高等数学上第1章过关试题及答案

高等数学上第1章过关试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内连续的是（）（2分）A.y=1/xB.y=|x|C.y=tanxD.y=ln|x|【答案】B【解析】绝对值函数在其定义域内连续

2.函数fx=√x-1的定义域是（）（2分）A.-∞,1B.[1,+∞C.1,+∞D.-1,1【答案】B【解析】根号内表达式需非负，即x≥

13.下列极限正确的是（）（2分）Alimx→0sin1/x=1B.limx→∞x+1/x=0C.limx→01-cosx/x=0D.limx→1x^2-1/x-1=1【答案】C【解析】利用等价无穷小1-cosx≈1/2x^2，极限为

04.函数y=2^x在R上（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.非单调D.周期函数【答案】A【解析】指数函数底数大于1时单调递增

5.下列函数中，是奇函数的是（）（2分）A.y=x^2B.y=2^xC.y=1/xD.y=cosx【答案】C【解析】1/x满足f-x=-fx

6.函数y=√x的导数是（）（2分）A.1/xB.1/2√xC.√xD.2x【答案】B【解析】利用导数公式√u=1/2√uu

7.下列无穷小量中，最低阶的是（）（2分）A.xB.x^2C.x^3D.sinx【答案】C【解析】x^3比其他无穷小量收敛更快

8.函数fx=ln1+x在x=0的泰勒展开式中x^3项系数是（）（2分）A.1B.1/2C.1/3D.1/4【答案】C【解析】ln1+x的泰勒展开式为x-x^2/2+x^3/3+...

9.下列命题正确的是（）（2分）A.无界函数必有极限B.有极限的函数必连续C.连续函数必有界D.单调函数必有界【答案】C【解析】连续函数在闭区间上必有界

10.下列函数在x=0处可导的是（）（2分）A.y=|x|B.y=x^3C.y=1/xD.y=√x【答案】B【解析】x^3的导数为3x^2在x=0处存在

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处连续的有（）（4分）A.y=1/xB.y=|x|C.y=tanxD.y=ln1+x【答案】B、D【解析】|x|和ln1+x在x=0处连续

2.下列无穷小量的关系正确的是（）（4分）A.x^2比x高阶B.x比x^2高阶C.sinx与x等价D.1-cosx与x^2同阶【答案】A、C、D【解析】x^2比x高阶，sinx≈x，1-cosx≈x^

23.下列函数中，是偶函数的有（）（4分）A.y=x^2B.y=2^xC.y=1/xD.y=cosx【答案】A、D【解析】x^2和cosx满足f-x=fx

4.下列极限计算正确的有（）（4分）A.limx→0sinx/x=1B.limx→∞x^2+1/x=∞C.limx→01-cosx/x^2=1/2D.limx→1x^2-1/x-1=2【答案】A、C【解析】C选项利用等价无穷小1-cosx≈1/2x^

25.下列函数中，在x=0处可导的有（）（4分）A.y=|x|B.y=x^3C.y=1/xD.y=√x【答案】B【解析】x^3的导数为3x^2在x=0处存在，|x|不可导

三、填空题（每空2分，共24分）

1.函数fx=√x-1的连续区间是________（4分）【答案】[1,+∞

2.若limx→afx=A，则函数fx在x=a处________（4分）【答案】可能有极限但未必连续

3.函数y=2^x的反函数是________（4分）【答案】y=log2x

4.函数y=sinx的周期是________（4分）【答案】2π

5.若fx是奇函数，f0存在，则f0=________（4分）【答案】

06.函数y=ln1+x在x=0的泰勒展开式中x^3项系数是________（4分）【答案】1/3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在x=a处可导，则fx在x=a处必连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续

2.所有初等函数在其定义域内连续（）（2分）【答案】（×）【解析】如1/x在x=0处不连续

3.若limx→afx不存在，则fx在x=a处不可导（）（2分）【答案】（√）【解析】不可导必不连续，不连续极限必不存在

4.偶函数的导数是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】cosx=-sinx，满足奇函数定义

5.所有单调函数必有界（）（2分）【答案】（×）【解析】如y=x在R上单调但无界

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述函数连续的定义（5分）【答案】函数fx在点x=a连续，当且仅当

（1）fa存在

（2）limx→afx存在

（3）limx→afx=fa

2.简述无穷小量的等价关系（5分）【答案】若limx→afx/gx=C，且C为非零常数，则fx与gx在x→a时等价

3.简述奇函数和偶函数的性质（5分）【答案】奇函数性质f-x=-fx，图像关于原点对称偶函数性质f-x=fx，图像关于y轴对称

六、分析题（每题10分，共20分）

1.求函数fx=√x+1+lnx-1的定义域（10分）【答案】需满足

（1）x+1≥0⇒x≥-1

（2）x-10⇒x1取交集得定义域为1,+∞

2.计算极限limx→0e^x-1-x/x^2（10分）【答案】方法一利用泰勒展开e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+...e^x-1-x/x^2=x^2/2+x^3/6+.../x^2=1/2+x/6+...limx→0=1/2方法二洛必达法则原式=limx→0e^x-1/2x=limx→0e^x/2=1/2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求

（1）fx的导数fx（5分）

（2）fx的极值点（10分）

（3）fx的单调区间（10分）【答案】

（1）fx=3x^2-6x

（2）令fx=0⇒3xx-2=0⇒x=0,2fx=6x-6f0=-60⇒x=0为极大值点f2=60⇒x=2为极小值点

（3）当x0时，fx0，单调递增当0x2时，fx0，单调递减当x2时，fx0，单调递增

2.已知函数fx=ln1+x-x，求

（1）fx的导数fx（5分）

（2）fx的极值点（10分）

（3）fx的单调区间（10分）【答案】

（1）fx=1/1+x-1=1-x/1+x

（2）令fx=0⇒x=1fx=-2/1+x^2f1=-2/4=-1/20⇒x=1为极大值点

（3）当x1时，fx0，单调递增当x1时，fx0，单调递减

八、标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.C

4.A

5.C

6.B

7.C

8.C

9.C

10.B

二、多选题

1.B、D

2.A、C、D

3.A、D

4.A、C

5.B

三、填空题

1.[1,+∞

2.可能有极限但未必连续

3.y=log2x

4.2π

5.

06.1/3

四、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.×

五、简答题

1.略

2.略

3.略

六、分析题

1.略

2.略

七、综合应用题

1.略

2.略。