函数奇偶性基础试题及标准答案

函数奇偶性基础试题及标准答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x³-2x+1的奇偶性为（）（2分）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【答案】D【解析】f-x=-x³+2x+1≠fx且≠-fx，故为非奇非偶函数

2.函数fx=|x|+1的奇偶性为（）（2分）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【答案】B【解析】f-x=|-x|+1=|x|+1=fx，故为偶函数

3.函数fx=x²cosx的奇偶性为（）（2分）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【答案】B【解析】f-x=-x²cos-x=x²cosx=fx，故为偶函数

4.函数fx=x/x²+1的奇偶性为（）（2分）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【答案】A【解析】f-x=-x/-x²+1=-x/x²+1=-fx，故为奇函数

5.函数fx=√1-x²的定义域为（）（2分）A.-1,1B.[-1,1]C.-∞,+∞D.0,1【答案】B【解析】1-x²≥0⇒-1≤x≤1，定义域为[-1,1]

6.函数fx=√x+√1-x的定义域为（）（2分）A.[0,1]B.0,1C.-∞,+∞D.[0,+∞【答案】A【解析】x≥0且1-x≥0⇒0≤x≤1，定义域为[0,1]

7.函数fx=1/x的奇偶性为（）（2分）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【答案】A【解析】f-x=1/-x=-1/x=-fx，故为奇函数

8.函数fx=x³+x的奇偶性为（）（2分）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【答案】A【解析】f-x=-x³+-x=-x³-x=-fx，故为奇函数

9.函数fx=x²+sinx的奇偶性为（）（2分）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【答案】D【解析】f-x=-x²+sin-x=x²-sinx≠fx且≠-fx，故为非奇非偶函数

10.函数fx=ex+e-x的奇偶性为（）（2分）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【答案】B【解析】f-x=e-x+e-x=ex+e-x=fx，故为偶函数

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数是奇函数？（）（4分）A.fx=x²+1B.fx=sinxC.fx=1/xD.fx=x³-x【答案】B、C、D【解析】fx=sinx，f-x=sin-x=-sinx=-fx，为奇函数；fx=1/x，f-x=1/-x=-1/x=-fx，为奇函数；fx=x³-x，f-x=-x³--x=-x³+x=-x³-x=-fx，为奇函数；fx=x²+1，f-x=-x²+1=x²+1≠-fx，为非奇函数

2.以下哪些函数是偶函数？（）（4分）A.fx=x³-xB.fx=cosxC.fx=x²+2xD.fx=|x|【答案】B、D【解析】fx=cosx，f-x=cos-x=cosx=fx，为偶函数；fx=|x|，f-x=|-x|=|x|=fx，为偶函数；fx=x³-x，f-x=-x³+x≠fx且≠-fx，为非奇非偶函数；fx=x²+2x，f-x=-x²+2-x=x²-2x≠fx且≠-fx，为非奇非偶函数

3.函数fx=√x+1的定义域为（）（4分）A.-1,+∞B.[-1,+∞C.-∞,-1]D.[0,+∞【答案】A、B【解析】x+1≥0⇒x≥-1，定义域为[-1,+∞，包含-1,+∞

4.函数fx=1/√x²-1的定义域为（）（4分）A.-∞,-1∪1,+∞B.-1,1C.-∞,-1∪1,+∞D.-∞,+∞【答案】A、C【解析】x²-10⇒x-1或x1，定义域为-∞,-1∪1,+∞

5.函数fx=x/x²-1的奇偶性为（）（4分）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【答案】A、D【解析】f-x=-x/-x²-1=-x/x²-1=-fx，为奇函数；但定义域为-∞,-1∪1,+∞，不关于原点对称，故为非奇非偶函数

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=-x³+2x的图像关于______对称（4分）【答案】原点【解析】f-x=--x³+2-x=x³-2x=--x³+2x=-fx，为奇函数，图像关于原点对称

2.函数fx=x²cosx的定义域为______，值域为______（4分）【答案】-∞,+∞；[-1,1]【解析】定义域为-∞,+∞；x²≥0，cosx∈[-1,1]，故x²cosx∈[-1,1]

3.函数fx=√x-1的定义域为______（4分）【答案】[1,+∞【解析】x-1≥0⇒x≥1，定义域为[1,+∞

4.函数fx=1/x-1的奇偶性为______（4分）【答案】非奇非偶函数【解析】定义域为-∞,1∪1,+∞，不关于原点对称，故为非奇非偶函数

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=x²+x³是偶函数（）（2分）【答案】（×）【解析】f-x=-x²+-x³=x²-x³≠fx且≠-fx，故为非奇非偶函数

