高数B下历年试题及详细答案

高数B下历年试题及详细答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（2分）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=e^xD.fx=sinx【答案】A【解析】绝对值函数在x=0处不可导，因为其导数左右极限不相等

2.函数fx=x^3-3x+2的极值点为（）（2分）A.x=1B.x=-1C.x=0D.无极值点【答案】A【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f1=-60，故x=1为极大值点

3.下列无穷级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞-1^n/nD.∑n=1to∞2^n【答案】B【解析】p-级数当p1时收敛，1/n^2为p=2的p-级数

4.微分方程y-4y=0的通解为（）（2分）A.y=C1e^2x+C2e^-2xB.y=C1sin2x+C2cos2xC.y=C1e^x+C2e^-xD.y=C1x+C2【答案】A【解析】特征方程r^2-4=0，解得r=±2，通解为y=C1e^2x+C2e^-2x

5.曲线y=x^2在点1,1处的曲率为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】κ=|y|/1+y^3=|2|/1+2^3=2/9，但此处计算有误，正确答案应为

26.若fx在[a,b]上连续且单调递增，则下列积分一定成立的是（）（2分）A.∫[a,b]fxdx≥0B.∫[a,b]fxdx=fb-faC.∫[a,b]fxdx=fb-faD.∫[a,b]fxdx≤0【答案】C【解析】由牛顿-莱布尼茨公式得∫[a,b]fxdx=fb-fa

7.下列函数中，在区间[-1,1]上满足罗尔定理条件的是（）（2分）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=x^3D.fx=e^x【答案】A【解析】fx=x^2在[-1,1]上连续可导，且f-1=f1=

18.下列极限中，计算正确的是（）（2分）A.limx→0sinx/x=0B.limx→∞x^2/e^x=1C.limx→0e^x-1/x=1D.limx→∞lnx/x=∞【答案】C【解析】由洛必达法则得limx→0e^x-1/x=

19.下列级数中，条件收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/2^nB.∑n=1to∞-1^n/nC.∑n=1to∞1/n^2D.∑n=1to∞1/n【答案】B【解析】交错级数-1^n/n满足条件收敛的莱布尼茨判别法

10.函数y=arcsinx在x=0处的泰勒展开式的前三项为（）（2分）A.x+x^2/2+x^3/3B.x-x^3/6+x^5/120C.x-x^2/2+x^3/3D.x+x^3/6-x^5/120【答案】C【解析】arcsinx的泰勒展开式为x-x^3/6+x^5/

120...，前三项为x-x^2/2+x^3/3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的是（）（4分）A.fx=x^2B.fx=x^3C.fx=|x|D.fx=e^x【答案】A、B、D【解析】|x|在x=0处不可导，其他三个函数在x=0处均可导

2.下列无穷级数中，绝对收敛的是（）（4分）A.∑n=1to∞1/n^2B.∑n=1to∞1/n^3C.∑n=1to∞1/n+1D.∑n=1to∞1/2^n【答案】A、B、D【解析】1/n^2和1/2^n为p-级数和几何级数，绝对收敛；1/n+1为调和级数，发散

3.下列微分方程中，线性微分方程的是（）（4分）A.y+y=sinxB.y-y=x^2C.y+y^2=0D.y+y=e^x【答案】A、B、D【解析】C为非线性微分方程

4.下列积分中，计算正确的是（）（4分）A.∫[0,1]x^2dx=1/3B.∫[0,π]sinxdx=2C.∫[1,2]1/xdx=ln2D.∫[0,1]e^xdx=e【答案】A、B、C【解析】D的积分结果应为e-

15.下列函数中，在区间[-1,1]上满足中值定理条件的是（）（4分）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=x^3D.fx=e^x【答案】A、C、D【解析】|x|在[-1,1]上不满足可导条件，其他三个函数满足

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若fx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且fa=fb，则至少存在一点ξ∈a,b，使得______=0（4分）【答案】fξ【解析】由罗尔定理得fξ=

02.级数∑n=1to∞1/2^n的前n项和为______（4分）【答案】1-1/2^n【解析】为等比数列前n项和公式

3.微分方程y+y=0的通解为______（4分）【答案】Ce^-x【解析】为一阶线性齐次微分方程

4.曲线y=x^3在点1,1处的切线方程为______（4分）【答案】y=3x-2【解析】y=3x^2，x=1时y=3，切线方程为y-1=3x-

15.函数fx=x^2在[0,1]上的拉格朗日中值定理的ξ值为______（4分）【答案】√2/3【解析】fξ=fb-fa/b-a=2ξ，解得ξ=√2/3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若fx在[a,b]上连续，则∫[a,b]fxdx一定存在（）（2分）【答案】（√）【解析】连续函数一定可积

2.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则∑n=1to∞|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】绝对收敛与条件收敛不同

3.若fx在[a,b]上可导，则fx在[a,b]上连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续

4.若fx在[a,b]上满足中值定理条件，则存在唯一的ξ∈a,b使fξ=0（）（2分）【答案】（×）【解析】ξ可能不唯一

5.若级数∑n=1to∞a_n发散，则∑n=1to∞|a_n|也发散（）（2分）【答案】（√）【解析】若绝对值级数收敛，原级数必收敛，故发散则绝对值级数也发散

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求极限limx→0sinx-x/x^3（5分）【答案】-1/6【解析】由洛必达法则三次得-1/

62.求函数fx=x^3-3x^2+2的极值点（5分）【答案】x=1为极大值点，x=2为极小值点【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0,2，f0=60，f2=-

603.求微分方程y-y=e^x的通解（5分）【答案】y=e^x1+Ce^x【解析】使用积分因子法，通解为y=Ce^x+e^x

六、分析题（每题10分，共20分）

1.证明不等式√1+x1+x/2x0（10分）【证明】令fx=√1+x-1+x/2，只需证fx0，fx=1/2√1+x-1/2=1-√1+x/2√1+x，当x0时，√1+x1，故fx0，fx单调递减，且f0=0，故x0时fx0，即√1+x1+x/

22.讨论级数∑n=1to∞-1^n/n^p的收敛性（10分）【分析】当p1时绝对收敛，当0p≤1时条件收敛，当p≤0时发散【证明】当p1时，∑n=1to∞|a_n|=∑n=1to∞1/n^p为p-级数，收敛，故原级数绝对收敛当0p≤1时，满足交错级数莱布尼茨判别法，故原级数条件收敛当p≤0时，1/n^p→0，但不快于调和级数，故原级数发散

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在[0,3]上的最大值和最小值（25分）【解】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0,2，f0=2，f2=-2，f3=2，故最大值为2，最小值为-

22.计算定积分∫[0,1]x^2-x^3dx（25分）【解】∫[0,1]x^2dx-∫[0,1]x^3dx=1/3-1/4=1/12---完整标准答案---

一、单选题

1.A

2.A

3.B

4.A

5.B

6.C

7.A

8.C

9.B

10.C

二、多选题

1.A、B、D

2.A、B、D

3.A、B、D

4.A、B、C

5.A、C、D

三、填空题

1.fξ

2.1-1/2^n

3.Ce^-x

4.y=3x-

25.√2/3

四、判断题

1.√

2.×

3.√

4.×

5.√

五、简答题

1.-1/

62.x=1为极大值点，x=2为极小值点

3.y=e^x1+Ce^x

六、分析题

1.见证明

2.见分析

七、综合应用题

1.最大值为2，最小值为-

22.1/12。