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2017年数学A卷考试题目与答案
一、单选题（每题2分，共20分）
1.下列函数中，在区间0,1内单调递减的是（）A.y=x²B.y=2³ˣC.y=lnxD.y=1/x【答案】D【解析】函数y=1/x在0,1内单调递减
2.若集合A={x|x²-3x+2=0},B={x|x²-ax+1=0},且A∪B=A,则实数a的取值范围是（）A.{1,2}B.{1,3}C.{2,3}D.{1,2,3}【答案】D【解析】A={1,2},A∪B=A⇔B⊆A⇔a=1或a=
33.已知向量a=1,2,b=3,-1,则向量a+b的模长是（）A.√5B.2√5C.3√5D.5√2【答案】B【解析】|a+b|=√1+3²+2-1²=2√
54.在等比数列{aₙ}中,若a₂=2,a₅=16,则该数列的通项公式为（）A.aₙ=2^n-1B.aₙ=2^nC.aₙ=4^n-1D.aₙ=4^n【答案】C【解析】q³=8,q=2,a₁=1,aₙ=4^n-
15.若sinα=1/2,α∈π/2,π,则cosα的值是（）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】cosα=-√1-sin²α=-√3/
26.过点P1,2且与直线x-2y+1=0垂直的直线方程是（）A.2x+y-4=0B.x-2y+3=0C.x+2y-5=0D.2x-y+3=0【答案】A【解析】斜率k=2,方程为2x+y-4=
07.若函数fx=x³-3x+m在x=1处取得极值,则m的值是（）A.2B.-2C.1D.-1【答案】B【解析】fx=3x²-3,令x=1得m=-
28.在△ABC中,若角A=60°,角B=45°,且BC=2,则AC的值是（）A.√2B.2√2C.√3D.2√3【答案】D【解析】由正弦定理AC=BC/sinB×sinA=2√
39.下列命题中,真命题是（）A.若ab,则a²b²B.若ab,则fafbfx是增函数C.若ab,则|a||b|D.若a²b²,则ab【答案】B【解析】增函数性质保证了输入大的输出也大
10.若直线y=kx+b与圆x²+y²=4相交于A、B两点,且|AB|=2√3,则k²+b²=（）A.4B.8C.10D.16【答案】C【解析】圆心到直线距离d=√4-√3²=1,k²+b²=2
二、多选题（每题4分，共20分）
1.下列函数中,在区间0,1内既有极大值又有极小值的是（）A.y=x³-3x²+2B.y=2x³-3x²C.y=x⁴-2x²D.y=ex-x【答案】A、C【解析】A有极值点x=0和x=2,B只有极大值,C有极值点x=±1,D无极值
2.在△ABC中,下列条件中能确定唯一三角形的是（）A.边a=2,边b=3,角C=60°B.边a=3,边b=4,边c=5C.角A=45°,角B=60°,边c=2D.边a=2,角A=30°,角B=45°【答案】A、B、C【解析】A用正弦定理,B用三边确定,C用内角和确定,D有两解
3.关于函数fx=|x-1|+|x+2|,下列说法正确的有（）A.fx的最小值是3B.fx是偶函数C.fx的图像关于x=-
1.5对称D.fx在-∞,-2上单调递减【答案】A、C【解析】fx分段为x-2时-2x-1,x∈[-2,1]时3,-2x1时2x+1,x1时2x+1,故A对,C对
4.若复数z满足|z|=2,且z²是纯虚数,则z可能等于（）A.2iB.-2iC.√2+√2iD.-√2-√2i【答案】A、B、C【解析】z=2cosθ+isinθ,z²=4cos2θ+isin2θ是纯虚数⇔cos2θ=0⇔θ=π/4或3π/4,得z=±2i或∓√2±√2i
5.在等差数列{aₙ}中,若a₃+a₈=10,则下列说法正确的有（）A.S₁₀=55B.a₅+a₁₀=20C.S₁₅=150D.a₅-a₁₀=5【答案】A、B、C【解析】设首项为a₁,公差为d,a₃+a₈=2a₁+11d=10⇒a₁+5d=5=a₅⇒S₁₀=10a₅=50,A错;S₁₅=15a₁+105d=75+30d=150,B对;S₁₅=15a₈=75+60d=150,C对;D错
三、填空题（每题4分，共24分）
1.函数y=lg3-x+√x-1的定义域是________【答案】[1,3【解析】x1且3-x0⇒1≤x
32.若sinα+β=1/2,sinα-β=-1/2,且α∈0,π/2,则cosβ=________【答案】√3/2【解析】cosα+β=-√3/2⇒α+β=2π/3,α-β=7π/6⇒α=3π/4,β=-π/12⇒cosβ=√3/
23.过点1,2的直线与圆x²+y²-4x+4y-1=0相切,则该直线的方程是________或________【答案】x=1,4x-3y+5=0【解析】圆心2,-2,半径√5,过1,2的切线为x=1;斜率k=3/4,方程4x-3y+5=
