云南昭通高中数学竞赛试题及答案

云南昭通高中数学竞赛试题及答案

一、单选题

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=2x+1B.y=-3x+2C.y=x²D.y=1/x【答案】A【解析】一次函数y=2x+1的斜率为正，故为增函数

2.若集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B=（）（1分）A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,4}【答案】B【解析】A和B的公共元素为2和

33.函数fx=sinx+π/2的图像关于（）对称（2分）A.x轴B.y轴C原点D.x=π/2【答案】B【解析】sinx+π/2=cosx，cos函数图像关于y轴对称

4.若复数z=3+4i的模为|z|，则|z|等于（）（1分）A.3B.4C.5D.7【答案】C【解析】|3+4i|=√3²+4²=

55.等差数列{a_n}中，a₁=2，d=3，则a₅=（）（2分）A.11B.13C.14D.15【答案】B【解析】a₅=a₁+4d=2+12=

146.三角形ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则∠C等于（）（1分）A.75°B.105°C.120°D.135°【答案】A【解析】∠C=180°-45°-60°=75°

7.下列命题中，真命题是（）（2分）A.空集是任何集合的子集B.任何集合都有补集C.两个无理数的和一定是无理数D.两个奇数的积一定是奇数【答案】A【解析】空集是任何集合的子集是真命题

8.函数fx=lnx的定义域是（）（1分）A.0,∞B.-∞,∞C.-∞,0∪0,∞D.R【答案】A【解析】lnx的定义域为x

09.向量a=1,2和向量b=3,4的点积a·b等于（）（2分）A.5B.7C.11D.25【答案】C【解析】a·b=1×3+2×4=

1110.圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标是（）（1分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】圆心为--4/2,-6/2=2,-3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是命题？（）A.今天天气很好B.2+3=5C.三角形是三边形D.请开门E.x0【答案】B、C、E【解析】命题是具有判断意义的陈述句，B、C、E是命题

2.下列不等式成立的是？（）A.3²2²B.-2³=-3³C.√16√9D.|-5||-3|E.1/21/3【答案】A、C、E【解析】3²2²、√16√

9、1/21/3成立

3.以下哪些是偶函数？（）A.y=x²B.y=1/xC.y=sinxD.y=cosxE.y=lnx【答案】A、D【解析】y=x²和y=cosx是偶函数

4.以下哪些数是无理数？（）A.√4B.πC.0D.√2E.1/3【答案】B、D【解析】π和√2是无理数

5.以下哪些是等比数列的通项公式？（）A.a_n=2nB.a_n=3×2^n-1C.a_n=5×-1^n-1D.a_n=4×3^n-1E.a_n=7n-1【答案】B、C、D【解析】B、C、D是等比数列通项公式

三、填空题

1.若fx=x³-2x+1，则f-1=______（4分）【答案】0【解析】f-1=-1³-2×-1+1=

02.等比数列{a_n}中，a₁=1，q=2，则a₅=______（4分）【答案】16【解析】a₅=1×2⁴=

163.函数fx=√x-1的定义域是______（4分）【答案】[1,∞【解析】x-1≥0，即x≥

14.三角形ABC中，若AB=3，AC=4，BC=5，则∠BAC=______（4分）【答案】90°【解析】3²+4²=5²，故为直角三角形

5.向量a=2,3和向量b=1,-1的叉积a×b=______（4分）【答案】5【解析】a×b=2×-1-3×1=-5

四、判断题

1.两个无理数的积一定是无理数（）（2分）【答案】（×）【解析】如√2×-√2=-2，是无理数

2.对任意实数x，都有sin²x+cos²x=1（）（2分）【答案】（√）【解析】这是三角函数的基本恒等式

3.函数fx=x²在-∞,0上是减函数（）（2分）【答案】（√）【解析】二次函数在对称轴左侧单调递减

4.集合A={x|x0}和集合B={x|x0}的交集为空集（）（2分）【答案】（√）【解析】没有数同时大于0且小于

05.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】如-2-3，但-2²=-3²

五、简答题

1.证明若ab，则a²+b²2ab（5分）【答案】证明a²+b²-2ab=a-b²由于ab，故a-b0，所以a-b²0即a²+b²-2ab0故a²+b²2ab得证

2.已知函数fx=x³-3x+2，求fx的极值点（5分）【答案】fx=3x²-3=3x+1x-1令fx=0，得x=-1或x=1fx=6xf-1=-60，故x=-1为极大值点f1=60，故x=1为极小值点

3.求不等式|x-1|2的解集（5分）【答案】|x-1|2-2x-12-1x3故解集为-1,3

六、分析题

1.已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，求a_n的通项公式（10分）【答案】a₂=2a₁+1=3a₃=2a₂+1=7a₄=2a₃+1=15观察可知，a_n=2^n-1证明a_n+1=2a_n+1a_n+1+1=2a_n+1a_n+2=2a_n+1故{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列a_n+1=2×2^n-1=2^n故a_n=2^n-

12.已知函数fx=x³-3x²+2x，求fx的单调区间（10分）【答案】fx=3x²-6x+2=3x-1²-1令fx=0，得x=1±√1/3当x1-√1/3或x1+√1/3时，fx0，函数单调递增当1-√1/3x1+√1/3时，fx0，函数单调递减故增区间为-∞,1-√1/3和1+√1/3,∞减区间为1-√1/3,1+√1/3

七、综合应用题

1.某工厂生产一种产品，固定成本为1000元，每件产品可变成本为10元，售价为20元若每月至少要生产x件产品才能保本，求x的取值范围（15分）【答案】设每月生产x件产品总收入=20x总成本=1000+10x保本条件总收入=总成本20x=1000+10x10x=1000x=100故每月至少要生产100件产品才能保本x的取值范围x≥100完整标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.B

4.C

5.B

6.A

7.A

8.A

9.C

10.C

二、多选题

1.B、C、E

2.A、C、E

3.A、D

4.B、D

5.B、C、D

三、填空题

1.

02.

163.[1,∞

4.90°

5.5

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.证明过程见答案

2.极大值点x=-1，极小值点x=

13.解集为-1,3

六、分析题

1.a_n=2^n-

12.增区间为-∞,1-√1/3和1+√1/3,∞，减区间为1-√1/3,1+√1/3

七、综合应用题

1.x的取值范围x≥100。