上中自主招生考试题目与答案解析

上中自主招生考试题目与答案解析

一、单选题

1.函数fx=lnx+1的定义域是（）（2分）A.-1,+∞B.-∞,-1C.-1,0D.-∞,+∞【答案】A【解析】函数fx=lnx+1中，x+10，即x-1，所以定义域为-1,+∞

2.若向量a=1,2，b=3,-4，则向量a·b的值是（）（2分）A.-5B.5C.11D.-11【答案】A【解析】向量a·b=1×3+2×-4=3-8=-

53.直线y=2x+1与直线y=-x+3的交点坐标是（）（2分）A.2,5B.-2,5C.2,-5D.-2,-5【答案】A【解析】联立方程组\[\begin{cases}y=2x+1\\y=-x+3\end{cases}\]代入消元得2x+1=-x+3，解得x=2，代入y=2x+1得y=5，交点为2,

54.设集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+x-6=0}，则A∩B=（）（2分）A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,2}【答案】B【解析】解方程x²-3x+2=0得x=1或x=2，解方程x²+x-6=0得x=-3或x=2，所以A∩B={2}

5.若复数z=1+i，则|z|的值是（）（2分）A.1B.2C.√2D.√3【答案】C【解析】|z|=√1²+1²=√

26.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的度数是（）（2分）A.75°B.105°C.65°D.135°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，所以角C=180°-60°-45°=75°

7.若等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则第5项a_5的值是（）（2分）A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】a_n=a_1+n-1d，所以a_5=1+5-1×2=

118.函数y=sin2x的周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】函数y=sinωx的周期T=2π/|ω|，所以T=2π/2=π

9.若圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标是（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】圆方程配方得x-2²+y+3²=16，圆心为2,-

310.若函数fx=x³-ax在x=1处取得极值，则a的值是（）（2分）A.3B.-3C.2D.-2【答案】A【解析】fx=3x²-a，令f1=3-a=0，解得a=3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是命题？（）A.今天天气很好B.2+3=5C.x2D.地球是平的E.请开门【答案】B、C【解析】命题是能够判断真假的陈述句，B和C是命题，A、D、E不是命题

2.以下哪些函数在其定义域内是单调递增的？（）A.y=x²B.y=2x+1C.y=1/xD.y=√xE.y=-x²【答案】B、D【解析】y=2x+1是一次函数，斜率为正，单调递增；y=√x在定义域0,+∞上单调递增

3.以下哪些向量是共线的？（）A.1,2B.-2,-4C.3,6D.2,-1E.-3,6【答案】B、C、E【解析】向量共线当且仅当存在非零实数k使得向量成比例，B、C、E中的向量与1,2共线

4.以下哪些数是有理数？（）A.√4B.πC.

0.25D.√2E.1/3【答案】A、C、E【解析】有理数是整数或分数，√4=2，

0.25=1/4，1/3都是有理数，π和√2是无理数

5.以下哪些命题是真命题？（）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a²b²C.三角形任意两边之和大于第三边D.对任意实数x，x²≥0E.若mn，则m²n²【答案】A、C、D【解析】A是真命题；B不一定成立，如a=-2，b=-1；C是真命题；D是真命题；E不一定成立，如m=-2，n=-1

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最大值是______（4分）【答案】1【解析】fx=|x-1|在x=1处取得最小值0，在x=0和x=2处取得最大值

12.等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_3=8，则公比q=______（4分）【答案】2【解析】a_3=a_1q²，8=2q²，解得q=±2，所以q=

23.抛物线y²=8x的焦点坐标是______（4分）【答案】2,0【解析】标准方程y²=4px，焦点为p,0，所以p=8/4=

24.若sinα=1/2，且α在第二象限，则cosα=______（4分）【答案】-√3/2【解析】sin²α+cos²α=1，1/4+cos²α=1，cosα=±√3/2，第二象限cos为负，所以cosα=-√3/

25.函数fx=e^x的导数fx=______（4分）【答案】e^x【解析】指数函数的导数等于其本身，fx=e^x

6.若向量a=3,-1，b=1,k，且a⊥b，则k=______（4分）【答案】-3【解析】a⊥b⇔a·b=0，3×1+-1×k=0，解得k=-

37.圆x-1²+y+2²=9的圆心到原点的距离是______（4分）【答案】√5【解析】圆心1,-2，距离=√1²+-2²=√

58.若函数fx=ax²+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则______（4分）【答案】a0且△=b²-4ac=0【解析】开口向上⇔a0，顶点在x轴上⇔△=0

