高中理科数学易错试题及正确答案讲解

高中理科数学易错试题及正确答案讲解

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1时取得极值，则（）A.a+b+c=0B.a-b+c=0C.2a+b=0D.a+b=0【答案】C【解析】fx在x=1处取得极值，则f1=0，即2ax+b|_{x=1}=0，得2a+b=

02.在等差数列{a_n}中，若a_1=1，a_3=7，则a_5的值为（）A.13B.15C.17D.19【答案】C【解析】由等差数列性质，a_3=a_1+2d，得7=1+2d，解得d=3，故a_5=a_3+2d=7+6=

133.已知集合A={x|x^2-3x+20}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值范围是（）A.-∞,1∪1,+∞B.-∞,0∪0,1C.-∞,1∪{1}D.-∞,0∪{1}【答案】D【解析】A={x|x2或x1}，若B⊆A，则B非空时a≠0且1/a2或1/a1，解得a∈-∞,0∪{1}

4.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2-c^2=ab，则角C的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC，代入a^2+b^2-c^2=ab得cosC=1/2，故C=90°

5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，两次出现的点数之和大于9的概率为（）A.1/6B.1/12C.5/36D.7/36【答案】A【解析】基本事件共36个，点数之和大于9的基本事件为4,

6、5,

5、5,

6、6,

4、6,

5、6,6，共6个，故概率为6/36=1/

66.函数y=2sinωx+φ的图像关于y轴对称，且最小正周期为π，则（）A.ω=2，φ=kπB.ω=2，φ=kπ+π/2C.ω=1，φ=kπD.ω=1，φ=kπ+π/2【答案】C【解析】由图像关于y轴对称，得ωx+φ=kπ+π/2，又周期为π，则ω=2，φ=kπ

7.已知直线l1:ax+y-1=0与l2:x+by+2=0垂直，则ab的值为（）A.-1B.1C.2D.-2【答案】A【解析】两直线垂直则ab=-1，即ab=-

18.在△ABC中，若向量OP=1,2，向量PA=3,-1，向量PB=-2,1，则点B的坐标为（）A.-1,3B.1,-3C.-3,1D.3,-1【答案】C【解析】由P=1,2，A=4,1，B=x,y，向量PA=向量A-P，向量PB=向量B-P，得B=-3,

19.若复数z满足|z|=1，且z^3+1=0，则z的值为（）A.1B.-1C.iD.-i【答案】D【解析】z^3=-1，|z|=1，则z为-1的立方根，且模为1，故z=-i

10.在平面直角坐标系中，点A1,2，点B3,0，点P在直线AB上，且|AP|=2|PB|，则点P的坐标为（）A.5/3,4/3B.7/3,2/3C.2,1D.4,1【答案】A【解析】设Px,y，由|AP|=2|PB|得x-1^2+y-2^2=4[x-3^2+y^2]，解得x=5/3，y=4/3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）A.函数y=1/x在0,+∞上单调递减B.若ab，则a^2b^2C.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切的条件是k^2=r^2+1D.若sinα=sinβ，则α=βE.等差数列{a_n}中，若a_m=a_n，则m=n【答案】A、C【解析】A正确，B错误如a=2b=1但a^2=4b^2=1；C正确，相切即圆心到直线距离等于半径，得k^2=r^2+1；D错误，sinα=sinβ则α=2kπ+β或α=2kπ+π-β；E错误，若m≠n则可能相邻项相等

2.已知函数fx在区间[0,1]上单调递增，且fx≠0，则下列函数中一定在[0,1]上单调递增的有（）A.y=fx+1B.y=2fxC.y=1/fxD.y=fx^2E.y=√fx【答案】B、E【解析】A单调性不变，但值域变化；B正确，正数乘单调增函数仍单调增；C错误，1/fx在fx≠0时单调性与fx相反；D不一定，如fx=-x在[0,1]上单调增但fx^2=-x^2在[0,1]上单调减；E正确，√x在[0,+∞上单调增，fx≠0时√fx单调增

3.在空间直角坐标系中，下列说法正确的有（）A.过点1,2,3且平行于z轴的直线方程为x=1，y=2B.平面x+y+z=1在xoy平面上的投影为x+y=1C.向量1,2,3与0,-1,2垂直D.点1,2,3到平面2x-y+3z=1的距离为√14/√14=1E.过点1,0,0且垂直于平面x-y+z=0的直线方程为x-1=y=z【答案】A、B、E【解析】A正确，平行于z轴的直线与xoy平面垂直；B正确，平面方程消去z得投影；C错误，1,2,3•0,-1,2=-2+6=4≠0；D错误，距离为|2-2+9|/√4+1+9=√14；E正确，垂直于平面的方向向量为1,-1,1，得方程

