2025数学A卷真题及答案解析

2024数学A卷真题及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】函数fx=|x-1|表示x=1时函数取得最小值

02.若复数z满足z²=1，则z等于（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】A【解析】z²=1有两个解，分别是z=1和z=-

13.等差数列{a_n}中，a₁=2，a₅=8，则公差d等于（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】a₅=a₁+4d，8=2+4d，解得d=3/

24.圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标是（）（2分）A.2,3B.-2,-3C.2,-3D.-2,3【答案】D【解析】圆心坐标为-b/2a,-c/2a，即--4/2,-6/2=2,-

35.函数y=sinx+π/3的图像（）（2分）A.向左平移π/3B.向右平移π/3C.向左平移2π/3D.向右平移2π/3【答案】B【解析】函数y=sinx+π/3表示将y=sinx的图像向左平移π/

36.抛物线y=x²的焦点坐标是（）（2分）A.1,0B.-1,0C.0,1D.0,-1【答案】A【解析】抛物线y=x²的焦点在1,

07.若向量a=1,2，b=3,-1，则a·b等于（）（2分）A.5B.-5C.7D.-7【答案】A【解析】a·b=1×3+2×-1=

58.函数fx=lnx+1的定义域是（）（2分）A.-∞,-1B.-1,+∞C.-1,0D.0,+∞【答案】B【解析】x+10，即x-

19.某校有学生500人，其中男生占60%，则女生人数是（）（2分）A.200B.300C.250D.150【答案】C【解析】女生人数=500×1-60%=

20010.若三角形三边长分别为

3、

4、5，则该三角形是（）（2分）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】3²+4²=5²，是直角三角形

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.任意两个集合的并集是集合C.若ab，则a²b²D.若x²=1，则x=1E.全等三角形对应角相等【答案】A、B、E【解析】C选项ab时，若a、b为负数则不一定成立；D选项x=-1也满足x²=

12.以下函数中，在区间0,+∞上单调递增的有（）（4分）A.y=x³B.y=1/xC.y=lnxD.y=e^xE.y=√x【答案】A、C、D、E【解析】y=1/x在0,+∞上单调递减

3.以下图形中，是轴对称图形的有（）（4分）A.等腰梯形B.平行四边形C.矩形D.正方形E.圆【答案】A、C、D、E【解析】平行四边形不是轴对称图形

4.以下不等式成立的有（）（4分）A.-2³-1²B.|-3||-2|C.√4√9D.3²2²E.log₂4log₂2【答案】D、E【解析】A选项-2³=-81=-1²；B选项|-3|=3|-2|=2；C选项√4=2√9=

35.以下说法正确的有（）（4分）A.等腰三角形底角相等B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.相似三角形的对应边成比例D.平行四边形的对角线相等E.正方形是矩形也是菱形【答案】A、C、E【解析】B选项对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；D选项平行四边形的对角线不一定相等

三、填空题（每空2分，共24分）

1.函数y=2cos3x-π/4的最小正周期是______（2分）【答案】2π/3【解析】周期T=2π/|ω|=2π/

32.若复数z=3+4i的模为|z|，则|z|²=______（2分）【答案】25【解析】|z|²=3²+4²=

253.等比数列{b_n}中，b₁=1，b₄=16，则公比q=______（2分）【答案】2【解析】b₄=b₁q³，16=1×q³，解得q=

24.圆x²+y²-6x+8y-11=0的半径r=______（2分）【答案】5【解析】r=√[-6²+8²--11]=-11=-11（错误，正确半径r=√9+16-11=√14）

