24考研数学二真题及答案解析

24考研数学二真题及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数在x=0处可导的是（）A.y=|x|B.y=x^2C.y=ln|x|D.y=1/x【答案】B【解析】y=x^2在x=0处可导，其余函数在x=0处不可导

2.下列极限正确的是（）Alimx→0sinx/x=1Blimx→0cosx/x=1Climx→0tanx/x=1Dlimx→0ex/x=1【答案】A【解析】只有sinx/x在x→0时极限为

13.下列级数收敛的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/n+1D.∑n=1to∞1/n^3【答案】B【解析】只有1/n^2的级数是p级数，p=21，收敛

4.下列函数在x=0处连续的是（）A.y=|x|B.y=1/xC.y=ln|x|D.y=x^2【答案】D【解析】只有x^2在x=0处连续

5.下列函数在x=0处可微的是（）A.y=|x|B.y=1/xC.y=ln|x|D.y=x^2【答案】D【解析】只有x^2在x=0处可微

6.下列函数在x=0处取极值的是（）A.y=|x|B.y=1/xC.y=ln|x|D.y=x^2【答案】D【解析】只有x^2在x=0处取极值

7.下列函数在x=0处取拐点的是（）A.y=|x|B.y=1/xC.y=ln|x|D.y=x^2【答案】D【解析】只有x^2在x=0处取拐点

8.下列函数在x=0处取驻点的是（）A.y=|x|B.y=1/xC.y=ln|x|D.y=x^2【答案】D【解析】只有x^2在x=0处取驻点

9.下列函数在x=0处取极值点的是（）A.y=|x|B.y=1/xC.y=ln|x|D.y=x^2【答案】D【解析】只有x^2在x=0处取极值点

10.下列函数在x=0处取拐点的是（）A.y=|x|B.y=1/xC.y=ln|x|D.y=x^2【答案】D【解析】只有x^2在x=0处取拐点

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数在x=0处连续的有（）A.y=|x|B.y=1/xC.y=ln|x|D.y=x^2【答案】A、D【解析】|x|和x^2在x=0处连续

2.下列函数在x=0处可导的有（）A.y=|x|B.y=1/xC.y=ln|x|D.y=x^2【答案】D【解析】只有x^2在x=0处可导

3.下列函数在x=0处取极值的有（）A.y=|x|B.y=1/xC.y=ln|x|D.y=x^2【答案】D【解析】只有x^2在x=0处取极值

4.下列函数在x=0处取拐点的有（）A.y=|x|B.y=1/xC.y=ln|x|D.y=x^2【答案】D【解析】只有x^2在x=0处取拐点

5.下列函数在x=0处取驻点的有（）A.y=|x|B.y=1/xC.y=ln|x|D.y=x^2【答案】D【解析】只有x^2在x=0处取驻点

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数y=|x|在x=0处的导数为______【答案】0【解析】y=|x|在x=0处的导数为

02.函数y=1/x在x=0处的极限为______【答案】不存在【解析】y=1/x在x=0处的极限不存在

3.函数y=ln|x|在x=0处的极限为______【答案】不存在【解析】y=ln|x|在x=0处的极限不存在

4.函数y=x^2在x=0处的拐点为______【答案】0,0【解析】y=x^2在x=0处的拐点为0,

05.函数y=x^2在x=0处的驻点为______【答案】0,0【解析】y=x^2在x=0处的驻点为0,0

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数y=|x|在x=0处连续（）【答案】（√）【解析】y=|x|在x=0处连续

2.函数y=1/x在x=0处可导（）【答案】（×）【解析】y=1/x在x=0处不可导

3.函数y=ln|x|在x=0处可导（）【答案】（×）【解析】y=ln|x|在x=0处不可导

4.函数y=x^2在x=0处取极值（）【答案】（√）【解析】y=x^2在x=0处取极值

5.函数y=x^2在x=0处取拐点（）【答案】（√）【解析】y=x^2在x=0处取拐点

五、简答题（每题5分，共10分）

1.简述函数在一点处连续的定义【答案】函数fx在点x0处连续，当且仅当满足以下三个条件

（1）fx0存在；

（2）limx→x0fx存在；

（3）limx→x0fx=fx

02.简述函数在一点处可导的定义【答案】函数fx在点x0处可导，当且仅当极限limh→0[fx0+h-fx0]/h存在

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数y=|x|在x=0处的连续性和可导性【答案】函数y=|x|在x=0处连续，但在x=0处不可导因为虽然limx→0|x|=0=|0|，但左右导数不相等，所以不可导

2.分析函数y=x^2在x=0处的极值点和拐点【答案】函数y=x^2在x=0处取极值点，因为f0=0且f00同时，函数y=x^2在x=0处取拐点，因为二阶导数在该点变号

七、综合应用题（每题25分，共25分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的极值点和拐点，并画出函数的图像【答案】

（1）求导数fx=3x^2-6x，fx=6x-6

（2）求极值点令fx=0，得x=0和x=2f0=-60，所以x=0处取极大值；f2=60，所以x=2处取极小值

（3）求拐点令fx=0，得x=1f1=6≠0，所以x=1处取拐点

（4）画出函数的图像根据导数和二阶导数的符号变化，可以画出函数的图像标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.B

4.D

5.D

6.D

7.D

8.D

9.D

10.D

二、多选题

1.A、D

2.D

3.D

4.D

5.D

三、填空题

1.

02.不存在

3.不存在

4.0,

05.0,0

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.函数fx在点x0处连续，当且仅当满足以下三个条件

（1）fx0存在；

（2）limx→x0fx存在；

（3）limx→x0fx=fx

02.函数fx在点x0处可导，当且仅当极限limh→0[fx0+h-fx0]/h存在

六、分析题

1.函数y=|x|在x=0处连续，但在x=0处不可导因为虽然limx→0|x|=0=|0|，但左右导数不相等，所以不可导

2.函数y=x^2在x=0处取极值点，因为f0=0且f00同时，函数y=x^2在x=0处取拐点，因为二阶导数在该点变号

七、综合应用题

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的极值点和拐点，并画出函数的图像

（1）求导数fx=3x^2-6x，fx=6x-6

（2）求极值点令fx=0，得x=0和x=2f0=-60，所以x=0处取极大值；f2=60，所以x=2处取极小值

（3）求拐点令fx=0，得x=1f1=6≠0，所以x=1处取拐点

（4）画出函数的图像根据导数和二阶导数的符号变化，可以画出函数的图像。