中学希望杯创新试题及答案呈现

中学希望杯创新试题及答案呈现

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+x-6=0}，则A∪B等于（）（2分）A.{1,2}B.{-3,2}C.{1,-2}D.{-3,1}【答案】B【解析】解方程x²-3x+2=0得x=1或x=2，解方程x²+x-6=0得x=-3或x=2，因此A={1,2}，B={-3,2}，所以A∪B={1,-3,2}

2.函数fx=√x²-4x+3的定义域是（）（2分）A.-∞,1∪3,+∞B.[1,3]C.1,3D.R【答案】A【解析】要使函数有意义，需x²-4x+3≥0，解得x≤1或x≥3，即定义域为-∞,1∪3,+∞

3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，BC=10，则AC的长度为（）（2分）A.5√2B.5√3C.10√2D.10√3【答案】A【解析】由正弦定理得AC=BC·sinB/sinA=10·√2/2/√3/2=5√

24.若复数z满足z²+2z+3=0，则|z|等于（）（2分）A.1B.√2C.√3D.2【答案】C【解析】由判别式Δ=4-120知z为虚数，设z=a+bia,b∈R，则a+bi²+2a+bi+3=0，解得a=-1，b=√2，所以|z|=√-1²+√2²=√

35.某班级有50名学生，其中男生与女生人数比为3:2，现随机抽取3名学生，则抽到3名男生概率为（）（2分）A.1/125B.1/20C.3/50D.1/12【答案】B【解析】P3名男生=C30,3/C50,3=1/

206.如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，则△AEF的面积为（）（2分）A.1/4B.1/3C.1/2D.1/6【答案】A【解析】由中点坐标公式得E1/2,0，F0,1/2，所以面积S=1/2·1/2·1/2=1/

87.函数fx=x³-3x+1的极值点为（）（2分）A.x=1B.x=-1C.{1,-1}D.无【答案】C【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，由f1=-60知x=1为极大值点，f-1=-60知x=-1为极大值点

8.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）s=0foriinrange1,6:s=s+i2A.55B.70C.15D.30【答案】A【解析】s=0+1²+2²+3²+4²=30+5=

559.某长方体三视图如图所示，则该长方体的体积为（）（2分）A.60B.90C.120D.180【答案】C【解析】由三视图可知长为6，宽为3，高为2，所以体积V=6×3×2=

3610.在等差数列{a_n}中，已知a₁+a₅=10，a₂+a₄=12，则a₁+a₁₀为（）（2分）A.22B.24C.26D.28【答案】C【解析】由a₁+a₅=2a₃=10得a₃=5，由a₂+a₄=2a₃=12得a₃=6，矛盾，所以a₁+a₁₀=2a₁+9d=2a₅=26

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题正确的是？（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a²b²C.若fx为奇函数，则f0=0D.等腰梯形的对角线相等【答案】A、D【解析】A正确，空集是任何集合的子集；B错误，如a=1b=-2；C错误，f0=0不成立；D正确，等腰梯形对角线相等

2.关于x的方程x²-px+q=0（p0，q0）的根的情况是？（）（4分）A.必有两个正根B.必有一个正根一个负根C.必有两个负根D.可能有两个相等正根【答案】B、D【解析】由韦达定理知x₁+x₂=p0，x₁x₂=q0，所以必有一个正根一个负根；若判别式Δ=p²-4q=0，则两个相等正根

3.以下命题正确的是？（）（4分）A.若|z||w|，则z²w²B.若sinα=sinβ，则α=βC.对任意实数x，|x|≥xD.若fx为周期函数，则fx在定义域内必存在最小正周期【答案】C、D【解析】A错误，如z=2，w=1；B错误，α=β+2kπk∈Z；C正确，|x|≥x恒成立；D正确，周期函数必存在最小正周期

4.如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，若AB=5，AC=3，CD=2，则AD的长度为（）（4分）A.√15/2B.√10C.√21/3D.2√5【答案】C、D【解析】由角平分线定理得BD=5×2/3=10/3，AB²=AD²+BD²，所以AD=√5²-10/3²=√25-100/9=√125/9/3=5√5/3=√21/

35.关于数列{a_n}，下列说法正确的是？（）（4分）A.若{a_n}为等差数列，则{a_n²}也是等差数列B.若{a_n}为等比数列，则{a_n}的任意子数列也是等比数列C.若{a_n}单调递增，则{a_n}必为等差数列D.若{a_n}为递推数列，则{a_n}必为等差数列【答案】B、C【解析】A错误，如a_n=n，则a_n²=n²不是等差数列；B正确，等比数列的子数列仍为等比数列；C正确，单调递增的数列若相邻项差为常数则必为等差数列；D错误，递推数列不一定是等差数列

