7份高等数学2试题及答案全解

7份高等数学2经典试题及答案全解

一、单选题

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（1分）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=e^xD.fx=ln|x|【答案】A【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为左右导数不相等

2.极限limx→2x^2-4/x-2的值为（）（2分）A.0B.2C.4D.不存在【答案】C【解析】分子分母同时除以x-2，得limx→2x+2=

43.函数fx=sinx在区间[0,π]上的平均值是（）（1分）A.0B.1C.2D.π【答案】B【解析】fx在[0,π]上的平均值是∫_0^πsinxdx/π=

14.级数∑_n=1^∞-1^n/n收敛的是（）（2分）A条件收敛B绝对收敛C发散D震荡【答案】A【解析】由交错级数莱布尼茨判别法知，该级数条件收敛

5.函数fx=e^x在点0,1处的切线方程是（）（2分）A.y=xB.y=x+1C.y=e^xD.x=y【答案】A【解析】fx=e^x，f0=1，切线方程为y-1=1x-0，即y=x+1，但选项有误，正确答案应为y=x+

16.下列级数中，收敛的是（）（1分）A.∑_n=1^∞1/nB.∑_n=1^∞1/n^2C.∑_n=1^∞-1^n/nD.∑_n=1^∞1/n^3【答案】B【解析】p-级数当p1时收敛，1/n^2是p=2的p-级数

7.函数fx=x^3-3x在x=0处取得极值的是（）（2分）A极大值B极小值C拐点D非极值点【答案】A【解析】fx=3x^2-3，f0=0，f0=-60，故x=0处取得极大值

8.函数fx=sqrtx在区间[1,4]上的最大值是（）（1分）A.1B.2C.3D.2sqrt2【答案】D【解析】fx=1/2sqrtx，在[1,4]上单调递增，最大值为f4=2sqrt

29.下列函数中，在x=0处可导的是（）（2分）A.fx=sin1/xB.fx=cos1/xC.fx=xsin1/xD.fx=x^2cos1/x【答案】C【解析】C选项可导，f0=

010.函数fx=lnx在点1,0处的切线方程是（）（1分）A.y=x-1B.y=x+1C.y=-xD.x=0【答案】A【解析】fx=1/x，f1=1，切线方程为y-0=1x-1，即y=x-1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是函数fx在区间[a,b]上连续的必要条件？（）A.fx在[a,b]上可导B.fx在[a,b]上可积C.fx在[a,b]上存在最大值和最小值D.fx在[a,b]上极限存在【答案】B、D【解析】连续不一定可导，可积不一定连续，但连续一定可积，且在闭区间上连续必有最大值和最小值

2.以下哪些是函数fx在x=c处取得极值的必要条件？（）A.fc存在B.fc=0C.fc存在D.fc不存在【答案】A、B【解析】函数在x=c处取得极值，首先要求fc存在，其次fc=0或fc不存在

3.以下哪些级数收敛？（）A.∑_n=1^∞-1^n/n^2B.∑_n=1^∞1/n+1C.∑_n=1^∞-1^n/nD.∑_n=1^∞1/sqrtn【答案】A、C【解析】交错级数莱布尼茨判别法和p-级数判别法知，A和C收敛

4.以下哪些是函数fx在区间[a,b]上可积的充分条件？（）A.fx在[a,b]上连续B.fx在[a,b]上有界且只有有限个间断点C.fx在[a,b]上单调D.fx在[a,b]上可导【答案】B、C【解析】有界函数在有限区间上只有有限个间断点可积，单调函数也可积

5.以下哪些是函数fx在x=c处取得拐点的必要条件？（）A.fc存在B.fc存在且fc=0C.fx在c的左右两侧变号D.fc存在【答案】A、C【解析】拐点要求函数在该点连续，且二阶导数在该点左右两侧变号

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=x^3-3x+2的极小值点是______（4分）【答案】1【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±1，f1=-60，故x=1处取得极小值

2.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均值为______（4分）【答案】e-1/lne【解析】fx在[0,1]上的平均值是∫_0^1e^xdx/1-0=e-1/1=e-

13.级数∑_n=1^∞-1^n/n^2的敛散性是______（4分）【答案】收敛【解析】由交错级数莱布尼茨判别法知，该级数收敛

4.函数fx=sinx在点π/2,1处的切线方程是______（4分）【答案】y=-x+π/2+1【解析】fx=cosx，fπ/2=-1，切线方程为y-1=-1x-π/2，即y=-x+π/2+1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0（）（2分）【答案】（×）【解析】fc可能不存在，如fx=|x|在x=0处取得极值，但f0不存在

2.若函数fx在区间[a,b]上连续，则fx在[a,b]上可积（）（2分）【答案】（√）【解析】根据定积分的定义，连续函数在闭区间上可积

3.若级数∑_n=1^∞a_n收敛，则级数∑_n=1^∞|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】若级数∑_n=1^∞a_n条件收敛，则级数∑_n=1^∞|a_n|发散

4.若函数fx在x=c处取得拐点，则fc=0（）（2分）【答案】（×）【解析】拐点要求二阶导数在该点左右两侧变号，不一定fc=

05.若函数fx在区间[a,b]上单调递增，则fx在[a,b]上可积（）（2分）【答案】（√）【解析】单调函数在有限区间上可积

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件（4分）【解析】必要条件函数在该点连续且导数存在，则取得极值时导数为0充分条件若导数在该点左侧为正，右侧为负，则取得极大值；若导数左侧为负，右侧为正，则取得极小值

2.简述函数在某点处取得拐点的必要条件（4分）【解析】必要条件函数在该点连续，且二阶导数在该点左右两侧变号

3.简述函数在某点处取得渐近线的必要条件（4分）【解析】必要条件当x趋近于无穷大或某有限值时，函数值趋近于某常数或无穷大

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,4]上的单调性、极值和拐点（10分）【解析】fx=3x^2-6x，fx=6x-6，令fx=0，得x=0,2，f0=-60，f2=60，故x=0处取得极大值，x=2处取得极小值令fx=0，得x=1，fx在x=1左右变号，故x=1处取得拐点在[-1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增

2.分析级数∑_n=1^∞-1^n/n+1的敛散性（10分）【解析】由交错级数莱布尼茨判别法知，该级数收敛，因为通项绝对值单调递减且趋近于0

七、综合应用题（每题20分，共40分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求其在区间[0,3]上的定积分，并分析其几何意义（20分）【解析】∫_0^3x^3-3x^2+2dx=1/4x^4-1/3x^3+2x|_0^3=81/4-27+6=45/4，几何意义为函数fx在区间[0,3]上的曲边梯形的面积

2.已知函数fx=x^2lnx，求其在区间[1,2]上的平均值，并求其在x=1处的泰勒展开式（20分）【解析】fx在[1,2]上的平均值是∫_1^2x^2lnxdx/2-1=2/3x^3lnx-1/9x^3|_1^2=2ln2-7/9fx在x=1处的泰勒展开式为fx=f1+f1x-1+f1x-1^2/2+...=0+2x-1+2x-1^2/2+...=2x-1+2x-1^2/2+...---完整标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.B

4.A

5.A

6.B

7.A

8.D

9.C

10.A

二、多选题

1.B、D

2.A、B

3.A、C

4.B、C

5.A、C

三、填空题

1.

12.e-1/

13.收敛

4.y=-x+π/2+1

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.见解析

2.见解析

3.见解析

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析。