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文本内容:
2018年IMO真题答案大揭秘与深度解析
一、单选题（每题2分，共20分）
1.下列方程中，在实数范围内无解的是（）A.x^2+1=0B.x^2-4=0C.x^2+2x+1=0D.x^2-2x+1=0【答案】A【解析】方程A中x^2+1=0无实数解，方程B、C、D均有实数解
2.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】函数fx=|x-1|在x=1处取得最小值
13.设a,b,c是实数，且ab，则下列不等式一定成立的是（）A.a^2b^2B.a^3b^3C.a/cb/cD.a+cb+c【答案】D【解析】由不等式性质知，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变
4.直线y=kx+1与圆x^2+y^2=1相交于两点，则k的取值范围是（）A.k1B.k1C.|k|1D.|k|1【答案】C【解析】由直线与圆相交的条件知，判别式Δ0，解得|k|
15.设fx是定义在R上的奇函数，且f1=1，则f-1的值是（）A.1B.-1C.0D.不确定【答案】B【解析】由奇函数性质知，f-x=-fx，所以f-1=-f1=-
16.下列函数中，在区间0,1上单调递减的是（）A.y=x^2B.y=2^xC.y=1/xD.y=lnx【答案】C【解析】函数y=1/x在0,1上单调递减
7.设fx=sinx+cosx，则fx的最小正周期是（）A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】B【解析】函数fx=sinx+cosx的最小正周期是2π
8.设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=a_{n-1}+2，则S_5的值是（）A.15B.25C.35D.45【答案】B【解析】数列{a_n}是等差数列，公差d=2，S_5=5a_1+10d=
259.设A是4阶矩阵，且|A|=2，则|3A|的值是（）A.3B.6C.8D.24【答案】D【解析】由矩阵行列式性质知，|kA|=k^n|A|，所以|3A|=3^4|A|=243×2=
48610.设事件A的概率PA=
0.6，事件B的概率PB=
0.7，且PA∪B=
0.8，则PA∩B的值是（）A.
0.1B.
0.2C.
0.3D.
0.4【答案】B【解析】由概率加法公式PA∪B=PA+PB-PA∩B，得PA∩B=PA+PB-PA∪B=
0.6+
0.7-
0.8=
0.5
二、多选题（每题4分，共20分）
1.下列函数中，在定义域上连续的是（）A.y=x^3B.y=1/xC.y=lnxD.y=tanx【答案】A、B、C【解析】函数y=x^
3、y=1/x、y=lnx在其定义域上连续，y=tanx在x=kπ+π/2处不连续
2.设fx是定义在R上的偶函数，且fx在[0,+∞上单调递增，则下列说法正确的是（）A.f-1f1B.f0=f-1C.f2f-2D.f3f-3【答案】B、D【解析】由偶函数性质知，f-x=fx，所以f0=f-1，f3=f-3，又由单调性知，f2f-
23.设数列{a_n}是等比数列，且a_1=2，a_3=8，则下列说法正确的是（）A.a_2=4B.a_4=16C.a_5=32D.a_6=64【答案】A、B、C、D【解析】由等比数列性质知，公比q=2，所以a_n=2^n，a_2=4，a_4=16，a_5=32，a_6=
644.设A是2阶矩阵，且|A|=3，则下列说法正确的是（）A.|2A|=6B.|A^2|=9C.|A^T|=3D.|A^-1|=1/3【答案】B、C、D【解析】由矩阵行列式性质知，|kA|=k^2|A|，|A^2|=|A|^2，|A^T|=|A|，|A^-1|=1/|A|
5.设事件A、B相互独立，且PA=
0.5，PB=
0.6，则下列说法正确的是（）A.PA∪B=
0.8B.PA∩B=
0.3C.PA^c=
0.5D.PB^c=
0.4【答案】A、C、D【解析】由事件独立性知，PA∪B=PA+PB-PAPB=
0.8，PA^c=1-PA=
0.5，PB^c=1-PB=
0.4
三、填空题（每题4分，共32分）
1.函数fx=x^2-2x+3在区间[1,3]上的最大值是______【答案】5【解析】函数fx=x^2-2x+3在x=3处取得最大值
52.直线y=2x+1与圆x^2+y^2=4相交于两点，则两点的距离是______【答案】2√2【解析】圆心到直线的距离d=1，所以两点的距离为2√r^2-d^2=2√
23.设fx是定义在R上的奇函数，且f2=3，则f-2的值是______【答案】-3【解析】由奇函数性质知，f-x=-fx，所以f-2=-f2=-
34.设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=a_{n-1}+3，则S_4的值是______【答案】20【解析】数列{a_n}是等差数列，公差d=3，S_4=4a_1+6d=
205.设A是3阶矩阵，且|A|=2，则|2A|的值是______【答案】16【解析】由矩阵行列式性质知，|2A|=2^3|A|=8×2=
166.设事件A的概率PA=
0.7，事件B的概率PB=
0.5，且PA∪B=
0.9，则PA∩B的值是______【答案】
0.4【解析】由概率加法公式PA∪B=PA+PB-PA∩B，得PA∩B=PA+PB-PA∪B=
0.7+
0.5-
0.9=
0.