5.函数y=tanx-π/3的图像关于______对称（2分）【答案】π/3+kπ,0k∈Z【解析】正切函数图像的对称轴为x=π/2+kπ

6.抛物线y=2x²的焦点坐标是______（2分）【答案】0,1/8【解析】焦点在0,1/4×2=0,1/

87.若向量a=2,1，b=1,-3，则a×b=______（2分）【答案】-7【解析】a×b=2×-3-1×1=-

78.函数fx=e^-x在区间-∞,0上的值域是______（2分）【答案】1,+∞【解析】当x→-∞时，e^-x→+∞

9.某班级有学生45人，其中男生占40%，则女生人数是______人（2分）【答案】27【解析】女生人数=45×1-40%=

2710.若三角形三边长分别为

5、

12、13，则该三角形是______三角形（2分）【答案】直角【解析】5²+12²=13²

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则fafb对任意单调递增函数fx都成立（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增函数保持不等式方向不变

2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和（）（2分）【答案】（√）【解析】这是三角形外角定理的内容

3.函数y=1/x在定义域内是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=1/-x=-1/x=-fx

4.若A⊆B，则∁UB⊆∁UA（）（2分）【答案】（√）【解析】补集运算与子集关系保持传递性

5.圆的切线与过切点的半径垂直（）（2分）【答案】（√）【解析】这是圆的切线性质定理

五、简答题（每题4分，共16分）

1.求函数fx=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值f2=8-6+1=3，最小值f-2=-8+6+1=-1【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，f-2=-1，f-1=3，f1=-1，f2=

32.求过点1,2且与直线y=3x-1平行的直线方程（4分）【答案】y=3x-1【解析】平行直线斜率相同，方程为y=3x+b，代入1,2得2=3×1+b，b=-

13.若复数z满足|z|=2且argz=π/3，求z的代数形式（4分）【答案】z=1+i【解析】z=|z|×cosπ/3+isinπ/3=2×1/2+i√3/2=1+i√

34.证明等腰三角形底边上的高也是底边的垂直平分线（4分）【证明】设等腰三角形ABC中AB=AC，AD⊥BC于D，要证BD=CD由AD⊥BC，得∠ADB=∠ADC=90°在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB=AC，AD=AD，∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACDHL，∴BD=CD

六、分析题（每题8分，共16分）

1.已知函数fx=x²-2ax+a²+1，证明对任意实数x，fx≥0（8分）【证明】fx=x²-2ax+a²+1=x-a²+1因为x-a²≥0，所以fx≥10，即对任意实数x，fx≥

02.已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a²+b²=c²，求∠C的大小（8分）【解】由勾股定理a²+b²=c²，∴cosC=a²+b²-c²/2ab=0，∴∠C=90°

七、综合应用题（20分）已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求

（1）函数fx的最小值及取得最小值时的x值（6分）

（2）函数fx的图像关于y轴对称吗？为什么？（6分）

（3）求不等式fx5的解集（8分）【解】

（1）fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，当-2≤x≤1时，fx取得最小值，fxmin=f-2+f1=4+1=5【答案】最小值5，取得最小值时的x在[-2,1]内

（2）f-x=|-x-1|+|-x+2|=|x+1|+|x-2|≠fx，∴fx不是偶函数，图像不关于y轴对称

（3）分三段讨论

①x-2时，fx=-x+1-x-2=-2x-15，解得x-3；

②-2≤x≤1时，fx=x-1-x-2=-35恒成立；

③x1时，fx=x-1+x+2=2x+15，解得x2∴解集为-3,2---标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.C

4.D

5.B

6.A

7.A

8.B

9.C

10.B

二、多选题

1.A、B、E

2.A、C、D、E

3.A、C、D、E

4.D、E

5.A、C、E

三、填空题

1.2π/

32.

253.

24.√

145.π/3+kπ

6.0,1/

87.-

78.1,+∞

9.

2710.直角

四、判断题

1.√

2.√

3.√

4.√

5.√

五、简答题

1.最大值3，最小值-

12.y=3x-

13.z=1+i

4.证明过程略

六、分析题

1.证明过程略

2.∠C=90°

七、综合应用题

（1）最小值5，x∈[-2,1]

（2）不关于y轴对称

（3）-3,2。