高中复数综合测试题及参考答案

高中复数综合测试题及参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列复数中，纯虚数是（）（2分）A.2+3iB.4iC.3-2iD.5【答案】B【解析】纯虚数是指实部为0且虚部不为0的复数，选项B中实部为0，虚部为4，故为纯虚数

2.若复数z满足z²=4i，则z等于（）（2分）A.2iB.-2iC.2或-2D.2i或-2i【答案】D【解析】设z=a+bi，则a+bi²=4i，展开得a²-b²+2abi=4i，比较实部和虚部得a²-b²=0且2ab=4，解得a=b=±1，故z=±2i

3.复数z=1+i³的虚部是（）（2分）A.2B.-2C.4D.-4【答案】A【解析】z=1+i³=1+i1+i1+i=2i1+i=-2+2i，虚部为

24.复数z=1/1-i的模是（）（2分）A.1B.√2C.2D.1/√2【答案】B【解析】z=1/1-i=1+i/2=1/2+1/2i，模为√1/2²+1/2²=√1/4+1/4=√1/2=√

25.在复平面内，复数z=1+i对应的点位于（）（2分）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】复数z=1+i对应的点坐标为1,1，位于第一象限

6.若复数z=a+bi满足|z|=5且argz=π/3，则a等于（）（2分）A.5B.5√3/2C.5/2D.5/2√3【答案】B【解析】|z|=5且argz=π/3，则z=5cosπ/3+isinπ/3=51/2+i√3/2=5/2+5√3/2i，故a=5√3/

27.下列关于复数的说法中，正确的是（）（2分）A.两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等B.所有复数都可以用极坐标形式表示C.复数的模一定是非负实数D.复数不能比较大小【答案】C【解析】复数的模定义为√实部²+虚部²，一定是非负实数

8.若复数z满足|z-1|=1，则z对应的点的轨迹是（）（2分）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线【答案】B【解析】|z-1|=1表示复数z与点1之间的距离为1，对应的点的轨迹是以1为圆心，半径为1的圆

9.复数z=1+i的平方根是（）（2分）A.1+iB.-1-iC.1-iD.-1+i【答案】C、D【解析】设z的平方根为a+bi，则a+bi²=1+i，展开得a²-b²+2abi=1+i，比较实部和虚部得a²-b²=1且2ab=1，解得a=±√1+√2/2，b=±√1-√2/2，故平方根为1-i和-1+i

10.若复数z满足z²+z+1=0，则|z|等于（）（2分）A.1B.√2C.√3D.2【答案】A【解析】由z²+z+1=0得z=-1±√-3/2=-1±i√3/2，模为√-1/2²+√3/2²=√1/4+3/4=√1=1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列关于复数的运算，正确的有（）（4分）A.2+i3-2i=8-4iB.i²=-1C.1+i²=2iD.1/1-i=1+i【答案】A、B、D【解析】A:2+i3-2i=6-4i+3i-2i²=8-i，错误；B:i²=-1，正确；C:1+i²=1+2i+i²=2i，正确；D:1/1-i=1+i/1-i1+i=1+i/2=1/2+1/2i，错误

2.下列复数中，模等于2的有（）（4分）A.2iB.-2C.1+iD.√3-i【答案】A、C【解析】A:|2i|=2，正确；B:|-2|=2，正确；C:|1+i|=√1²+1²=√2≠2，错误；D:|√3-i|=√√3²+-1²=√4=2，正确

3.下列关于复数的说法，正确的有（）（4分）A.复数的平方一定是实数B.所有复数都可以用代数形式表示C.复数的模是对称的，即|z|=|-z|D.两个纯虚数的和一定是纯虚数【答案】C、D【解析】A:复数的平方不一定是实数，如1+i²=2i，错误；B:所有复数都可以用代数形式表示，正确；C:复数的模是对称的，即|z|=|-z|，正确；D:两个纯虚数的和一定是纯虚数，正确

4.在复平面内，下列复数对应的点位于第二象限的有（）（4分）A.2-3iB.-2+3iC.3+2iD.-3-2i【答案】B、D【解析】A:2,-3位于第四象限，错误；B:-2,3位于第二象限，正确；C:3,2位于第一象限，错误；D:-3,-2位于第三象限，错误