37.函数fx=sinx+cosx的最小正周期是______【答案】2π【解析】函数fx=sinx+cosx的最小正周期是2π
8.设数列{a_n}是等比数列，且a_1=3，a_3=27，则公比q的值是______【答案】3【解析】由等比数列性质知，公比q=3
四、判断题（每题2分，共20分）
1.两个正数相乘，积一定比其中一个数大（）【答案】（×）【解析】如
0.5×
0.5=
0.25，积比两个数都小
2.直线y=2x+1与圆x^2+y^2=1相交于两点（）【答案】（×）【解析】圆心到直线的距离d=1，所以直线与圆相切，只相交于一点
3.设fx是定义在R上的奇函数，且f0=0，则fx一定是奇函数（）【答案】（√）【解析】由奇函数定义知，f-x=-fx，且f0=0，所以fx是奇函数
4.设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=a_{n-1}+2，则S_n是关于n的二次函数（）【答案】（√）【解析】数列{a_n}是等差数列，S_n=na_1+nn-1d/2=na_1+n^2d/2-nd/2，是关于n的二次函数
5.设A是2阶矩阵，且|A|=1，则|A^T|=1（）【答案】（√）【解析】由矩阵行列式性质知，|A^T|=|A|=
16.设事件A、B相互独立，且PA=
0.4，PB=
0.6，则PA∩B=
0.24（）【答案】（√）【解析】由事件独立性知，PA∩B=PAPB=
0.4×
0.6=
0.
247.函数fx=x^2在区间[-1,1]上的最大值是1（）【答案】（√）【解析】函数fx=x^2在x=1处取得最大值
18.设数列{a_n}是等比数列，且a_1=2，a_3=8，则公比q=3（）【答案】（√）【解析】由等比数列性质知，公比q=8/2=
39.设A是3阶矩阵，且|A|=3，则|A^-1|=1/3（）【答案】（√）【解析】由矩阵行列式性质知，|A^-1|=1/|A|=1/
310.设事件A的概率PA=
0.8，事件B的概率PB=
0.7，且PA∪B=
0.9，则PA∩B=
0.5（）【答案】（×）【解析】由概率加法公式PA∪B=PA+PB-PA∩B，得PA∩B=PA+PB-PA∪B=
0.8+
0.7-
0.9=
0.6
五、简答题（每题4分，共20分）
1.简述函数fx=x^2在区间[0,2]上的单调性【答案】函数fx=x^2在区间[0,2]上单调递增【解析】由导数fx=2x知，当x∈[0,2]时，fx≥0，所以函数fx=x^2在区间[0,2]上单调递增
2.简述等差数列{a_n}的前n项和S_n的性质【答案】等差数列{a_n}的前n项和S_n是关于n的二次函数【解析】S_n=na_1+nn-1d/2=na_1+n^2d/2-nd/2，是关于n的二次函数
3.简述事件A、B相互独立的定义【答案】事件A、B相互独立是指PA∩B=PAPB【解析】事件A、B相互独立是指事件A的发生不影响事件B的概率，反之亦然
4.简述矩阵A的逆矩阵A^-1的性质【答案】矩阵A的逆矩阵A^-1满足AA^-1=A^-1A=I，其中I是单位矩阵【解析】矩阵A的逆矩阵A^-1是A的逆运算，满足上述性质
5.简述函数fx=sinx+cosx的图像特点【答案】函数fx=sinx+cosx的图像是周期为2π的波形曲线【解析】函数fx=sinx+cosx可以化简为√2sinx+π/4，其图像是周期为2π的波形曲线
六、分析题（每题12分，共24分）
1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的单调性和极值【答案】函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的单调性和极值分析如下
（1）求导数fx=3x^2-6x；
（2）令fx=0，得x=0和x=2；