04.在△ABC中,若角A=45°,角B=60°,BC=4,则AC边上的高h=________【答案】2√2【解析】sinC=1/2⇒AC=8,由面积S=1/2×8×h=1/2×4×4√2⇒h=2√
25.若数列{aₙ}满足a₁=1,aₙ₊₁=2aₙ+1,则a₅=________【答案】31【解析】a₂=3,a₃=7,a₄=15,a₅=
316.若函数fx=x²+px+q在x=-1时取得极大值5,则p+q=________【答案】-3【解析】f-1=0⇒-2+p=0⇒p=2,f-1=1-p+q=5⇒q=6⇒p+q=8
四、判断题（每题2分，共10分）
1.若ab,则fx=ax+b在R上单调递增（）【答案】（×）【解析】若a=0,则fx为常数函数不单调
2.一个命题的否命题为真,则原命题一定为真（）【答案】（√）【解析】原命题与否命题等价
3.若A⊆B,则∁0xE20x820x99A⊆∁0xE20x820x99B（）【答案】（√）【解析】补集运算性质
4.若函数fx在区间I上可导且fx恒为正,则fx在I上单调递增（）【答案】（√）【解析】导数与单调性关系
5.在△ABC中,若AB=AC,则∠B=∠C（）【答案】（√）【解析】等边对等角
五、简答题（每题5分，共15分）
1.求函数y=2sinx+cos2x在[0,2π]上的最大值和最小值【答案】最大值√5,最小值-1【解析】y=2sinx+1-2sin²x=-2sin²x-1/2sinx-1/2=-2sinx-1/4²-1/2⇒x=π/4时最大值√5,x=5π/4时最小值-
12.设fx=x³-3x²+2x+1,求fx的单调区间【答案】增区间1,+∞,减区间-∞,1【解析】fx=3x²-6x+2=3x-1²-3,令fx=0得x=1⇒x=1是唯一极值点,故增区间为1,+∞,减区间为-∞,
13.在△ABC中,若a=3,b=2,角C=120°,求sinA和cosB【答案】sinA=3√7/14,cosB=√7/14【解析】由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=9+4-12cos120°=13⇒c=√13,由正弦定理sinA=a/csinC=3√7/14,由cosB=a²+b²-c²/2ab=√7/14
六、分析题（每题10分，共20分）
1.已知数列{aₙ}的前n项和为Sn=2n²+n-1,求该数列的通项公式,并判断是否为等比数列【答案】aₙ=4n-1,不是等比数列【解析】a₁=S₁=2+1-1=2;当n≥2时,aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2n²+n-1-[2n-1²+n-1-1]=4n-3⇒aₙ=4n-1,故aₙ=4n-1对所有n都成立但a₂-a₁=1≠qa₁-a₀=-2,故不是等比数列
2.已知函数fx=x³-3x²+2x在[0,3]上的最大值和最小值【答案】最大值1,最小值0【解析】fx=3x²-6x+2=3x-1²-1,令fx=0得x=1⇒x=1是唯一极值点比较端点和极值点,f0=0,f1=1,f3=0⇒最大值1,最小值0
七、综合应用题（每题25分，共50分）
1.已知椭圆C:9x²+4y²=36与直线l:3x-y+m=0相交于A、B两点,且|AB|=2√10,求实数m的值【答案】m=±5【解析】联立方程9x²+43x+m²=36⇒45x²+24mx+4m²-36=0⇒x₁+x₂=-4m/15,x₁x₂=4m²-36/45由弦长公式|AB|=√1+k²|x₁-x₂|=2√10⇒-4m/15²-4m²-36/45=4⇒m²=225⇒m=±
152.已知函数fx=x³-3x²+2x在[0,3]上的最大值和最小值【答案】最大值1,最小值0【解析】fx=3x²-6x+2=3x-1²-1,令fx=0得x=1⇒x=1是唯一极值点比较端点和极值点,f0=0,f1=1,f3=0⇒最大值1,最小值0---标准答案页
一、单选题
1.D
2.D
3.B
4.C
5.B
6.A
7.B
8.D
9.B
10.C
二、多选题
1.A、C
2.A、B、C
3.A、C
4.A、B、C
5.A、B、C
三、填空题
1.[1,
32.√3/
23.x=1,4x-3y+5=
04.2√
25.
316.-3
四、判断题
1.×
2.√
3.√
4.√
5.√
五、简答题
1.最大值√5,最小值-
12.增区间1,+∞,减区间-∞,
13.sinA=3√7/14,cosB=√7/14
六、分析题
1.aₙ=4n-1,不是等比数列
2.最大值1,最小值0
七、综合应用题
1.m=±
52.最大值1,最小值0。
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