中职数学竞赛特色试题及答案展示

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一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.-1B.1C.3D.0【答案】C【解析】函数fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为两点间的距离，即

32.若复数z=a+bi（a，b∈R）的模为2，且z的辐角主值为π/3，则z等于（）（2分）A.2B.-2C.2iD.-2i【答案】A【解析】由模长|z|=2和辐角主值argz=π/3，得z=2cosπ/3+isinπ/3=2×1/2+√3/2i=1+√3i，模长为2，辐角为π/

33.不等式|x-1|2的解集为（）（2分）A.-1,3B.-1,3]C.[-1,3D.[-1,3]【答案】C【解析】解|x-1|2得-2x-12，即-1x3，解集为-1,

34.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则其侧面积为（）（2分）A.15πB.20πC.25πD.30π【答案】A【解析】圆锥侧面积公式为πrl，其中r=3cm，l=5cm，故侧面积为15π

5.若向量a=1,2，b=3,-4，则向量a·b等于（）（2分）A.-5B.5C.-7D.7【答案】D【解析】向量点积a·b=1×3+2×-4=3-8=-5，正确答案为

76.方程x^2-5x+6=0的解为（）（2分）A.2,3B.-2,-3C.1,6D.-1,-6【答案】A【解析】因式分解x^2-5x+6=x-2x-3=0，解得x=2或x=

37.一个等差数列的首项为2，公差为3，则第5项为（）（2分）A.14B.16C.18D.20【答案】C【解析】等差数列通项公式a_n=a_1+n-1d，a_5=2+5-1×3=

188.抛掷两个骰子，点数之和为7的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.6/36【答案】A【解析】共有36种可能结果，点数和为7的组合有1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1，共6种，概率为6/36=1/

69.函数y=2^x的图像关于（）对称（2分）A.x轴B.y轴C.原点D.y=x【答案】D【解析】指数函数y=2^x与对数函数y=log_2x互为反函数，图像关于y=x对称

10.若sinα=1/2，且α在第二象限，则cosα等于（）（2分）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】由sin^2α+cos^2α=1，得cos^2α=1-1/2^2=3/4，又α在第二象限，cosα0，故cosα=-√3/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）（4分）A.0是偶数B.-1是奇数C.π是无理数D.1/3是分数【答案】A、B、C、D【解析】0能被2整除是偶数；-1的相反数是1，是奇数；π不能表示为两个整数之比，是无理数；1/3可以表示为分数

2.下列函数中，在其定义域内是增函数的有（）（4分）A.y=x^2B.y=2^xC.y=1/xD.y=√x【答案】B、D【解析】y=x^2在0,+∞增，-∞,0减；y=2^x是指数增函数；y=1/x在-∞,0和0,+∞均减；y=√x是增函数

3.下列函数中，是奇函数的有（）（4分）A.y=x^3B.y=1/xC.y=2x+1D.y=|x|【答案】A、B【解析】y=x^3满足f-x=-fx；y=1/x满足f-x=-fx；y=2x+1是偶函数；y=|x|是偶函数

4.下列命题中，正确的有（）（4分）A.两个无理数的和是无理数B.两个无理数的积是有理数C.一个有理数与一个无理数的积是无理数D.一个无理数的平方是有理数【答案】C【解析】两个无理数的和可能是有理数；两个无理数的积可能是有理数；有理数×无理数=无理数；无理数平方可能是有理数

5.下列方程中，有实数解的有（）（4分）A.x^2+1=0B.x^2-4=0C.x^2+x+1=0D.x^2-2x+1=0【答案】B、D【解析】A无实根；B△=160有两实根；C△=-30无实根；D△=0有重根

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知直线l过点1,2，且斜率为3，则直线l的方程为y=______（4分）【答案】y=3x-1【解析】点斜式y-y_1=mx-x_1，即y-2=3x-1，化简得y=3x-

12.若tanα=√3，且α在第三象限，则sinα=______（4分）【答案】-√3/2【解析】由tanα=sinα/cosα=√3，得sinα=√3cosα，又sin^2α+cos^2α=1，代入得3cos^2α+cos^2α=1，cos^2α=1/4，α在第三象限cosα0，cosα=-1/2，sinα=-√3/

23.一个圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则其体积为______cm^3（4分）【答案】

25.12π【解析】圆锥体积V=1/3πr^2h=1/3π×4^2×3=16π，正确答案为

25.12π

4.已知等比数列的首项为2，公比为-2，则第4项为______（4分）【答案】-32【解析】等比数列通项a_n=a_1q^n-1，a_4=2×-2^4-1=16，正确答案为-

325.函数y=1/x-1的图像关于______对称（4分）【答案】y=x+1【解析】函数y=1/x-1与y=-1/x互为反函数，图像关于y=x+1对称

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个相似三角形的周长比等于它们的面积比（）（2分）【答案】（√）【解析】相似三角形对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

2.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=1，b=-2，ab但a^2=1b^2=

43.函数y=|x|在-∞,0是减函数（）（2分）【答案】（√）【解析】y=|x|在-∞,0满足x_1x_2⇒|x_1||x_2|，是减函数

4.两个相交的平面一定垂直（）（2分）【答案】（×）【解析】相交平面可能垂直，也可能不垂直

5.若fx是奇函数，且f10，则f-10（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=-fx，若f10，则f-1=-f10

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数y=2sinx+1的最小正周期（4分）【答案】2π【解析】正弦函数y=Asinωx+φ的周期T=2π/|ω|，这里ω=1，T=2π

2.解不等式|x-3|2（4分）【答案】x-1或x5【解析】|x-3|2⇒x-32或x-3-2⇒x5或x-

13.已知点A1,2，B-3,0，求线段AB的长度（4分）【答案】√20【解析】|AB|=√[x_2-x_1^2+y_2-y_1^2]=√[-3-1^2+0-2^2]=√

204.求过点1,2且与直线y=3x-1垂直的直线方程（4分）【答案】x+3y-7=0【解析】垂直直线的斜率k=-1/3，方程y-2=-1/3x-1，化简得x+3y-7=

05.求函数y=2^x在x=2时的导数值（4分）【答案】4【解析】y=2^xln2，y|_{x=2}=2^2ln2=4

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x+1，

（1）求fx的极值点；

（2）判断fx的单调区间（10分）【答案】

（1）fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-1=3，f1=-1，极大值点x=-1，极小值点x=1

（2）fx0⇒x-1或x1，增区间-∞,-1∪1,+∞；fx0⇒-1x1，减区间-1,

12.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，求通项公式a_n（10分）【答案】a_n=2^n-1【解析】设b_n=a_n+1，则b_n=2b_n-1，b_n=2^n-1，a_n=b_n-1=2^n-1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品可变成本为20元，售价为50元，求

（1）生产x件产品的总成本Cx；

（2）当产量为100件时的利润；

（3）不亏本的最小产量（25分）【答案】

（1）Cx=10×10^4+20x

（2）收入Rx=50x，利润Lx=Rx-Cx=30x-10×10^4，L100=30×100-10×10^4=1000元

（3）不亏本⇒Lx≥0⇒30x≥10×10^4⇒x≥

333.33，最小产量为334件

2.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边a=√3，求

（1）边b和边c的长度；

（2）△ABC的面积（25分）【答案】

（1）由正弦定理a/sinA=b/sinB⇒√3/sin60°=b/sin45°⇒b=√2，c/sin60°=√3/sin60°⇒c=2

（2）面积S=1/2bc.sinA=1/2×√2×2×√3/2=√6/2。