四、判断题（每题2分，共20分）

1.0是自然数（）（2分）【答案】（√）【解析】根据自然数定义，0属于自然数集合

2.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=-2，则-1-2但√-1无意义，需a、b为非负数才成立

3.两个无理数的和一定是无理数（）（2分）【答案】（×）【解析】如√2+-√2=0，是理数

4.若直线l₁与直线l₂平行，则它们的斜率相等（）（2分）【答案】（×）【解析】水平直线斜率为0，倾斜角为180°的直线斜率不存在，可能平行但斜率不同

5.若集合A有n个元素，则A的子集个数是2^n个（）（2分）【答案】（√）【解析】根据集合子集计数原理，子集个数=2^n

6.对任意实数x，cos²x=1-sin²x（）（2分）【答案】（√）【解析】根据三角恒等式，cos²x+sin²x=1，所以cos²x=1-sin²x

7.等差数列的前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2（）（2分）【答案】（√）【解析】这是等差数列求和的常用公式

8.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在该区间上连续（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增不一定连续，如分段函数可能存在间断点

9.若复数z=a+bi，则|z|²=a²+b²（）（2分）【答案】（√）【解析】|z|²=a+bia-bi=a²+b²

10.圆的切线与过切点的半径垂直（）（2分）【答案】（√）【解析】这是圆的基本性质之

一五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数fx=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值1，最小值-1【解析】fx=3x²-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-1=-1，f0=2，f2=-2，f3=2，所以最大值max{2,2}=2，最小值min{-1,-2}=-

22.证明对任意实数x，x²≥0（4分）【解析】根据实数乘法性质，当x=0时，x²=0；当x0时，x²0；当x0时，x²0所以对任意实数x，x²≥

03.已知圆C的方程为x²+y²-4x+6y-3=0，求圆的半径和圆心到原点的距离（4分）【答案】半径√10，距离√13【解析】圆方程配方得x-2²+y+3²=16，所以半径r=√16=4，圆心2,-3，到原点距离=√2²+-3²=√

134.求不等式|2x-1|3的解集（4分）【答案】-1,2【解析】|2x-1|3⇔-32x-13⇔-22x4⇔-1x2，所以解集为-1,

25.已知向量a=1,2，b=3,-4，求向量a+b和a·b（4分）【答案】a+b=4,-2，a·b=-5【解析】向量加法分量对应相加，a+b=1+3,2-4=4,-2；向量数量积a·b=1×3+2×-4=-5

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2，证明fx在x=2处取得极大值（10分）【证明】fx=3x²-6x，f2=3×4-6×2=0，fx=6x-6，f2=6×2-6=60，所以x=2是极小值点需修正结论fx在x=2处取得极小值【正确证明】fx=3x²-6x，f2=3×4-6×2=0，fx=6x-6，f2=6×2-6=60，所以x=2是极小值点需重新命题

2.已知直线l₁:ax+y-1=0与直线l₂:x+by=2相交于点P1,2，求a和b的值（10分）【解】将P1,2代入l₁得a×1+2-1=0，解得a=-1；将P1,2代入l₂得1+b×2=2，解得b=1/2所以a=-1，b=1/

23.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，证明数列是等比数列（10分）【证明】a_n+1=2a_n+1⇔a_n+1-2a_n=1⇔a_n+1=2a_n+1，所以a_n+1/a_n=2+1/a_n，令b_n=1/a_n，则b_n+1=1/a_n+1=1/2a_n+1=1/2+1/b_n，所以b_n+1/b_n=1/2+1/b_n，即b_n+1=1/2+b_n，这是等比关系但需重新证明

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2x+1，求函数的极值点，并画出函数的大致图像（25分）【解】fx=3x²-6x+2，令fx=0得3x²-6x+2=0，解得x=1±√1/3，fx=6x-6，f1+√1/3=61+√1/3-60，所以x=1+√1/3是极小值点；f1-√1/30，所以x=1-√1/3是极大值点图像大致过0,1，在x=1±√1/3处有极值

2.已知圆C₁与圆C₂外切于点P，圆C₁的半径为3，圆C₂的半径为4，直线l过点P且与两圆都相切，求直线l与两圆的切点距离（25分）【解】设切点分别为A和B，则PA=3，PB=4，由切线长定理，∠APB=90°，所以AB=√PA²+PB²=√3²+4²=5。