高等数学上第一章考试题目及答案

高等数学上第一章考试题目及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.y=x^2B.y=|x|C.y=3x+1D.y=x^3【答案】B【解析】y=|x|在x=0处不可导，因为其左右导数不相等

2.下列极限计算正确的是（）Alimx→0sinx/x=1Blimx→0cosx/x=1Climx→01-cosx/x=1Dlimx→0e^x-1/x=0【答案】A【解析】A选项为基本极限公式，其余选项极限均不为

13.函数fx=lnx在x=1处的切线方程为（）A.y=x-1B.y=x+1C.y=2x-1D.y=2x+1【答案】A【解析】fx=1/x，f1=1，f1=0，故切线方程为y=x-

14.下列级数收敛的是（）A.1+1/2+1/3+1/4+...B.1-1/2+1/3-1/4+...C.1/1^2+1/2^2+1/3^2+...D.1+1/3+1/5+1/7+...【答案】C【解析】C为p-级数，p=21，收敛

5.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均变化率为（）A.e-1B.e+1C.1/eD.1【答案】A【解析】e^1-e^0/1=e-

16.下列函数中，是奇函数的是（）A.fx=x^2B.fx=x^3C.fx=e^xD.fx=cosx【答案】B【解析】B选项满足f-x=-fx

7.函数fx=sinx在x=π/2处的导数为（）A.1B.-1C.0D.pi【答案】A【解析】fx=cosx，fπ/2=cosπ/2=

18.下列极限计算正确的是（）A.limx→∞x^2-1/x^2=1B.limx→∞x-1/x=1C.limx→∞1/x/x=1D.limx→∞x^3/x^2=1【答案】A【解析】A选项分子分母同除x^2，极限为

19.函数fx=√x在x=4处的导数为（）A.1/4B.1/2C.1/8D.1/16【答案】B【解析】fx=1/2√x，f4=1/2√4=1/

410.下列函数中，是偶函数的是（）A.fx=sinxB.fx=cosxC.fx=tanxD.fx=lnx【答案】B【解析】B选项满足f-x=fx

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列说法正确的有（）A.连续函数一定可导B.可导函数一定连续C.间断点处一定不可导D.不可导点处一定间断【答案】B、C【解析】可导必连续，间断不可导

2.下列函数中，在x=0处可导的有（）A.y=x^3B.y=|x|^3C.y=1/xD.y=1【答案】A、B、D【解析】C在x=0处无定义不可导

3.下列级数收敛的有（）A.1+1/4+1/9+1/16+...B.1-1/3+1/5-1/7+...C.1/1!+1/2!+1/3!+...D.1+1/2+1/3+1/4+...【答案】B、C【解析】B为交错级数，C为收敛的交错级数

4.下列函数中，是周期函数的有（）A.fx=sinxB.fx=cosxC.fx=tanxD.fx=lnx【答案】A、B、C【解析】周期函数定义fx+T=fx

5.下列说法正确的有（）A.导数表示函数变化率B.导数表示函数斜率C.导数表示函数瞬时速度D.导数表示函数加速度【答案】A、B、C【解析】导数几何意义为斜率，物理意义为变化率

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=e^x的麦克劳林展开式为_________【答案】1+x+x^2/2!+x^3/3!+...

2.函数fx=sinx的n阶导数为_________【答案】sinx+nπ/

23.函数fx=ln1+x在x=0处的n阶导数为_________【答案】-1^n-1n-1!/1+x^n

4.函数fx=x^3-3x在x=1处的极值为_________【答案】-

25.函数fx=e^x在区间[0,1]上的弧长为_________【答案】e-1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个可导函数的和仍可导（）【答案】（√）【解析】可导函数和仍可导

2.若函数在某点可导，则在该点一定连续（）【答案】（√）【解析】可导必连续

3.所有无穷小量都可以比较大小（）【答案】（×）【解析】高阶无穷小与低阶无穷小不可比

4.偶函数的导数一定是奇函数（）【答案】（√）【解析】fx=-f-x

5.若函数在某区间内单调递增，则其导数一定大于0（）【答案】（×）【解析】导数可能为0

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述函数在某点处连续与可导的关系答函数在某点处连续是可导的必要条件，但不是充分条件可导必连续，连续不一定可导

2.简述导数的物理意义和几何意义答物理意义为变化率，如速度是位移对时间的导数；几何意义为切线斜率

3.简述泰勒级数与麦克劳林级数的关系答麦克劳林级数是泰勒级数在x=0处的特殊情况

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调性与极值解fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0,2当x∈-1,0时，fx0，单调递增；当x∈0,2时，fx0，单调递减；当x∈2,3时，fx0，单调递增极大值f0=2，极小值f2=-

22.分析函数fx=1/1-x在x=0处的泰勒展开式解fx=1+x+x^2+x^3+...+x^n+...收敛域为-1,1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求

（1）fx在区间[-1,3]上的最大值与最小值

（2）fx的拐点

（3）fx的渐近线解

（1）fx=3x^2-6x，f-1=5，f0=2，f1=-1，f2=-2，f3=2最大值f-1=5，最小值f2=-2

（2）fx=6x-6，令fx=0得x=1，拐点为1,-1

（3）无垂直渐近线，水平渐近线y=

02.已知函数fx=e^x，求

（1）fx在区间[0,1]上的定积分

（2）fx的n阶导数在x=0处的值

（3）fx的麦克劳林级数的前5项解

（1）∫[0,1]e^xdx=e-1

（2）fn0=1

（3）1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!---完整标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.A

4.C

5.A

6.B

7.A

8.A

9.B

10.B

二、多选题

1.B、C

2.A、B、D

3.B、C

4.A、B、C

5.A、B、C

三、填空题

1.1+x+x^2/2!+x^3/3!+...

2.sinx+nπ/

23.-1^n-1n-1!/1+x^n

4.-

25.e-1

四、判断题

1.√

2.√

3.×

4.√

5.×

五、简答题

1.函数在某点处连续是可导的必要条件，但不是充分条件可导必连续，连续不一定可导

2.导数的物理意义为变化率，如速度是位移对时间的导数；几何意义为切线斜率

3.麦克劳林级数是泰勒级数在x=0处的特殊情况

六、分析题

1.函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调性与极值fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0,2当x∈-1,0时，fx0，单调递增；当x∈0,2时，fx0，单调递减；当x∈2,3时，fx0，单调递增极大值f0=2，极小值f2=-

22.函数fx=1/1-x在x=0处的泰勒展开式fx=1+x+x^2+x^3+...+x^n+...收敛域为-1,1

七、综合应用题

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求

（1）fx在区间[-1,3]上的最大值与最小值f-1=5，f0=2，f1=-1，f2=-2，f3=2最大值f-1=5，最小值f2=-2

（2）fx的拐点fx=6x-6，令fx=0得x=1，拐点为1,-1

（3）fx的渐近线无垂直渐近线，水平渐近线y=

02.已知函数fx=e^x，求

（1）fx在区间[0,1]上的定积分∫[0,1]e^xdx=e-1

（2）fx的n阶导数在x=0处的值fn0=1

（3）fx的麦克劳林级数的前5项1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!。