5.下列关于复数的运算，正确的有（）（4分）A.i⁴=1B.1+i⁵=1C.1-i⁴=1D.i⁻¹=-i【答案】A、C【解析】A:i⁴=i²²=-1²=1，正确；B:1+i⁵=32i，错误；C:1-i⁴=4，错误；D:i⁻¹=1/i=-i，正确

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若复数z=3+4i，则|z|等于______（4分）【答案】5【解析】|z|=√3²+4²=√25=

52.若复数z满足z²=9，则z等于______（4分）【答案】3或-3【解析】设z=a，则a²=9，解得a=±3，故z=3或-

33.复数z=1/2-i的代数形式是______（4分）【答案】2/5+2/5i【解析】z=1/2-i=2+i/5=2/5+2/5i

4.若复数z=a+bi满足|z|=√5且argz=π/4，则a²+b²等于______（4分）【答案】5【解析】|z|=√5且argz=π/4，则z=√5cosπ/4+isinπ/4=√5√2/2+i√2/2=√10/2+√10/2i，故a²+b²=√10/2²+√10/2²=

55.复数z=1+i的平方根是______和______（4分）【答案】1-i，-1+i【解析】设z的平方根为a+bi，则a+bi²=1+i，展开得a²-b²+2abi=1+i，比较实部和虚部得a²-b²=1且2ab=1，解得a=±√1+√2/2，b=±√1-√2/2，故平方根为1-i和-1+i

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等（）（2分）【答案】（×）【解析】两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等，错误

2.所有复数都可以用极坐标形式表示（）（2分）【答案】（×）【解析】所有复数都可以用极坐标形式表示，正确

3.复数的模一定是非负实数（）（2分）【答案】（√）【解析】复数的模定义为√实部²+虚部²，一定是非负实数，正确

4.复数不能比较大小（）（2分）【答案】（×）【解析】复数不能比较大小，错误

5.两个纯虚数的和一定是纯虚数（）（2分）【答案】（×）【解析】两个纯虚数的和一定是纯虚数，错误

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求复数z=1+i的平方根（5分）【答案】设z的平方根为a+bi，则a+bi²=1+i，展开得a²-b²+2abi=1+i，比较实部和虚部得a²-b²=1且2ab=1，解得a=±√1+√2/2，b=±√1-√2/2，故平方根为1-i和-1+i

2.若复数z满足|z|=3且argz=π/3，求z的代数形式（5分）【答案】z=3cosπ/3+isinπ/3=31/2+i√3/2=3/2+3√3/2i

3.若复数z=1/1-i，求|z|和argz（5分）【答案】z=1/1-i=1+i/2=1/2+1/2i，|z|=√1/2²+1/2²=√1/2=√2/2，argz=arctan1/1=π/4

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析复数z=a+bi在复平面内的几何意义，并解释模和辐角的作用（10分）【答案】复数z=a+bi在复平面内对应点为a,b，其中a为实部，b为虚部模|z|=√a²+b²表示原点到点a,b的距离，辐角argz表示从正实轴到点a,b的向量与正实轴的夹角模描述了复数的大小，辐角描述了复数的方向

2.分析复数的四则运算在复平面内的几何意义，并举例说明（10分）【答案】复数的加法对应向量加法，即两个复数相加对应两个向量相加，结果的模和辐角分别对应和的模和辐角复数的乘法对应向量旋转和伸缩，即模相乘对应模相乘，辐角相加对应辐角相加例如，z₁=2cosπ/3+isinπ/3，z₂=3cosπ/4+isinπ/4，则z₁+z₂=5cosπ/4+isinπ/4，模为5，辐角为π/4

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，求z₁/z₂的代数形式和模（25分）【答案】z₁/z₂=3+4i/1-2i=3+4i1+2i/1-2i1+2i=3+4i1+2i/5=3+6i+4i+8i²/5=-5+10i/5=-1+2i，|z₁/z₂|=|-1+2i|=√-1²+2²=√

52.已知复数z满足|z-1|=2且argz=π/2，求z的代数形式和模（25分）【答案】设z=a+bi，则|a+bi-1|=2且arga+bi=π/2，即|a-1+bi|=2且arctanb/a=π/2，故a=1，b0且√1²+b²=2，解得b=√3，故z=1+√3i，|z|=√1²+√3²=√4=2。