黄冈中学竞赛创新试题及答案

黄冈中学竞赛创新试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^3-3x+1在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.3B.-3C.2D.-2【答案】B【解析】fx=3ax^2-3，由f1=0得3a-3=0，解得a=1选项B正确

2.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，则cosC的值为（）（2分）A.1B.0C.-1D.1/2【答案】A【解析】由勾股定理知a^2+b^2=c^2，故cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=

13.若复数z=1+i，则z^4的虚部为（）（2分）A.0B.1C.-1D.4【答案】C【解析】z^4=1+i^4=4i，虚部为-

14.设函数fx=|x-1|+|x+2|，则fx的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为3-1=

25.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_3=8，则a_5的值为（）（2分）A.16B.24C.32D.64【答案】C【解析】由a_3=a_1q^2得q^2=4，q=2，故a_5=a_1q^4=2×16=

326.设函数fx=sinx+π/6，则fπ/3的值为（）（2分）A.1/2B.√3/2C.1D.-1/2【答案】B【解析】fπ/3=sinπ/3+π/6=sinπ/2=

17.在直角坐标系中，点Pa,b到直线x+y=1的距离为√2，则a^2+b^2的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】距离公式d=|a+b-1|/√2=√2，得|a+b-1|=2，故a^2+b^2=

28.若函数fx=x^2+px+q在x=1时取得极小值，则p的值为（）（2分）A.-2B.-1C.1D.2【答案】A【解析】fx=2x+p，由f1=0得p=-

29.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2=b^2+c^2-2bccosA，则角A的大小为（）（2分）A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】B【解析】由余弦定理得cosA=1/2，故A=60°

10.设函数fx=e^x-x，则fx在区间-∞,+∞上的单调性为（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增【答案】A【解析】fx=e^x-1，当x0时fx0，当x0时fx0，故fx单调递增

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.对任意x，|x|≥0D.若fx是偶函数，则fx是奇函数【答案】A、C【解析】A正确，空集是任何集合的子集；B错误，如a=-1，b=-2；C正确，绝对值非负；D错误，偶函数的导数是奇函数

2.下列函数中，在区间0,1上单调递减的有（）（4分）A.y=x^2B.y=-xC.y=1/xD.y=logx【答案】B、C【解析】B、C在0,1上单调递减

3.下列数列中，是等差数列的有（）（4分）A.a_n=2n-1B.a_n=3^nC.a_n=n^2D.a_n=5n+1【答案】A、D【解析】A、D是等差数列

4.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若ab，则√a√bB.若fx是奇函数，则f0=0C.对任意x，e^xxD.若A是集合，则A∪∅=A【答案】C、D【解析】C正确，e^xx；D正确，A∪∅=A

5.下列图形中，是中心对称图形的有（）（4分）A.等腰三角形B.正方形C.矩形D.圆【答案】B、C、D【解析】B、C、D是中心对称图形

三、填空题（每题4分，共32分）

1.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则a_15的值为______（4分）【答案】40【解析】由a_10-a_5=5d得d=3，故a_15=a_10+5d=

402.函数fx=|x-1|+|x+2|的值域为______（4分）【答案】[3,+∞【解析】fx最小值为3，故值域为[3,+∞

3.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，则cosC的值为______（4分）【答案】1【解析】由勾股定理知cosC=

14.复数z=1+i，则z^4的虚部为______（4分）【答案】-1【解析】z^4=4i，虚部为-

15.函数fx=x^2+px+q在x=1时取得极小值，则p的值为______（4分）【答案】-2【解析】fx=2x+p，由f1=0得p=-

26.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_3=8，则a_5的值为______（4分）【答案】32【解析】由a_3=a_1q^2得q^2=4，q=2，故a_5=

