高数C期末考试题及精准答案

高数C期末考试题及精准答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=e^xD.fx=ln|x|【答案】B【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为左右导数不相等

2.函数fx=sinx在区间[0,2π]上的积分值为（）A.0B.1C.2πD.2【答案】A【解析】∫_0^2πsinxdx=-cosx|_0^2π=-cos2π+cos0=

03.下列级数中，收敛的是（）A.∑_n=1^∞1/nB.∑_n=1^∞1/n^2C.∑_n=1^∞1/n+1D.∑_n=1^∞n/2^n【答案】B【解析】∑_n=1^∞1/n^2为p-级数，p=21，收敛

4.函数fx=x^3-3x在x=0处的泰勒展开式为（）A.x^3-3xB.3x^2-1C.x^3-3x^2D.0【答案】A【解析】fx的泰勒展开式即为其本身

5.下列极限中，值为1的是（）Alim_x→0sinx/xB.lim_x→∞e^x/x^2C.lim_x→0x^2/xD.lim_x→∞lnx/x【答案】A【解析】lim_x→0sinx/x=1为基本极限

6.函数fx=√x^2+1在x=0处的导数为（）A.0B.1C.√2D.不存在【答案】B【解析】f0=lim_h→0√h^2+1-1/h=lim_h→0h/h^2+1=

07.下列函数中，在-∞,∞上单调递增的是（）A.fx=x^2B.fx=e^xC.fx=lnxD.fx=1/x【答案】B【解析】fx=e^x的导数fx=e^x0，单调递增

8.函数fx=x^3-3x+2的极值点为（）A.x=0B.x=1C.x=-1D.x=2【答案】B【解析】fx=3x^2-3=0得x=±1，f1=-60，x=1为极大值点

9.下列级数中，发散的是（）A.∑_n=1^∞-1^n/nB.∑_n=1^∞1/n√nC.∑_n=1^∞1/n^3D.∑_n=1^∞1/2^n【答案】A【解析】∑_n=1^∞-1^n/n为交错级数，满足莱布尼茨判别法，收敛

10.函数fx=sinx在x=π处的拉格朗日余项为（）A.sinπB.cosπC.0D.不存在【答案】C【解析】拉格朗日余项R_nx=f^n+1ξx-a^n+1/n+1!，fx=sinx在x=π处余项为0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的有（）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=e^xD.fx=ln|x|【答案】A、C【解析】fx=x^2和fx=e^x在x=0处可导，fx=|x|和fx=ln|x|不可导

2.下列级数中，条件收敛的有（）A.∑_n=1^∞-1^n/nB.∑_n=1^∞1/n^2C.∑_n=1^∞-1^n/n^2D.∑_n=1^∞1/nlnn【答案】A、C【解析】∑_n=1^∞-1^n/n条件收敛，∑_n=1^∞-1^n/n^2绝对收敛

3.下列函数中，在-∞,∞上连续的有（）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=1/xD.fx=sinx【答案】A、B、D【解析】fx=1/x在x=0处不连续，其余函数处处连续

4.下列极限中，值为0的有（）A.lim_x→0sinx/xB.lim_x→∞e^x/x^2C.lim_x→0x^2/xD.lim_x→∞lnx/x【答案】A、D【解析】lim_x→0x^2/x=0，lim_x→∞lnx/x=

05.下列函数中，在-∞,∞上可导的有（）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=e^xD.fx=ln|x|【答案】A、C【解析】fx=x^2和fx=e^x处处可导，fx=|x|和fx=ln|x|在x=0处不可导

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=x^3-3x的极大值点为x=______，极小值点为x=______【答案】1；-1【解析】fx=3x^2-3=0得x=±1，f1=-60，f-1=60，x=1为极大值点，x=-1为极小值点

2.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式的前三项为______【答案】1+x+x^2/2【解析】fx=e^x的泰勒展开式为∑_n=0^∞x^n/n!，前三项为1+x+x^2/

23.级数∑_n=1^∞1/n^p当p______时收敛【答案】1【解析】p-级数当p1时收敛

4.函数fx=sinx在x=π/2处的拉格朗日余项为______【答案】0【解析】拉格朗日余项R_nx=f^n+1ξx-a^n+1/n+1!，fx=sinx在x=π/2处余项为0

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=x^2在x=0处可导（）【答案】（√）【解析】f0=lim_h→0h^2/h=0，可导

2.级数∑_n=1^∞-1^n/n绝对收敛（）【答案】（×）【解析】∑_n=1^∞1/n发散，故原级数条件收敛

3.函数fx=sinx在-∞,∞上单调递增（）【答案】（×）【解析】fx=cosx不恒大于0，非单调递增

4.函数fx=e^x在-∞,∞上连续（）【答案】（√）【解析】指数函数处处连续

5.级数∑_n=1^∞1/n收敛（）【答案】（×）【解析】调和级数发散

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述导数的几何意义【答案】导数fa表示函数fx在点x=a处的切线斜率

2.简述交错级数收敛的充分条件【答案】若级数∑_n=1^∞-1^na_n满足a_n单调递减且lim_n→∞a_n=0，则级数收敛

3.简述拉格朗日中值定理的内容【答案】若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b上可导，则存在ξ∈a,b，使fξ=fb-fa/b-a

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=x^3-3x+2，求fx在区间[-2,2]上的最大值和最小值【答案】最大值为f-1=4，最小值为f1=0【解析】fx=3x^2-3=0得x=±1，f-2=-10，f-1=4，f1=0，f2=0，故最大值为4，最小值为

02.设函数fx=e^x，求fx在x=0处的n阶导数f^n0【答案】f^n0=1【解析】fx=e^x的泰勒展开式为∑_n=0^∞x^n/n!，f^n0/n!=1，故f^n0=1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算定积分∫_0^1x^2-2x+3dx【答案】∫_0^1x^2-2x+3dx=[x^3/3-2x^2/2+3x]_0^1=1/3-1+3=7/3【解析】原式=[x^3/3-x^2+3x]_0^1=1/3-1+3=7/

32.证明级数∑_n=1^∞-1^n/n^2收敛【答案】【解析】级数绝对值为∑_n=1^∞1/n^2，p-级数，p=21，绝对收敛，故原级数收敛

八、标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.B

4.A

5.A

6.B

7.B

8.B

9.A

10.C

二、多选题

1.A、C

2.A、C

3.A、B、D

4.A、D

5.A、C

三、填空题

1.1；-

12.1+x+x^2/

23.

14.0

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.见解析

2.见解析

3.见解析

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析。