高数同济版模拟试题及答案详解

高数同济版模拟试题及答案详解

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=e^xD.fx=ln|x|【答案】A【解析】函数fx=|x|在x=0处不可导，因为其左右导数不相等

2.极限limx→0sinx/x的值为（）A.0B.1C.∞D.不存在【答案】B【解析】利用极限基本公式，limx→0sinx/x=

13.函数fx=x^3-3x+1的极值点为（）A.x=1B.x=-1C.x=1,x=-1D.无极值点【答案】C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，且f1=-60，f-1=60，故x=1为极大值点，x=-1为极小值点

4.曲线y=x^3-3x^2+2在x=2处的曲率为（）A.3B.6C.9D.12【答案】B【解析】y=6x-6，在x=2处，y=6，曲率k=|y|/（1+y^2）^3/2，y=3x^2-6，在x=2处，y=-6，代入得k=

65.级数∑n=1to∞1/2^n的收敛性为（）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.交错收敛【答案】C【解析】该级数为等比级数，公比r=1/2，|r|1，故绝对收敛

6.函数fx=sinx在区间[0,π]上的积分值为（）A.1B.0C.2D.-1【答案】C【解析】∫from0toπsinxdx=-cosxfrom0toπ=-cosπ--cos0=

27.向量场Fx,y=x^2,y^2的旋度为（）A.0B.2xyC.4xD.4y【答案】A【解析】旋度∇×F=∂y/∂x-∂x/∂y=

08.函数fx=ln1+x在x=0处的泰勒展开式为（）A.1+xB.1+x-x^2/2+x^3/3C.0D.x【答案】B【解析】利用泰勒公式，fx=∑n=1to∞-1^n+1x^n/n，在x=0处取前三项得1+x-x^2/2+x^3/

39.设函数fx在[a,b]上连续，则定积分∫fromatobfxdx的几何意义为（）A.曲线y=fx与x轴围成的面积B.曲线y=fx的长度C.曲线y=fx的斜率D.曲线y=fx的切线斜率【答案】A【解析】定积分表示曲线与x轴围成的面积

10.微分方程dy/dx=x^2的通解为（）A.y=1/3x^3+CB.y=x^3+CC.y=-1/3x^3+CD.y=-x^3+C【答案】A【解析】dy=x^2dx，两边积分得y=1/3x^3+C

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在x=0处可导？（）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=e^xD.fx=ln|x|【答案】A、C【解析】fx=x^2和fx=e^x在x=0处可导，fx=|x|和fx=ln|x|在x=0处不可导

2.以下哪些级数收敛？（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞-1^n/nD.∑n=1to∞1/2^n【答案】B、C、D【解析】∑1/n^2绝对收敛，∑-1^n/n条件收敛，∑1/2^n绝对收敛，∑1/n发散

3.以下哪些函数在区间[0,1]上可积？（）A.fx=xB.fx=1/xC.fx=sinxD.fx=lnx【答案】A、C【解析】fx=x和fx=sinx在[0,1]上可积，fx=1/x在x=0处不可积，fx=lnx在x=0处不可积

4.以下哪些向量场是保守场？（）A.Fx,y=x,yB.Fx,y=y,-xC.Fx,y=x^2,y^2D.Fx,y=y/x,x【答案】A、D【解析】Fx,y=x,y和Fx,y=y/x,x是保守场，Fx,y=y,-x不是保守场，Fx,y=x^2,y^2不是保守场

5.以下哪些函数在x=0处有泰勒展开式？（）A.fx=sinxB.fx=cosxC.fx=e^xD.fx=ln1+x【答案】A、B、C、D【解析】fx=sinx、fx=cosx、fx=e^x和fx=ln1+x在x=0处都有泰勒展开式

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=x^3-3x^2+2的极大值点为______，极小值点为______【答案】x=1；x=-

12.曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的曲率为______【答案】

33.级数∑n=1to∞1/2^n的前n项和为______【答案】1-1/2^n

4.微分方程dy/dx=2x的通解为______【答案】y=x^2+C

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个可导函数的和仍可导（）【答案】（√）

2.所有收敛的级数都是绝对收敛的（）【答案】（×）

3.函数fx=x^2在区间[0,1]上的积分值为1/3（）【答案】（×）

4.向量场Fx,y=x,y是保守场（）【答案】（√）

5.函数fx=sinx在x=0处不可导（）【答案】（×）

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述导数的定义【答案】导数表示函数在某一点的瞬时变化率，定义为limh→0fx+h-fx/h

2.简述定积分的几何意义【答案】定积分表示曲线与x轴围成的面积，可以是正面积或负面积

3.简述保守场的定义【答案】保守场是指旋度为零的向量场，即∇×F=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2的单调性和极值【答案】fx=3x^2-6，令fx=0得x=±√2，fx=6x，f√20，f-√20，故x=√2为极小值点，x=-√2为极大值点单调性x∈-∞,-√2单调增，x∈-√2,√2单调减，x∈√2,+∞单调增

2.分析级数∑n=1to∞-1^n/n^2的收敛性【答案】该级数为交错级数，|a_n|=1/n^2单调递减且limn→∞a_n=0，故由莱布尼茨判别法，级数收敛且∑1/n^2绝对收敛，故原级数绝对收敛

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算定积分∫from0to1x^21-x^2dx【答案】令u=1-x，du=-dx，当x=0时，u=1；当x=1时，u=0原积分变为∫from1to01-u^2u^2-du=∫from0to1u^21-u^2du=1/

302.求解微分方程dy/dx=xy，并求满足初始条件y0=1的特解【答案】分离变量，dy/y=xdx，两边积分得lny=1/2x^2+C，y=Ce^x^2/2代入初始条件y0=1得C=1，故特解为y=e^x^2/2。