327.在直角坐标系中，点Pa,b到直线x+y=1的距离为√2，则a^2+b^2的值为______（4分）【答案】2【解析】a^2+b^2=

28.若函数fx=e^x-x，则fx在区间-∞,+∞上的单调性为______（4分）【答案】单调递增【解析】fx=e^x-1，当x0时fx0，故fx单调递增

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则a^2=1，b^2=4，a^2b^

22.空集是任何集合的子集（）（2分）【答案】（√）【解析】空集是任何集合的子集

3.对任意x，|x|≥0（）（2分）【答案】（√）【解析】绝对值非负

4.若fx是偶函数，则fx是奇函数（）（2分）【答案】（×）【解析】fx不一定是奇函数

5.若fx是奇函数，则f0=0（）（2分）【答案】（×）【解析】f0不一定为

06.若A是集合，则A∪∅=A（）（2分）【答案】（√）【解析】A∪∅=A

7.对任意x，e^xx（）（2分）【答案】（√）【解析】e^xx对所有实数x成立

8.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则√a=1，√b无意义

9.函数fx=x^2+px+q在x=1时取得极小值（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=2x+p，由f1=0得p=-

210.函数fx=e^x-x在区间-∞,+∞上单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=e^x-1，当x0时fx0，故fx单调递增

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^2-4x+3的单调区间（5分）【答案】fx=2x-4，令fx=0得x=2当x2时fx0，函数单调递减；当x2时fx0，函数单调递增故单调递减区间为-∞,2，单调递增区间为2,+∞

2.求等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_3=8，求a_5的值（5分）【答案】由a_3=a_1q^2得8=2q^2，解得q^2=4，q=2故a_5=a_1q^4=2×16=

323.求函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值（5分）【答案】当x-2时fx=-x-1-x+2=-2x-1；当-2≤x≤1时fx=-x-1+x+2=3；当x1时fx=x-1+x+2=2x+1故fx的最小值为3

六、分析题（每题10分，共20分）

1.证明对任意实数a、b，有|a+b|≤|a|+|b|（10分）【答案】由绝对值的三角不等式知|a+b|≤|a|+|b|证明1当a、b同号时，|a+b|=|a|+|b|；2当a、b异号时，|a+b|=||a|-|b||≤|a|+|b|故|a+b|≤|a|+|b|对所有实数a、b成立

2.证明在△ABC中，若a^2+b^2=c^2，则△ABC是直角三角形（10分）【答案】由勾股定理知，在△ABC中，若a^2+b^2=c^2，则cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=1/2，故C=60°又由余弦定理知cosC=1/2，故△ABC是直角三角形

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx的单调区间和极值（25分）【答案】fx=3x^2-6x+2=3x^2-2x+2/3=3x-1^2-2/3令fx=0得x=1±√2/3当x1-√2/3时fx0，函数单调递增；当1-√2/3x1+√2/3时fx0，函数单调递减；当x1+√2/3时fx0，函数单调递增故单调递增区间为-∞,1-√2/3和1+√2/3,+∞，单调递减区间为1-√2/3,1+√2/3极小值f1+√2/3=-2/3，极大值f1-√2/3=2/

32.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，求a_{10}和a_{15}的值，并证明数列的前n项和S_n是关于n的二次函数（25分）【答案】由a_5=a_1+4d得10=2+4d，解得d=2故a_{10}=a_1+9d=2+18=20，a_{15}=a_1+14d=2+28=30S_n=na_1+nn-1/2d=2n+nn-1=n^2+n，是关于n的二次函数标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.C

4.B

5.C

6.B

7.B

8.A

9.B

10.A

二、多选题

1.A、C

2.B、C

3.A、D

4.C、D

5.B、C、D

三、填空题

1.

402.[3,+∞

3.

14.-

15.-

26.

327.

28.单调递增

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（×）

6.（√）

7.（√）

8.（×）

9.（√）

10.（√）

五、简答题

1.单调递减区间-∞,2，单调递增区间2,+∞

2.a_5=

323.最小值为3

六、分析题

1.绝对值三角不等式证明

2.勾股定理证明

七、综合应用题

1.单调区间和极值分析

2.等差数列求值和二次函数证明。