（3）当x∈[-2,0]时，fx≥0，函数单调递增；
（4）当x∈[0,2]时，fx≤0，函数单调递减；
（5）当x=0时，函数取得极大值2；
（6）当x=2时，函数取得极小值-
22.分析事件A、B、C相互独立的定义和性质【答案】事件A、B、C相互独立是指
（1）PA∩B=PAPB；
（2）PA∩C=PAPC；
（3）PB∩C=PBPC；
（4）PA∩B∩C=PAPBPC【解析】事件A、B、C相互独立是指三个事件之间相互不影响，任意两个事件独立，三个事件同时独立
七、综合应用题（每题25分，共50分）
1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=a_{n-1}+n，求S_5的值【答案】数列{a_n}的前n项和S_n的求解如下
（1）由a_n=a_{n-1}+n得，数列{a_n}是等差数列，公差d=1；
（2）S_n=na_1+nn-1d/2=na_1+n^2d/2-nd/2；
（3）S_5=5a_1+10d=5×1+10×1=
152.已知函数fx=x^2-2x+3，求fx在区间[1,3]上的最大值和最小值【答案】函数fx=x^2-2x+3在区间[1,3]上的最大值和最小值求解如下
（1）求导数fx=2x-2；
（2）令fx=0，得x=1；
（3）当x∈[1,3]时，fx在x=1处取得极值；
（4）计算f1=2，f3=6；
（5）所以fx在区间[1,3]上的最大值是6，最小值是2标准答案
一、单选题
1.A
2.B
3.D
4.C
5.B
6.C
7.B
8.B
9.D
10.B
二、多选题
1.A、B、C
2.B、D
3.A、B、C、D
4.B、C、D
5.A、C、D
三、填空题
1.
52.2√
23.-
34.
205.
166.
0.
37.2π
8.3
四、判断题
1.×
2.×
3.√
4.√
5.√
6.√
7.√
8.√
9.√
10.×
五、简答题
1.函数fx=x^2在区间[0,2]上单调递增
2.等差数列{a_n}的前n项和S_n是关于n的二次函数
3.事件A、B相互独立是指PA∩B=PAPB
4.矩阵A的逆矩阵A^-1满足AA^-1=A^-1A=I，其中I是单位矩阵
5.函数fx=sinx+cosx的图像是周期为2π的波形曲线
六、分析题
1.函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的单调性和极值分析如下
（1）求导数fx=3x^2-6x；
（2）令fx=0，得x=0和x=2；
（3）当x∈[-2,0]时，fx≥0，函数单调递增；
（4）当x∈[0,2]时，fx≤0，函数单调递减；
（5）当x=0时，函数取得极大值2；
（6）当x=2时，函数取得极小值-
22.事件A、B、C相互独立是指
（1）PA∩B=PAPB；
（2）PA∩C=PAPC；
（3）PB∩C=PBPC；
（4）PA∩B∩C=PAPBPC事件A、B、C相互独立是指三个事件之间相互不影响，任意两个事件独立，三个事件同时独立
七、综合应用题
1.数列{a_n}的前n项和S_n的求解如下
（1）由a_n=a_{n-1}+n得，数列{a_n}是等差数列，公差d=1；
（2）S_n=na_1+nn-1d/2=na_1+n^2d/2-nd/2；
（3）S_5=5a_1+10d=5×1+10×1=
152.函数fx=x^2-2x+3在区间[1,3]上的最大值和最小值求解如下
（1）求导数fx=2x-2；
（2）令fx=0，得x=1；
（3）当x∈[1,3]时，fx在x=1处取得极值；
（4）计算f1=2，f3=6；
（5）所以fx在区间[1,3]上的最大值是6，最小值是2。
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