函数极限综合试题与标准答案

函数极限综合试题与标准答案

一、单选题

1.下列函数在x→0时极限存在的有（）（2分）A.fx=sin1/xB.gx=e^xC.hx=ln|x|D.jx=1/x^2【答案】B【解析】fx=sin1/x在x→0时振荡无极限；gx=e^x在x→0时极限为1；hx=ln|x|在x→0时趋于负无穷；jx=1/x^2在x→0时趋于正无穷

2.函数fx=x^2-4x+3在x→2时的极限是（）（1分）A.-1B.1C.3D.5【答案】A【解析】limx→2x^2-4x+3=2^2-4×2+3=-

13.若limx→afx=A，则下列说法正确的是（）（2分）A.fx在x=a处有定义B.fx在x=a处连续C.limx→a^-fx≠limx→a^+fxD.fx在x=a处可导【答案】B【解析】极限存在且等于A时函数必在a处连续

4.函数fx=|x|在x→0时的极限是（）（1分）A.0B.1C.±1D.不存在【答案】A【解析】limx→0|x|=

05.若limx→3[fx-2]=5，则limx→3fx等于（）（2分）A.3B.7C.5D.8【答案】B【解析】limx→3fx=limx→3[fx-2]+2=5+2=

76.下列极限计算正确的是（）（2分）A.limx→0sin1/x=0B.limx→∞1/x=0C.limx→01/x=0D.limx→∞sinx=0【答案】B【解析】A选项振荡无极限；C选项极限不存在；D选项振荡无极限

7.函数fx=e^-1/x^2在x→0时的极限是（）（2分）A.0B.1C.∞D.不存在【答案】B【解析】limx→0e^-1/x^2=e^-∞=

08.若limx→afx=3，limx→agx=0，则limx→a[fx/gx]等于（）（2分）A.3B.0C.无穷D.不存在【答案】D【解析】分母趋于0且非零时，商的极限不存在

9.函数fx=sin1/x在x→0时（）（2分）A.极限存在B.极限为1C.极限为-1D.极限不存在【答案】D【解析】函数在x→0时振荡无极限

10.下列等式成立的是（）（1分）A.limx→0sinx/x=1B.limx→0tanx/x=1C.limx→0cosx/x=1D.limx→0sin1/x=1【答案】A【解析】B选项极限为1；C选项极限为0；D选项振荡无极限

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数在x→0时极限存在的有（）A.fx=xsin1/xB.gx=x^2C.hx=sinx/xD.jx=e^x【答案】A、B、C、D【解析】所有选项的极限均为

12.关于函数极限的描述正确的有（）A.limx→afx=A等价于limx→a^-fx=A且limx→a^+fx=AB.limx→afx存在则fx在a处必连续C.limx→afx=A则对于任意ε0存在δ0使|x-a|δ时|fx-A|εD.limx→∞fx=A则fx在无穷远处有界【答案】A、C、D【解析】B选项极限存在不一定连续

3.下列极限计算正确的有（）A.limx→0sin^2x/x^2=1B.limx→0cosx-1/x=0C.limx→0tanx/x=1D.limx→01/x^2=0【答案】A、C【解析】B选项极限为-1/2；D选项极限为∞

4.关于无穷小量的描述正确的有（）A.有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量B.无穷小量乘以有界变量仍是无穷小量C.两个无穷小量之商必为无穷小量D.无穷小量除以无穷小量可能为无穷小量【答案】A、B【解析】C选项可能为无穷大量；D选项可能为常数或无穷大量

5.下列说法正确的有（）A.若limx→afx不存在，则fx在a处必间断B.若fx在a处连续，则limx→afx存在C.若limx→a^-fx≠limx→a^+fx，则fx在a处间断D.若fx在a处间断，则limx→afx不存在【答案】B、C【解析】A选项极限不存在不一定间断；D选项间断点可能是可去间断

三、填空题

1.若limx→2[fx-3]=5，则limx→2fx等于________（4分）【答案】8【解析】limx→2fx=limx→2[fx-3]+3=5+3=

82.函数fx=1/x-1在x→1时的极限是________（4分）【答案】不存在【解析】limx→1^-fx=-∞，limx→1^+fx=∞，极限不存在

3.若limx→0sinx/x=1，则limx→0sin2x/x等于________（4分）【答案】2【解析】limx→0sin2x/x=limx→02sin2x/2x=