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数fx=ax²+bx+ca≠0，若f1=0，f-1=4，f0=1，则a+b+c=______，b=______（4分）【答案】4；-2【解析】由f1=a+b+c=0，f-1=a-b+c=4，f0=c=1，解得a=1，b=-2，c=1，所以a+b+c=0，b=-

22.若直线y=kx+1与圆x-1²+y-2²=5相切，则k的值为______（4分）【答案】±3/4【解析】圆心1,2到直线距离d=|k·1-2+1|/√k²+1=√5，解得k=±3/

43.在直角坐标系中，点A1,2，B3,0，C-1,-2，则△ABC的重心坐标为______（4分）【答案】1,0【解析】重心坐标为1+3-1/3，2+0-2/3=1,

04.某工厂生产产品，正品率为90%，次品率为10%，现随机抽取3件，则至少有2件正品的概率为______（4分）【答案】

0.756【解析】P至少2件正品=C3,2·

0.9²·

0.1+C3,3·

0.9³=

0.243+

0.729=

0.

9725.在△ABC中，角A=45°，角B=60°，AC=6，则BC边上的高为______（4分）【答案】3√3【解析】由正弦定理得BC=AC·sinA/sinB=6·√2/2/√3/2=6√6/3=2√6，所以高为2√6·sinC=2√6·√6/4=3√3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若x0，则logₓ1-x0（）（2分）【答案】（×）【解析】如x=1/2，log₁/₂1-1/2=

102.在等比数列{a_n}中，若a₃=8，a₅=32，则公比q=±4（）（2分）【答案】（√）【解析】a₅=a₃·q²，32=8q²，q²=4，q=±

23.若fx为偶函数，则fx的图像关于y轴对称（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=fx是偶函数定义，其图像关于y轴对称

4.在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C（）（2分）【答案】（√）【解析】等腰三角形的性质，底角相等

5.若复数z=a+bia,b∈R满足|z|=|z|，则z必为实数（）（2分）【答案】（√）【解析】|z|=√a²+b²，|z|=|a|，若|z|=|z|，则b=0，z为实数

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值（4分）【答案】最小值为3，当x=-2时取得【解析】fx=|x-1|+|x+2|，当x-2时fx=-x-1-x+2=-2x-1；当-2≤x≤1时fx=-x-1+x+2=3；当x1时fx=x-1+x+2=2x+1，所以最小值为3，当x=-2时取得

2.解不等式x²-5x+60（4分）【答案】x2或x3【解析】x-2x-30，解得x2或x

33.已知函数fx=x²-2x+3，求fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值为7，最小值为2【解析】fx=2x-2，令fx=0得x=1，f-1=6，f1=2，f3=6，所以最大值为7，最小值为2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.某班有m名男生，n名女生，现要选3名学生参加比赛，要求至少有一名男生，求选到3名都是女生的概率（10分）【答案】n/m+n·n-1/m+n-1·n-2/m+n-2【解析】选到3名都是女生的概率=选到n名女生的方法数/Cm+n,3=Cn,3/Cm+n,3=nn-1n-2/m+nm+n-1m+n-2=n/m+n·n-1/m+n-1·n-2/m+n-

22.在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，求△ABC的面积（10分）【答案】12【解析】作AD⊥BC于D，由等腰三角形性质得BD=BC/2=3，AD=√AB²-BD²=√25-9=4，所以面积S=1/2·BC·AD=1/2·6×4=12

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某公司生产两种产品A和B，每件产品A可获利10元，每件产品B可获利15元生产一件产品A需消耗原材料2kg，生产一件产品B需消耗原材料3kg公司现有原材料120kg，且每天最多可生产产品A30件若公司要获得最大利润，应如何安排生产？（25分）【答案】生产产品A24件，产品B8件，最大利润为392元【解析】设生产产品Ax件，产品By件，则约束条件为2x+3y≤120，x≤30，x,y∈N利润z=10x+15y，化简得z=52x+3y+5x≤5×120+5x，当x=30时z最大，此时2×30+3y≤120，y≤8，z=10×30+15×8=300+120=420，但需检验是否满足约束条件，2×30+3×8=60+24=84≤120，所以生产产品A24件，产品B8件，最大利润为10×24+15×8=240+120=360元

2.如图所示，在直角坐标系中，点A1,2，B3,0，C-1,-2，求经过A、B两点的直线方程及△ABC的面积（25分）【答案】直线方程为2x+y-4=0，面积S=6【解析】直线方程k=0-2/3-1=-1，所以y-2=-1x-1，即2x+y-4=0面积过A作AE⊥BC于E，由斜率得AE=2，BE=√2²+2²=2√2，EC=√2²+4²=2√5，BC=2√5+2√2，所以面积S=1/2·BC·AE=1/2×2√5×2=2√5。