高二数学春季专项试题及答案详解

高二数学春季专项试题及答案详解

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=log₃x²-2x+3的定义域是（）（2分）A.-∞,1∪1,+∞B.[1,3]C.-∞,3]∪[3,+∞D.R【答案】D【解析】x²-2x+30恒成立，故定义域为R

2.已知向量a=1,k，b=3,-2，若a∥b，则k的值是（）（2分）A.-3/2B.3/2C.-2/3D.2/3【答案】A【解析】由向量平行条件，1×-2=3k，解得k=-3/

23.复数z=1+i，则z²的虚部是（）（2分）A.2B.-2C.1D.-1【答案】A【解析】z²=1+i²=1+2i-1=2i，虚部为

24.直线y=kx+1与圆x²+y²=1相切，则k的值是（）（2分）A.√3B.-√3C.±√3D.0【答案】C【解析】圆心0,0到直线的距离等于半径1，|k×0-0+1|/√k²+1=1，解得k=±√

35.若等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，公比为q，则Sₙ/aₙ等于（）（2分）A.qB.1/qC.qⁿD.1【答案】D【解析】当q=1时，Sₙ=naₙ，Sₙ/aₙ=1；当q≠1时，Sₙ/aₙ=

16.函数fx=sin2x+π/3的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】周期T=2π/|ω|=2π/2=π

7.不等式|x-1|2的解集是（）（2分）A.-1,3B.-1,1C.1,3D.-3,1【答案】D【解析】由绝对值不等式性质，-2x-12，解得-1x

38.已知tanα=1/2，则tanα+β的值是（）（2分）A.1/2B.2C.3/4D.4/3【答案】C【解析】设β=π/4，则tanα+β=tanα+tanβ/1-tanαtanβ=1/2+1/1-1/2=3/

49.某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）（2分）A.正方体B.球体C.圆锥D.圆柱【答案】C【解析】由三视图可知为圆锥

10.执行如图所示的程序框图，若输入的n为10，则输出的S的值是（）（2分）A.55B.45C.36D.30【答案】A【解析】S=1+2+3+...+10=55

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若a²=b²，则a=bB.sin²α+cos²α=1C.集合A∩B是集合A的子集D.函数y=logₐxa0,a≠1在其定义域上单调【答案】B、C、D【解析】A错误，如a=1,b=-1；B正确，基本关系式；C正确，子集定义；D正确，对数函数性质

2.已知点A1,2，B3,0，则下列说法正确的有（）（4分）A.线段AB的长度为√5B.线段AB的垂直平分线方程为x+y-3=0C.点2,1在直线AB上D.△OAB的面积为3【答案】A、C、D【解析】|AB|=√3-1²+0-2²=√5；垂直平分线方程为x-y-1=0；2,1满足AB方程；面积=1/2×2×2=

23.已知函数fx=x³-ax+1，则下列说法正确的有（）（4分）A.若fx在x=1处取得极值，则a=3B.fx的图象必过点0,1C.fx必有两个零点D.当a0时，fx在1,+∞上单调递增【答案】A、B、D【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0⇒a=3；f0=1恒成立；极值点a=3时仅一个零点；fx=3xx²-a，若x1且a0，x²-a0⇒fx单调递增

4.执行如图所示的程序框图，输出的S值可能是（）（4分）A.1B.2C.3D.4【答案】A、B、C【解析】i从1到4循环，S依次为1,1+1=2,1+1+1=3,1+1+1+1=4，但循环终止条件为i4，故S最大为

35.已知圆C₁x²+y²=1和圆C₂x-1²+y-1²=r²r0，则下列说法正确的有（）（4分）A.当r=√2时，C₁和C₂外切B.当r=1时，C₁和C₂内切C.当r1时，C₁和C₂总有两个交点D.C₁和C₂的圆心距为√2【答案】A、B、D【解析】圆心距|C₁C₂|=√2；r=√2时，|C₁C₂|=r+1⇒外切；r=1时，|C₁C₂|=r-1⇒内切；r1时，|C₁C₂|r+1且|r-1|⇒相交；圆心距恒为√2