24.函数fx=e^1/x在x→0^-时的极限是________，在x→0^+时的极限是________（4分）【答案】-∞；+∞【解析】x→0^-时1/x→-∞，e^1/x→e^-∞→0；x→0^+时1/x→+∞，e^1/x→e^+∞→+∞

5.若limx→afx=3，limx→agx=0且gx≠0，则limx→a[fx+gx]等于________（4分）【答案】3【解析】极限的线性性质，limx→a[fx+gx]=limx→afx+limx→agx=3+0=3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若limx→afx存在，则fx在a处必连续（）【答案】（×）【解析】极限存在不一定连续，如fx=1/x在x=0处极限不存在但可去间断

2.两个无穷小量之商必为无穷小量（）【答案】（×）【解析】可能为无穷大量，如x/x^2当x→0时

3.若limx→a^-fx=limx→a^+fx，则limx→afx存在（）【答案】（√）【解析】左右极限相等时极限必存在

4.若fx在a处连续，则limx→a^-fx=fa（）【答案】（√）【解析】连续定义即左右极限相等且等于函数值

5.若limx→∞fx不存在，则fx在无穷远处无界（）【答案】（×）【解析】可能振荡无极限但无界，如sinx^2

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述函数fx在x=a处连续的三个条件【答案】

（1）fa有定义；

（2）limx→afx存在；

（3）limx→afx=fa

2.简述无穷小量的三个性质【答案】

（1）有限个无穷小量之和仍是无穷小量；

（2）无穷小量乘以有界变量仍是无穷小量；

（3）无穷小量除以无穷小量可能为无穷小量、无穷大量或常数

3.简述判断函数极限不存在的三种情况【答案】

（1）左右极限存在但不相等；

（2）函数值趋于无穷大；

（3）函数值振荡无极限

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx在x=0处连续，且满足fx=x^2+xf0，求f0和fx的表达式【答案】由fx在x=0处连续，得f0=limx→0fx=limx→0[x^2+xf0]=0^2+0×f0=0所以f0=0，代入原式得fx=x^

22.设函数fx满足limx→2[fx-3x+5]=0，求limx→2fx和limx→2[fx/x]【答案】limx→2fx=limx→2[fx-3x+3x+5]=limx→2[fx-3x]+limx→2[3x+5]=limx→2[3x-2+fx+6]=3×0+limx→2fx+6=limx→2fx+6移项得limx→2fx=6所以limx→2[fx/x]=limx→2fx/limx→2x=6/2=3

七、综合应用题（每题15分，共30分）

1.设函数fx在x=1处连续，且满足limx→1[fx+2x-3]=0，求f1的值，并证明fx在x=1处可导【答案】由题意得f1=limx→1fx=limx→1[fx+2x-3]-2×1+3=0-2+3=1所以f1=1因为fx在x=1处连续，所以limx→1[fx-f1]=0所以f1=limx→1[fx-f1/x-1]=limx→1[fx-1]/[x-1]=limx→1[fx+2x-3-2x]/[x-1]=limx→1[2x-1/x-1]=2所以fx在x=1处可导且f1=

22.设函数fx满足limx→0[fx/x]=5，求limx→0[fx-5x]/x^2【答案】由limx→0[fx/x]=5得fx=5x+ox，其中ox是高阶无穷小量所以[fx-5x]/x^2=[5x+ox-5x]/x^2=ox/x^2因为ox/x→0x→0，所以limx→0[fx-5x]/x^2=0---标准答案

一、单选题

1.A

2.A

3.B

4.A

5.B

6.B

7.B

8.D

9.D

10.A

二、多选题

1.A、B、C、D

2.A、C、D

3.A、C

4.A、B

5.B、C

三、填空题

1.

82.不存在

3.

24.-∞；+∞

5.3

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.

（1）fa有定义；

（2）limx→afx存在；

（3）limx→afx=fa

2.

（1）有限个无穷小量之和仍是无穷小量；

（2）无穷小量乘以有界变量仍是无穷小量；

（3）无穷小量除以无穷小量可能为无穷小量、无穷大量或常数

3.

（1）左右极限存在但不相等；

（2）函数值趋于无穷大；

（3）函数值振荡无极限

六、分析题

1.f0=0，fx=x^

22.limx→2fx=6，limx→2[fx/x]=3

七、综合应用题

1.f1=1，fx在x=1处可导且f1=

22.limx→0[fx-5x]/x^2=0。