九上数学竞赛真题及答案解析

九上数学竞赛真题及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知a0，b0，且|a||b|，下列不等式正确的是（）（2分）A.a+b0B.a-b0C.-a+b0D.-a-b0【答案】C【解析】因为a0，b0，所以-a0，-a+b

02.函数y=√x-1的定义域是（）（2分）A.RB.1,+∞C.-∞,1]D.1,∞【答案】B【解析】x-1≥0，解得x≥

13.如图所示，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD=2，DB=4，AE=3，则EC的长为（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】根据平行线分线段成比例定理，AD/DB=AE/EC，即2/4=3/EC，解得EC=

64.下列命题中，真命题是（）（2分）A.对角线互相平分的四边形是矩形B.相等的角是对角相等C.有两边和一角对应相等的两个三角形全等D.有两组对边分别平行的四边形是平行四边形【答案】A【解析】对角线互相平分是矩形的必要条件

5.若x²-3x+k能分解为x-1x-m，则k的值为（）（2分）A.2B.-2C.3D.-3【答案】A【解析】展开x-1x-m=x²-1+mx+rm，与x²-3x+k比较系数，得1+m=3，rm=k，解得m=2，k=

26.等腰三角形的底角为40°，则其顶角为（）（2分）A.40°B.80°C.100°D.40°或100°【答案】C【解析】等腰三角形的底角相等，三角形内角和为180°，所以顶角为180°-40°-40°=100°

7.如图所示，在矩形ABCD中，∠BAC=30°，则CD的长为（）（2分）A.2B.2√2C.4D.4√2【答案】C【解析】在直角三角形ABC中，∠BAC=30°，所以BC=2AB，又因为AB=CD，所以CD=2AB=

48.若方程x²+px+q=0的两根之和为3，两根之积为-2，则p、q的值分别为（）（2分）A.p=3，q=-2B.p=-3，q=2C.p=3，q=2D.p=-3，q=-2【答案】B【解析】根据韦达定理，两根之和为-p=3，两根之积为q=-2，解得p=-3，q=

29.如图所示，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD=1，DB=2，AE=2，则EC的长为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】根据平行线分线段成比例定理，AD/DB=AE/EC，即1/2=2/EC，解得EC=

410.下列四个数中，最大的是（）（2分）A.-3²B.|-5|C.√16D.--2³【答案】B【解析】-3²=9，|-5|=5，√16=4，--2³=8，所以最大的数是|-5|=5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，真命题的是（）（4分）A.等腰三角形的底角相等B.平行四边形的对角线互相平分C.矩形的对角线相等D.菱形的对角线互相垂直【答案】A、B、C、D【解析】以上四个命题都是真命题

2.关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的情况，下列说法正确的是（）（4分）A.若△0，则方程有两个不相等的实数根B.若△=0，则方程有两个相等的实数根C.若△0，则方程有两个共轭虚数根D.若a0，且方程有两个正根，则c0【答案】A、B、C【解析】根据根的判别式，以上三个说法正确

3.下列图形中，是中心对称图形的有（）（4分）A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.圆【答案】A、B、D【解析】矩形、菱形和圆是中心对称图形

4.若a0，b0，且|a||b|，下列不等式正确的是（）（4分）A.a+b0B.a-b0C.-a+b0D.-a-b0【答案】C【解析】因为a0，b0，所以-a0，-a+b

05.下列四个数中，最大的是（）（4分）A.-3²B.|-5|C.√16D.--2³【答案】B【解析】-3²=9，|-5|=5，√16=4，--2³=8，所以最大的数是|-5|=5

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若x²-5x+6=0，则x₁+x₂=______，x₁x₂=______（4分）【答案】5，6【解析】根据韦达定理，x₁+x₂=5，x₁x₂=

62.等边三角形的每个内角的大小为______度（4分）【答案】60【解析】等边三角形的每个内角都是60°

3.若方程x²+px+q=0的两根之差为2，两根之积为3，则p的值为______（4分）【答案】±2√3【解析】设两根为x₁、x₂，x₁-x₂=2，x₁x₂=3，x₁+x₂²-x₁-x₂²=4x₁x₂，解得x₁+x₂=±2√3，所以p=-x₁+x₂=±2√

34.如图所示，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD=2，DB=4，AE=3，则EC的长为______（4分）【答案】6【解析】根据平行线分线段成比例定理，AD/DB=AE/EC，即2/4=3/EC，解得EC=

65.若x²-3x+k能分解为x-1x-m，则k的值为______（4分）【答案】2【解析】展开x-1x-m=x²-1+mx+rm，与x²-3x+k比较系数，得1+m=3，rm=k，解得m=2，k=

26.若a0，b0，且|a||b|，则a+b______0（4分）【答案】

7.函数y=√x-1的定义域是______（4分）【答案】1,+∞

8.等腰三角形的底角为40°，则其顶角为______度（4分）【答案】100

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.对角线互相平分的四边形是矩形（）（2分）【答案】（×）【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形，但不一定是矩形

3.相等的角是对角相等（）（2分）【答案】（×）【解析】相等的角不一定是对角相等

4.有两边和一角对应相等的两个三角形全等（）（2分）【答案】（×）【解析】有两边和一角对应相等不一定能保证两个三角形全等

5.有两组对边分别平行的四边形是平行四边形（）（2分）【答案】（×）【解析】有两组对边分别平行的四边形不一定是平行四边形，可能是梯形

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知一个等腰三角形的底边长为6，腰长为5，求这个等腰三角形的面积（5分）【答案】设底边为BC，腰为AB=AC=5，作高AD⊥BC于D，则BD=BC/2=3，AD=√AB²-BD²=√5²-3²=√25-9=√16=4，所以面积为1/2×BC×AD=1/2×6×4=

122.已知方程x²+px+q=0的两根之和为3，两根之积为-2，求p、q的值（5分）【答案】根据韦达定理，x₁+x₂=-p=3，x₁x₂=q=-2，解得p=-3，q=-

23.已知一个矩形的对角线长为10，一边长为6，求这个矩形的面积（5分）【答案】设矩形ABCD中，AB=6，对角线AC=10，作高AD⊥BC于D，则AD=√AC²-AB²=√10²-6²=√100-36=√64=8，所以面积为AB×AD=6×8=48

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知一个等腰三角形的底边长为6，腰长为5，求这个等腰三角形的高（10分）【答案】设底边为BC，腰为AB=AC=5，作高AD⊥BC于D，则BD=BC/2=3，AD=√AB²-BD²=√5²-3²=√25-9=√16=4，所以高为

42.已知方程x²+px+q=0的两根之和为3，两根之积为-2，求p、q的值（10分）【答案】根据韦达定理，x₁+x₂=-p=3，x₁x₂=q=-2，解得p=-3，q=-2

七、综合应用题（每题25分，共25分）已知一个等腰三角形的底边长为6，腰长为5，求这个等腰三角形的面积（25分）【答案】设底边为BC，腰为AB=AC=5，作高AD⊥BC于D，则BD=BC/2=3，AD=√AB²-BD²=√5²-3²=√25-9=√16=4，所以面积为1/2×BC×AD=1/2×6×4=12。