三、填空题（每题4分，共16分）

1.已知函数fx=sinωx+φ的最小正周期为π/2，且f0=1，则ω=______，φ=______（4分）【答案】4；5π/6【解析】T=2π/ω=π/2⇒ω=4；f0=sinφ=1⇒φ=5π/

62.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√7，c=3，则cosB=______（4分）【答案】3/4【解析】余弦定理cosB=a²+c²-b²/2ac=4+9-7/2×2×3=3/

43.已知等差数列{aₙ}的首项为1，公差为2，则其前n项和Sₙ=______（4分）【答案】n²【解析】Sₙ=n/2[2a₁+n-1d]=n/2[2+2n-1]=n²

4.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次出现的点数之和大于9的概率为______（4分）【答案】1/12【解析】基本事件36个，点数和大于9的有4,

6、5,

5、6,4共3种，概率为3/36=1/12

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若fx是奇函数，则fx²也是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x²=-fx²成立，故为奇函数

2.若ab，则a²b²恒成立（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1,b=-2，则ab但a²b²

3.不等式|2x-1|3的解集是-1,2（）（2分）【答案】（×）【解析】解得-1x2，故解集为-1,

24.函数y=|x-1|在[0,2]上的最小值是0（）（2分）【答案】（×）【解析】最小值为|x-1|在x=1处取得，为

05.若复数z=1+i，则|z|²=2（）（2分）【答案】（×）【解析】|z|²=|1+i|²=1²+1²=2，故正确

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x²-2x+3，求fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值4，最小值2【解析】fx=2x-2=0⇒x=1，f-1=6，f1=2，f3=6，故最大值4，最小值

22.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√7，c=3，求cosA（5分）【答案】cosA=1/2【解析】余弦定理cosA=b²+c²-a²/2bc=7+9-4/2×√7×3=1/

23.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，公比为qq≠1，且S₃=4，S₆=14，求q的值（5分）【答案】q=2【解析】S₃=a1-q³/1-q=4，S₆=a1-q⁶/1-q=14，联立解得q=2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2，求fx的单调区间（10分）【答案】增区间-∞,0∪2,+∞，减区间0,2【解析】fx=3x²-6x=3xx-2，令fx=0⇒x=0或2，列表分析x|-∞,0|0|0,2|2|2,+∞fx|+|0|-|0|+fx|递增|极大|递减|极小|递增

2.已知函数fx=log₃x²-2x+3，求fx的定义域和值域（10分）【答案】定义域R，值域[-1,+∞【解析】x²-2x+3=x-1²+20，定义域为R；设t=x²-2x+3，t≥2，则y=log₃t，值域为[-1,+∞

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√7，c=3，求△ABC的面积（25分）【答案】面积√7【解析】cosA=1/2⇒A=π/3，sinA=√3/2，面积S=1/2×b×c×sinA=1/2×√7×3×√3/2=3√7/4≈√

72.已知函数fx=x³-ax+1，若fx在x=1处取得极值，且其图象与直线y=x相切

（1）求a的值；

（2）求fx的单调区间；

（3）若对任意x₁∈0,2，总存在x₂∈0,2，使得fx₁+fx₂=0，求a的取值范围（25分）【答案】

（1）a=3

（2）增区间-∞,1∪3,+∞，减区间1,3

（3）a∈-∞,3]【解析】

（1）fx=3x²-a，f1=3-a=0⇒a=3；切线斜率fx₂=x₂=1⇒x₂=1，f1=1-a+1=0⇒a=3

（2）fx=3x²-3=3x+1x-1，令fx=0⇒x=-1或1，列表分析x|-∞,-1|-1|-1,1|1|1,+∞fx|+|0|-|0|+fx|递增|极大|递减|极小|递增

（3）fx在0,2上为下凸函数，若fx₁+fx₂=0⇒fx₁=-fx₂，则必有fx在0,2上过原点⇒f0=1-a+1=0⇒a=2，但需验证fx=-fx⇒f1=0⇒a=3；f2=8-2a+1=0⇒a=9/22矛盾，故a≤2，取值范围-∞,3]。