4.已知三棱锥ABC-D的体积为V，底面ABC的面积为S，高为h，下列说法正确的有（）A.若将三棱锥D-ABC沿BC边翻折成D-ABC，则VD-ABC=VD-ABCB.若将三棱锥D-ABC沿BC边翻折，则D到平面ABC的距离为hC.若将三棱锥D-ABC沿AD边翻折，则翻折后三棱锥的体积为2VD.若三棱锥D-ABC的体积为V，则三棱锥D-ABC的三条侧棱一定相交于一点E.若将三棱锥D-ABC补成一个三棱柱，则三棱柱的体积为2V【答案】B、D【解析】A错误，翻折后高变化；B正确，翻折不改变底面积和高；C错误，翻折可能高减半；D正确，三棱锥顶点与底面各顶点连线共点；E错误，补成三棱柱体积为3V

5.已知函数fx满足fx+f1-x=1，且f0=1/2，则下列说法正确的有（）A.f1/2=1/2B.f1=1/2C.fx是周期函数D.fx的图像关于直线x=1/2对称E.fx的图像关于点1/2,1/2中心对称【答案】A、B、D、E【解析】令x=1/2，得f1/2+f1/2=1，故f1/2=1/2；令x=1，得f1+f0=1，故f1=1/2；f1-x+fx=1，令t=1-x，得ft+f1-t=1，故fx关于x=1/2对称；由对称性，图像关于1/2,1/2中心对称

三、填空题（每题4分，共16分）

1.不等式|2x-1|3的解集为______【答案】-1,2【解析】2x-1∈-3,3，得x∈-1,

22.已知等比数列{a_n}中，a_1=2，a_4=16，则该数列的通项公式为______【答案】a_n=2^3n-1【解析】a_4=a_1q^3，q=2，故a_n=22^n-1=2^n

3.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边a=√2，则边b的值为______【答案】2【解析】由正弦定理b=asinB/sinA=√2√3/√2=√

34.函数y=cos^2x-sin^2x的值域为______【答案】[-1,1]【解析】y=cos2x，值域为[-1,1]

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2+b^22ab（）【答案】（√）【解析】a-b^20，展开得a^2+b^2-2ab0，即a^2+b^22ab

2.函数y=|x|在R上单调递增（）【答案】（×）【解析】在-∞,0上单调减，在0,+∞上单调增，非单调递增

3.若向量a=1,2，向量b=3,4，则向量a+b与向量b-a互相垂直（）【答案】（×）【解析】a+b•b-a=a•b-a^2=3+8-5=6≠0，故不垂直

4.过点1,2且垂直于直线x-2y+1=0的直线方程为2x+y-4=0（）【答案】（√）【解析】垂直则斜率k=2，方程为2x+y-4=

05.若复数z满足|z|=1，则z^2=1（）【答案】（×）【解析】z=±i时z^2=-1≠1

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值【解】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2当x0时fx0，x0时fx0，故x=0处极大值为f0=2；当x2时fx0，x2时fx0，故x=2处极小值为f2=-2故极大值为2，极小值为-

22.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n-2，求通项公式a_n【解】a_n+1-3a_n=-2，令b_n=a_n-1，得b_n+1=3b_n，故b_n=2^n-1a_n=b_n+1=2^n-1+

13.已知直线l1:x+y-1=0与l2:ax-y+2=0相交于点P，且P到原点的距离为√2，求a的值【解】联立方程得交点P3/2,-1/2，由|OP|=√2得3/2^2+-1/2^2=2，满足条件，故a任意

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=sinx+cosx，求fx在[0,π]上的最大值和最小值【解】fx=√2sinx+π/4，x∈[0,π]时，x+π/4∈[π/4,5π/4]当x+π/4=π/2时，即x=π/4时，fx取得最大值√2；当x+π/4=3π/2时，即x=3π/4时，fx取得最小值-√

22.已知三棱锥ABC-D的底面ABC是边长为a的正三角形，AD⊥平面ABC，且AD=a，求三棱锥ABC-D的体积【解】底面面积S=√3/4a^2，高h=a，故V=1/3√3/4a^2a=√3/12a^3

七、综合应用题（每题20分，共40分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，求fx在[-1,4]上的最大值和最小值【解】fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-1，令fx=0得x=1±√10/3f-1=0，f1-√10/3=1-2√10/3，f1+√10/3=1+2√10/3，f4=33比较得最大值为33，最小值为1-2√10/

32.已知函数fx=2cos^2x-3sinx+1，求fx的最小正周期和最大值【解】fx=21-sin^2x-3sinx+1=-2sin^2x-3sinx+3=-2sinx+3/4^2+21/8最小正周期T=2π/|ω|=2π，最大值为21/8，当sinx=-3/4时取得。