高数B下阶段测试试题与答案

高数B下阶段测试试题与答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.y=3x^2B.y=2√xC.y=|x|D.y=5x【答案】C【解析】绝对值函数在x=0处不可导

2.函数y=lnx+1的导数是（）A.1/x+1B.1/xC.1/x+1^2D.x/x+1【答案】A【解析】对lnx+1求导得到1/x+

13.极限limx→∞3x^2+5x+2/x^2-1的值是（）A.3B.5C.0D.不存在【答案】A【解析】分子分母同除以x^2，得到3+5/x+2/x^2，极限为

34.函数y=2^x在x=1处的切线斜率是（）A.2B.eC.1D.0【答案】A【解析】2^x的导数是2^xln2，在x=1处为2ln2，约等于

25.下列积分计算正确的是（）A.∫x^2dx=x^3+CB.∫sinxdx=cosx+CC.∫1/xdx=lnx+CD.∫cosxdx=sinx+C【答案】C【解析】1/x的积分是ln|x|+C

6.函数y=xe^x的极值点是（）A.x=0B.x=-1C.x=1D.x=-2【答案】B【解析】y=e^x+xe^x，令y=0得x=-

17.曲线y=x^3-3x^2+2在x=2处的曲率是（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】曲率公式k=|y|/（1+y^2）^3/2，y=3x^2-6x，y=6x-6，在x=2处k=

18.下列级数收敛的是（）A.∑n=1→∞1/nB.∑n=1→∞1/n^2C.∑n=1→∞2^nD.∑n=1→∞1/√n【答案】B【解析】1/n^2是p级数，p=21收敛

9.函数y=arctanx在x=0处的泰勒展开式的前三项是（）A.0+x-x^2/3B.x+x^2/2-x^3/3C.x-x^3/3D.x+x^2/3-x^3/3【答案】C【解析】arctanx的泰勒展开式是x-x^3/3+...

10.下列微分方程中，线性微分方程是（）A.y+y^2=0B.y+2xy=3C.y-3y+2y=5xD.y=y^3【答案】B【解析】y+2xy=3是线性微分方程

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的有（）A.y=3x^2B.y=2√xC.y=|x|D.y=5x【答案】A、D【解析】3x^2和5x在x=0处可导

2.以下属于微分方程通解的是（）A.y=Ce^xB.y=x^2+CC.y=2x+CD.y=Csinx【答案】A、B【解析】含任意常数C的解是通解

3.以下级数收敛的有（）A.∑n=1→∞-1^n/nB.∑n=1→∞1/n^2C.∑n=1→∞2^nD.∑n=1→∞1/√n【答案】A、B【解析】交错级数和p级数，p=21收敛

4.以下积分计算正确的有（）A.∫x^2dx=x^3+CB.∫sinxdx=cosx+CC.∫1/xdx=lnx+CD.∫cosxdx=sinx+C【答案】C、D【解析】1/x的积分是ln|x|+C，cosx的积分是sinx+C

5.以下函数在x=0处可导的有（）A.y=3x^2B.y=2√xC.y=|x|D.y=5x【答案】A、D【解析】3x^2和5x在x=0处可导

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数y=√x在x=4处的导数是______【答案】1/4【解析】y=1/2√x，在x=4处为1/

42.极限limx→0sinx/x的值是______【答案】1【解析】sinx/x当x趋近于0时极限为

13.函数y=x^3-3x^2+2的拐点是______【答案】1,0【解析】y=6x-6，令y=0得x=1，y=

04.级数∑n=1→∞1/n^p收敛的条件是______【答案】p1【解析】p级数，p1收敛

5.微分方程y-4y+4y=0的通解是______【答案】Ce^2x【解析】特征方程r^2-4r+4=0，解为r=2，通解为Ce^2x

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数y=lnx+1在x=-1处连续（）【答案】（×）【解析】lnx+1在x=-1处无定义，不连续

2.函数y=2^x在x=0处的导数是1（）【答案】（×）【解析】2^x的导数是2^xln2，在x=0处为2ln

23.级数∑n=1→∞1/n发散（）【答案】（√）【解析】调和级数∑n=1→∞1/n发散

4.函数y=x^2在x=1处的曲率是2（）【答案】（√）【解析】曲率公式k=|y|/（1+y^2）^3/2，y=2x，y=2，在x=1处k=

25.微分方程y+y=0的通解是y=Ce^x（）【答案】（×）【解析】特征方程r+1=0，解为r=-1，通解为Ce^-x

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述导数的定义【答案】函数y=fx在点x0处的导数定义为limh→0[fx0+h-fx0]/h

2.简述定积分的几何意义【答案】定积分∫[a,b]fxdx表示函数fx在区间[a,b]上的曲边梯形的面积

3.简述级数收敛的定义【答案】如果级数∑u_n的部分和S_n的极限存在，则称级数∑u_n收敛

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数y=x^3-3x^2+2的单调性和极值【答案】y=3x^2-6x，令y=0得x=0,x=2，y=6x-6，在x=0处y=-60，为极大值点，在x=2处y=60，为极小值点单调递增区间为-∞,0和2,∞，单调递减区间为0,

22.分析级数∑n=1→∞1/2^n+1/3^n的收敛性【答案】级数可以拆分为∑n=1→∞1/2^n+∑n=1→∞1/3^n，前者是等比级数，公比1/21，收敛；后者是p级数，p=31，收敛故原级数收敛

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算定积分∫[0,1]x^2-2x+1dx【答案】∫[0,1]x^2-2x+1dx=[x^3/3-2x^2/2+x]从0到1=1/3-1+1-0-0+0=1/

32.解微分方程y-3y+2y=0【答案】特征方程r^2-3r+2=0，解为r=1,r=2，通解为y=Ce^x+Ce^2x---答案结束---。