2.函数fx=x/x+1是奇函数（）（2分）【答案】（×）【解析】f-x=-x/-x+1=x/1-x≠fx且≠-fx，故为非奇非偶函数

3.函数fx=|x-1|是偶函数（）（2分）【答案】（×）【解析】f-x=|-x-1|≠|x-1|，故为非奇非偶函数

4.函数fx=x³+1是奇函数（）（2分）【答案】（×）【解析】f-x=-x³+1=-x³+1≠fx且≠-fx，故为非奇非偶函数

5.函数fx=2x+1是偶函数（）（2分）【答案】（×）【解析】f-x=-2x+1≠2x+1且≠-2x+1，故为非奇非偶函数

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述奇函数和偶函数的定义（4分）【答案】奇函数若对于函数fx的定义域内的任意x，都有f-x=-fx，则称fx为奇函数偶函数若对于函数fx的定义域内的任意x，都有f-x=fx，则称fx为偶函数

2.函数fx=x²+bx+1是偶函数，求b的值（4分）【答案】f-x=-x²+b-x+1=x²-bx+1若fx为偶函数，则f-x=fx⇒x²-bx+1=x²+bx+1⇒-bx=bx⇒2bx=0⇒b=

03.函数fx=x/x²+1的定义域和值域分别是什么？（4分）【答案】定义域x²+1≠0⇒x∈-∞,+∞值域令y=x/x²+1，x²+1x²⇒y=x/x²+1≤1/2（当x=1时取等号），且y=x/x²+1≥-1/2（当x=-1时取等号），故值域为[-1/2,1/2]

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x³-3x+2的奇偶性和单调性（10分）【答案】奇偶性f-x=-x³-3-x+2=-x³+3x+2≠fx且≠-fx，故为非奇非偶函数单调性fx=3x²-3=3x²-1=3x-1x+1令fx0⇒x∈-∞,-1∪1,+∞，函数单调递增；令fx0⇒x∈-1,1，函数单调递减

2.分析函数fx=|x-1|+|x+1|的奇偶性和图像特征（10分）【答案】奇偶性f-x=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=fx，故为偶函数图像特征fx=|x-1|+|x+1|，分段函数当x≤-1时，fx=-x-1-x+1=-2x-2；当-1x1时，fx=-x-1+x+1=2；当x≥1时，fx=x-1+x+1=2x图像为V形，顶点为-1,0，对称轴为x=0

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=ax³+bx²+cx+d是奇函数，且f1=2，f-1=-2，求a、b、c、d的值（25分）【答案】由fx为奇函数，则f-x=-fx⇒-ax³+bx²-cx+d=-ax³-bx²-cx-d⇒b=0，d=0故fx=ax³+cxf1=a+c=2

①，f-1=-a-c=-2

②①+

②⇒2a=0⇒a=0，c=2故fx=2x

2.已知函数fx=√x²+px+q的定义域为[-1,1]，求p、q的值（25分）【答案】由定义域为[-1,1]⇒x²+px+q≥0对于x∈[-1,1]恒成立令gx=x²+px+q，对称轴为x=-p/2若对称轴在区间左侧，即-1≤-p/2⇒p≤2，则g-1=1-p+q≥0

①，g1=1+p+q≥0

②①+

②⇒2+2q≥0⇒q≥-1若对称轴在区间右侧，即-1≥-p/2⇒p≥2，则g-1=1-p+q≥0

①，g1=1+p+q≥0

②①+

②⇒2+2q≥0⇒q≥-1若对称轴在区间中间，即-1-p/21⇒-2p2，则g-1=1-p+q≥0

①，g1=1+p+q≥0

②，且g-p/2=-p/2²+p-p/2+q=p²/4-p²/2+q=q-p²/4≥0⇒q≥p²/4综合得p=2，q≥-1---标准答案

一、单选题

1.D

2.B

3.B

4.A

5.B

6.A

7.A

8.A

9.D

10.B

二、多选题

1.B、C、D

2.B、D

3.A、B

4.A、C

5.A、D

三、填空题

1.原点

2.-∞,+∞；[-1,1]

3.[1,+∞

4.非奇非偶函数

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.见解析

2.b=

03.定义域-∞,+∞；值域[-1/2,1/2]

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.a=0，c=

22.p=2，q≥-1。