；D选项正确，因为复数的模|z|=√a²+b²总是非负实数

2.复数z=m+mi（m∈R）的模长等于（）A.mB.√2mC.2mD.|m|【答案】B【解析】|z|=√m²+m²=√2m²=√2|m|，当m=0时为0，否则为√2m

3.下列复数中，纯虚数有（）A.3iB.-2iC.5D.4+3i【答案】A、B【解析】纯虚数是实部为0且虚部不为0的复数，只有A和B选项符合条件

4.复数z=a+bi（a,b∈R）的三角形式是（）A.rcosθ+isinθB.rcosθ-isinθC.rcosθ+isinθD.rcosθ-isinθ【答案】A、C【解析】复数的三角形式为rcosθ+isinθ，其中r为模长，θ为辐角，可以表示为rcosθ+isinθ或rcosθ-isinθ，但通常用前者

5.复数z₁=1+i，z₂=1-i，则下列运算结果正确的是（）A.z₁+z₂=2B.z₁-z₂=2iC.z₁z₂=2D.z₁/z₂=1【答案】A、B【解析】z₁+z₂=1+i+1-i=2；z₁-z₂=1+i-1-i=2i；z₁z₂=1+i1-i=1²--1²=2；z₁/z₂=1+i/1-i=1+i×1+i/1-i×1+i=1+2i+i²/1-i²=1+2i-1/2=2i/2=i

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若复数z=2+3i，则z的共轭复数是______【答案】2-3i【解析】共轭复数是将原复数的虚部取相反数，即2-3i

2.复数z=1-i的模长是______【答案】√2【解析】|z|=√1²+-1²=√

23.若复数z=a+bi（a,b∈R）满足z²=9，则a²+b²等于______【答案】9【解析】z²=a²+b²+2abi=9，比较实部得a²+b²=

94.复数z=1/1+i的值等于______【答案】1/2-1/2i【解析】z=1/1+i=1/1+i×1-i/1-i=1-i/1²--1²=1/2-1/2i

5.复数z=3cos60°+isin60°的代数形式是______【答案】3/2+3√3/2i【解析】cos60°=1/2，sin60°=√3/2，故z=31/2+√3/2i=3/2+3√3/2i

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等（）【答案】（√）【解析】正确，因为z₁=a+bi=z₂=c+di当且仅当a=c且b=d

2.任何复数都有平方根（）【答案】（×）【解析】错误，因为负数没有实数平方根

3.复数的模是非负实数（）【答案】（√）【解析】正确，因为复数的模|z|=√a²+b²总是非负实数

4.若复数z=2+3i，则z的共轭复数是2-3i（）【答案】（√）【解析】正确，共轭复数是将原复数的虚部取相反数，即2-3i

5.复数z=1+i的模长是√2（）【答案】（√）【解析】正确，|z|=√1²+1²=√2

五、简答题（每题4分，共12分）

1.什么是复数？复数包括哪些部分？【答案】复数是形如a+bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1复数包括实部和虚部两部分【解析】复数由实部和虚部组成，实部是a，虚部是bi

2.复数的模有什么意义？如何计算复数的模？【答案】复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离计算复数z=a+bi的模长为|z|=√a²+b²【解析】模长是几何意义上的距离，通过勾股定理计算

3.什么是共轭复数？共轭复数有什么性质？【答案】共轭复数是将原复数的虚部取相反数的复数共轭复数的性质包括

①共轭复数的和、差、积、商仍然是复数；

②共轭复数的模相等；

③z是实数当且仅当z=z【解析】共轭复数在复数运算中有重要作用，具有许多良好性质

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知复数z₁=3+2i，z₂=1-3i，求z₁+z₂、z₁-z₂、z₁z₂、z₁/z₂的值【答案】z₁+z₂=4-i；z₁-z₂=2+5i；z₁z₂=9-7i-6i²=15-i；z₁/z₂=3+2i/1-3i=3+2i×1+3i/1-3i×1+3i=3+9i+2i+6i²/1-9i²=3+11i-6/1+9=-3+11i/10=-3/10+11/10i【解析】分别进行复数的加、减、乘、除运算

2.已知复数z=m+mi（m∈R）的模长为5，求m的值【答案】|z|=√m²+m²=√2m²=5，解得m²=25/2，m=±√25/2=±5√2/2【解析】利用复数的模长公式求解

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，求复数z=z₁+z₂的模长，并写出z的三角形式【答案】z=z₁+z₂=2+3i+1-2i=3+i，|z|=√3²+1²=√10，cosθ=3/√10，sinθ=1/√10，θ=arctan1/3，z=√10cosθ+isinθ【解析】先求和，再求模长和三角形式

2.已知复数z=a+bi（a,b∈R）满足z²=4i，求a和b的值【答案】z²=a+bi²=a²+b²+2abi=4i，比较实部和虚部得a²+b²=0且2ab=4，解得a=b=±2，但a²+b²=0，故a=b=0不成立，故z=±2i【解析】通过复数方程求解实部和虚部。